破解立体几何最值问题的两个“妙招”

立体几何最值问题的难度通常较大，通常会重点考查同学们的空间想象和逻辑推理能力.常见的立体几何最值问题有：（1）求几何体中某条线段的长；（2）求几何体的体积、表面积的最值；（3）求某个空间角的最值.下面主要介绍解答立体几何最值问题的两个“妙招”，以供读者参考.

一、运用基本不等式

基本不等式：[a+b≥2aba>0，b>0]是解答最值问题的常用工具.在解答立体几何最值问题时，可先根据几何图形中的点、线、面的位置关系，利用勾股定理、正余弦定理等求得目标式；然后将其配凑为两式的和或者积，并使其中之一为定值，使其满足基本不等式的使用条件：一正二定三相等，就可以利用基本不等式求得最值.

例1.已知三棱锥[P-ABC]的4个顶点都在球心为[O]，半径为[3]的球面上，[PA=2]，且[PA、PB、PC]两两互相垂直.当[PC+AB]取得最大值时，三棱锥[O-PAB]的体积为_______.

解：因为[PA]、[PB]、[PC]两两互相垂直，所以三棱锥[P-ABC]可以补全为如图1所示的长方体，则长方体的外接球即为三棱锥[P-ABC]的外接球，

所以[PA2+PB2+PC2=（23）2=12]，

又因为[PA=2]，

所以[PB2+PC2=10].

因为[AB2=PA2+PB2=2+PB2]，

所以[PC2+AB2=2+PB2+PC2=12].

则[（PC+AB）2-2PC⋅AB=12]，

又因为[PC⋅AB≤（PC+AB2）2]，

所以[（PC+AB）2-2PC⋅AB=12≥（PC+AB）2-2（PC+AB2）2=12（PC+AB）2]，

当且仅当[PC=AB]时取等号，[（PC+AB）max=26]，此时[PC=AB=6]，

因为[PB=AB2-PA2=2]，

所以[VO-PAB=12VC-PAB=16SΔPAB⋅PC=112PA⋅PB⋅PC=212PB⋅PC]，

则[VO-PAB=12VC-PAB=33].

要求[PC+AB]的最值，需配凑出两式的积，而[（PC+AB）2-2PC⋅AB=12]中涉及两式的和与积，于是利用基本不等式建立不等式[PC⋅AB≤（PC+AB2）2]，从而求得[PC+AB]的最大值.

二、采用平面轨迹法

对于立体几何最值问题，其目标式的值往往受动点或动直线的影响，因此如果能够明确影响目标式取值的几何量的轨迹，就可以快速求得最值，这就需采用平面轨迹法来解题.一般地，我们可以通过作图直接找到轨迹，也可以通过建立合适的空间直角坐标系，设出变量，求得其轨迹方程，再根据轨迹来寻找最值.

例2.如图2所示，正方体[ABCD-A1B1C1D1]的长为[2]，[M、N]分别是棱[BC、C1D1]的中点，点[P]是平面[A1B1C1D1]内的一个动点，点[Q]是线段[A1N]上的一个动点，若[PM=5]，则线段[PQ]长度的最小值为_______.

解：过点[M]作[OM⊥平面A1B1C1D1]，

因为点[M]是[BC]的中点，则点[O]为[B1C1]的中点.

连接[OP]，如图2所示.

在[RtΔPOM]中，[PM=5，OM=2]，则[PO=1]，

所以点[P]的轨迹是以点[O]为圆心，半径为[1]的圆，如图3所示，过点[O]作[OH⊥A1N]，此时线段[PQ]的长度最小.

则[SΔA1ON=32，即12×A1N×OH=32]，解得[OH=355].

所以线段[PQ]长度的最小值为[OH-1=355-1].

运用平面轨迹法的关键就在于确定动点的轨迹或者是明确动点的运动范围.在解题的过程中，要添加合适的辅助线，以便快速计算出轨迹的长度或者是某些角度的大小，进而确定轨迹的方程.

以上两种方法都是解答立体几何最值问题的重要方法.在解题时，要将影响最值的量进行合理的转化，通过简单直观的形式展现出来，或通过代数运算求得最值.