基于浙江省中考函数试题分析的初中数学教学策略

浙江省2023年及以前的中考命题存在地区差异，但2024年将统一命题，遵循新标准。此变化标志着浙江初中数学教学和评价体系的新阶段。函数是初中数学的核心，特别是一次函数、反比例函数和二次函数，对提升学生的数学能力和素养至关重要。因此，本文专题分析了2023年浙江省各地区中考数学试题，发现试题要求学生全面掌握函数知识，并能应用其解决实际问题，全面检验了学生的知识储备和思维能力。

一、2023年浙江省中考函数试题分析

（一）关注本质，指向核心知识

在探讨函数相关问题时，教师应着重引导学生深入理解函数的本质——即函数的概念及其基本性质。以二次函数为例，通过表达式分析，我们可以直接得出函数的开口方向、对称轴和顶点位置等重要信息。这些信息对于绘制函数图象、解决参数取值范围等问题具有至关重要的作用。在解决函数问题时，学生应能够根据函数的表达式想象出对应的图象，或者从图象中推断出函数的性质。

试题1：在二次函数y=x2-2tx+3（t＞0）中，（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值；（3）如果A（m-2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围。

此题目的本质在于让学生理解二次函数的基本形式y=ax2+bx+c及其性质，如开口方向、对称轴、顶点等。此题中，函数形式为y=x2-2tx+3，其中a=1（开口向上），b=-2t，c=3。对称轴为x=t。图象过点（2，1），将点（2，1）代入函数表达式，得到1=4-4t+3。解此方程可得t的值。这是利用函数图象与坐标轴交点的性质来求解参数t的基本方法。由于二次函数开口向上，其最小值出现在对称轴上，即x=t处。将x=t代入函数表达式，并令其等于-2，得到t2-2t2+3=-2。解此方程可得t的值。这里需要注意的是，由于t＞0，需要舍去不符合条件的解。由于点A和C的纵坐标相同，根据二次函数的对称性，它们关于对称轴对称。即m-2和m的平均值等于t，从而得到t=■=m-1。点B（4，b）在函数图象上，且b＜3，说明当x=4时，y的值小于3。将x=4代入函数表达式，得到16-8t+3＜3，解此不等式可得t的一个范围。结合a＜b＜3的条件，以及点A、C的纵坐标相同且小于b，可以进一步确定m的取值范围。可以说，此题通过不同的设问方式，全面考查了学生对二次函数性质、图象以及参数求解的掌握情况。在解题过程中，始终围绕函数的本质和核心知识展开，既考查了基础知识的掌握情况，又考查了运用知识解决实际问题的能力。类似的问题在杭州卷第8题、丽水卷23题、宁波卷第9题和绍兴卷23题中也有出现。

（二）立足方法，凸显数形结合

函数作为数学中的核心概念，其表示方式多样，包括解析法、图象法和表格法等。但在深入研究各类函数时，我们更常依赖于解析法和图象法的紧密结合。在浙江省2023年各地区的中考卷中，我们可以明显看到这一趋势的体现。大量题目要求考生结合方程、不等式和代数式来解决问题，这正是“数”的力量的体现。

试题2：在“探索一次函数y=kx+b的系数k，b与图象的关系”的活动中，教师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）。同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数图象，并得到对应的函数表达式y1=k1x+b，y2=k2x+b，y3=k3x+b，分别计算k1+b，k2+b，k3+b的值，其中最大的值等于_____。

试题3：一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=■的图象交于点A（2，3），（m，-2），则不等式ax+b＞■的解是（ ）。

此题目通过对一次函数y=kx+b的系数k、b与图象的关系的探索，加深了学生对数形结合的理解，不仅考查了学生的作图、识图能力，还要求学生能够从图象中直观地找到答案，实现数与形的完美结合。试题3考查的是如何利用函数图象来解决方程和不等式问题。题目中一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=■的图象的交点，直接对应了方程的解；而不等式的解则可以通过观察图象中函数值的大小关系来得出。这种方法既直观又高效，充分体现了数形结合在解题中的优势。

试题4：如图1所示，点A，B分别在函数y=■（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C。点D，点E在函数（b＜0，x＜0）的图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连接DE，BE。若AC=2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a-b的值为__________，a的值为__________。

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图1

函数图象与几何综合问题考查反比例函数k的几何意义，解决此类问题要牢牢把握图象与几何图形的交点坐标，通过坐标的概念实现坐标与线段之间的转化，再结合所学几何图形的性质，通过勾股定理、相似三角形、点在函数图象上等方式构建方程求解，过程复杂，需要学生对函数、几何知识系统理解、掌握。

（三）迁移素养，彰显育人价值

在2023年浙江省各地区的中考中，实际问题的类型非常丰富，包括方案选择问题、行程问题、项目化问题等。学生需要从实际问题中摒弃其中的物理因素，抽象得到数学问题，通过作图、活动经验、收集实验数据建立数量关系以及量之间的变化规律，完成数学的再抽象，形成函数模型思想，增强学生的函数应用意识以及学科核心素养。

试题5：“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具。综合实践小组准备用甲、乙两个透明的、竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置。

【实验操作】综合实践小组设计了如下实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30 cm，开始放水后每隔10 min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据表（略）。

任务1：分别计算表中每隔10 min水面高度观察值的变化量。

【建立模型】小组讨论发现“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系。

任务2：利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式。

【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差。小组决定优化函数解析式，减少偏差。通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小。

任务3：计算任务2得到函数解析式的w值。

【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间。

任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案。

此试题以我国古代的“刻漏”为背景，采用项目化问题解决的形式进行设计。学生首先需要理解“刻漏”的计时原理，即水面高度和流水时间有关。这实际上是将实际问题转化成数学问题的第一次抽象，然后，借助一次函数进行刻画，考查学生的函数应用意识。在数据的选择上，学生需要进行分析和思考以及后续进行模型优化。这体现了模型应用的一般思路：建模—解模—优模。在后续的模型优化中，学生需要科学、准确地使用实验数据和模型数据，选取误差较小的k进行模型优化。

试题6：某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图2）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在距离营地60 km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速度前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴距离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图3所示。

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图2 图3

（1）求大巴距离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值。

（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间。

此试题改编自书本例题，学生解决问题时需要先将实际问题抽象成数学问题，并结合图3的函数图象进行数学建模，依据函数图象特征，用一次函数模型刻画该行程问题，通过函数图象中的特殊点进行分析并结合实际情境解决问题，考查学生的建模、用模能力。

二、初中数学教学策略、建议

（一）理解核心概念，夯实基础

函数作为描述和研究运动变化的重要工具，其核心概念的理解对培养学生的数学能力和素养至关重要。初中阶段涉及的三种主要函数：一次函数、反比例函数和二次函数，虽然形式上都是通过表达式来定义，但它们各自背后所蕴含的核心意义却截然不同。

一次函数通过斜率截距形式y=kx+b，其斜率k直观地描述了匀速变化的快慢，而截距b则给出了函数图像与y轴的交点位置。在教学中，教师要让学生明确理解一次函数与匀速变化之间的对应关系，通过引入实际问题，让学生体会一次函数模型在现实生活中的应用。反比例函数则通过y=■的形式来表示，其中k为常数，体现了变量间的定积关系。在教学过程中，教师应引导学生理解反比例函数图象的双曲线特性，以及为何在某些实际问题中需要用反比例函数来描述变量间的关系。二次函数作为刻画匀变速运动的工具，其形式为y=ax2+bx+c。通过二次函数的顶点、对称轴等性质，学生可以深入理解匀变速运动的特点。在教学中，教师可以通过实验数据、物理情境等，让学生直观感受二次函数与匀变速运动之间的联系，进而加深对二次函数概念的理解。

在夯实函数核心概念的基础上，教师还应重视计算的教学。计算不仅是为了得出结果，更重要的是让学生通过计算过程，理解函数表达式的运算逻辑和算理。为此，教师可以设置小型竞赛、限时训练等教学活动，让学生在竞赛中提高计算速度和准确性，在限时训练中锻炼思维的敏捷性和严密性。

（二）编织知识网络，完善体系

为帮助学生全面理解数学知识，教师应构建逻辑清晰的教学框架，将数学中的核心概念、原理和方法整体传授给学生，使他们能够将这些知识点有效地串联，进而形成系统、完整的知识体系。

首先，教师需要深入剖析每个数学核心概念，并利用知识框架图，将相关知识点按其逻辑关系进行有序的排列和连接，帮助学生清晰地看到知识点之间的联系和区别，从宏观角度把握数学知识体系的结构。

其次，教师可以通过创新的教学方法来巩固和深化学生对知识的理解。例如，教师可以鼓励学生制作数学小报，自主搜集、整理、总结与所学知识点相关的内容。这一过程不仅能锻炼学生的信息搜集和整理能力，还能让他们在实践中发现知识点之间的内在联系，从而更深入地理解和掌握数学知识。

最后，为了提高学生的知识应用能力，教师需要注重跨学科知识的融合。例如，在函数的教学中可以引入物理学科中的速度和加速度等概念，通过建立速度与时间之间的函数关系，让学生理解匀速、匀加速等运动状态下的函数图象和性质。这样，学生不仅能够直观地理解函数的概念，还能够看到数学在解决实际问题中的应用。

（三）渗透数学思想，提升能力

在函数模块的学习中，数学思想的渗透对学生能力的培养至关重要。其中，“数形结合”与“函数建模”是两种核心的数学思想，它们对提升学生的数学能力和解决实际问题具有显著意义。“数形结合”思想的学习和应用，在新课和复习课中都应得到充分体现。例如，当学生学习含参二次函数时，教师可以通过引导学生自己动手作图，让他们直观地观察到函数图象的变化规律。学生在尝试绘制含参二次函数图象的过程中，不仅能够加深对函数性质的理解，还能在考试时灵活运用数形结合的方法解决问题。相较于单一的代数法，数形结合能更直观地揭示问题的本质，从而提高解题效率。此外，学生在作图过程中，不仅能培养动手能力，还能更深入地理解二次函数的性质。在比较和探究的过程中，学生的推理能力以及数形结合思想都会得到显著提升。

“函数建模”则是连接数学知识与现实生活的桥梁。在现实生活中，许多问题都可以通过函数建模来解决。因此，教师在复习时应着重总结函数建模的一般方法。例如，教师可以引导学生将实际问题中的关键信息提取出来，识别出适用的数学模型，如线性模型、二次模型等。然后，学生根据这些模型建立数学方程，进而解决问题。在此过程中，学生不仅能掌握函数建模的方法，还能培养问题解决能力。为了进一步优化模型，教师还可以引导学生对建立的模型进行验证和调整，使其更符合实际问题的需求。通过这样的学习过程，学生不仅能深刻理解函数建模的思想，还能在实际应用中提升自己的问题解决能力。

（四）反思解题过程，迁移素养

解决问题是学生综合能力的全面体现，它不仅涉及知识和技能的掌握，还体现了学生的数学能力和学科核心素养。为了进一步提升学生的理解和应用能力，教师需要引导学生进行深入的解题反思，并通过题型转换和变式训练加强学生对解题过程的总结。在二次函数的教学中，反思解题过程尤为重要。教师可以通过设计选择题和填空题，帮助学生巩固二次函数的基础知识。例如，给出具有不同系数的二次函数表达式，让学生求解函数的顶点、函数与坐标轴的交点等问题。这样的训练旨在使学生熟练掌握二次函数的基本性质和解题方法。随着学生对基础知识的逐渐掌握，教师可以适当增加题目的难度，如给出部分系数未知的二次函数表达式，引导学生进行求解。在此过程中，学生不仅需要灵活运用所学的知识和技能，还需要深入反思和总结解题的方法和思路。

解题反思的过程不仅有助于提升学生的数学知识和技能，还能培养其逻辑思维和分析问题的能力。通过不断的反思和总结，学生能够逐渐形成迁移核心素养的能力，即在面对新的问题和挑战时能够灵活运用所学的知识和方法，迅速找到解决问题的有效途径。最终，这种深入的解题反思和总结将显著提升学生的元认知能力。学生将能够更加清晰地认识到自己的解题过程和思路，从而更好地监控和调节自己的学习过程，实现高效学习。同时，这种迁移核心素养的能力也将为学生的未来学习和发展奠定坚实的基础，使其成为具备终身学习能力和创新精神的优秀人才。

综上所述，随着浙江省中考命题方式的转变，全省统一命题的到来为初中数学教学带来了新的挑战和机遇。通过对2023年中考中有关函数试题的深入分析，不难发现，函数内容在中考中占据重要地位，其考查方式充分体现了对学生数学核心素养的全面要求。因此，在未来的教学中，教师应更加注重对核心概念的理解、数学思想的渗透以及解题过程的反思，以帮助学生构建完整的数学知识体系，提升数学能力和问题解决能力。

（作者单位：浙江杭州市余杭区太炎中学）

编辑：赵文静