辨别数列的类型，求数列的通项公式

我们一般用数列的第n项来表示数列的通项公式，该式是一个关于n的式子.求数列的通项公式的途径很多，如利用[Sn]与[an]之间的关系、累加（乘）法、构造法等.笔者对其中三种途径进行了总结，下面作详细的介绍.

一、利用[Sn]与[an]之间的关系

当递推关系式中含有[Sn]和[an]时，可以考虑利用[Sn]与[an]之间的关系：[an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，]来求数列的通项公式.首先令[n=1]，求出首项[a1]的值；然后分别求得[Sn]、[Sn-1]的表达式，并将两者作差得[an=Sn-Sn-1]；最后化简，即可求出数列的通项公式.

例1.已知数列[an]的前[n]项和为[Sn]，且[Sn=2an+1]，求数列[an]的通项公式.

解：令[n=1]，由[Sn=2an+1]可得[a1=S1=2a1+1]，即[a1=-1].

当[n≥2]时，由[Sn=2an+1]可得[Sn-1=2an-1+1]，

根据[Sn]与[an]之间关系可得，[an=Sn-Sn-1=2an+1-2an-1+1=2an-2an-1]，

即[an=2an-1]，

所以[an]是首项为[a1=-1]，公比为[q=2]的等比数列.

由等比数列的通项公式可得[an=-1×2n-1=-2n-1].

已知关系式[Sn=2an+1]中含有[Sn]和[an]，需用[Sn]与[an]的关系解题，首先求出[a1]；然后将[Sn]、[Sn-1]作差并化简，得出[an=2an-1]，即可发现[an]为等比数列，便可根据等比数列的通项公式求得数列[an]的通项公式.

二、累加（乘）法

当数列的递推关系形如[an+1-an=f（n）]时，可以考虑用累加法求通项公式，即[a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=an（n≥2，n∈N+）.]当递推关系形如[an+1an=f（n）]时，可以用累乘法求通项公式，即[f（1）⋅f（2）⋅…⋅f（n-1）=a1⋅a2a1⋅a3a2⋅…⋅anan-1=an.]

例2.在数列[an]中，[a1=1]，若[an-an-1=n-1]，求数列[an]的通项公式.

解：由[an-an-1=n-1]可得[an-an-1=n-1]，[an-1-an-2=n-2]，[…]，[a3-a2=2]，[a2-a1=1]，

将上述式子累加可得[an-a1=1+2+3+…+（n-1）=[1+（n-1）]（n-1）2]，

由[a1=1]得[an=n2-n+22].

[an-an-1=n-1]形如[an+1-an=f（n）]，于是运用累加法，将n=1，2，3，…，n-1时的这[n-1]个式子累加，即可求得当[n≥2]时[an]的表达式.

三、构造法

对于结构较为复杂的递推关系式，可以试着转换思路，构造一个辅助数列，如此就可以将复杂问题变为我们熟悉的等差、等比数列的通项公式问题，从而顺利解题.

例3.在数列[an]中，[a1=1]，[an+1=2an+5]，求数列[an]的通项公式.

解：令[an+1+t=2（an+t）]，则[an+1=2an+t]；

由[an+1=2an+5]可知[t=5]，

则数列[{an+5}]是以[a1+5=6]为首项，[2]为公比的等比数列，

所以[an+5=6⋅2n-1]，则[an=3⋅2n-5].

由[an+1=2an+5]可知[an]既不是等差数列，也不是等比数列，很难采用常规方法求得数列的通项公式，于是引入参数[t]，构造出等比数列[{an+5}]，通过求该等比数列的通项公式求得问题的答案.一般地，对于形如[an+1=pan+q]（[p]、[q]为非零常数）的递推关系式，可以构造出辅助数列[{an+t}]，用构造法求出数列[an]的通项公式.

通过上述分析可以发现，数列的递推关系式多种多样，但我们只要将其合理变换，就可以将问题转化为我们熟悉的、简单的形式，从而快速求出数列的通项公式.