立足整体视角，培养学生的系统思维

一、教学内容分析

本节课以含有多未知数的实际问题为情境，让学生经历“分析问题→设出合适未知数→根据数量关系列出方程组→解方程→检验方程的解”这一过程，学会用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界，并用数学的语言表达现实世界。

二、学情分析

学生在七年级上册已经学过了一元一次方程。对于方程有了初步的了解，有了一定的知识储备，本节课给学生搭建“脚手架”的同时，将知识进一步升级，从一元一次方程过渡为二元一次方程。通过类比学习，学生可将二元一次方程组的内容填充进已有的知识框架中，也为九年级上册学习一元二次方程打下基础。学生在分析实际问题时，会优先选择已经学过的一元一次方程。因此，问题情境的设置要有针对性，有区别度，让学生体会到有些问题一元一次方程比较简单。但是有些问题用一元一次方程解决不了时，可以用二元一次方程解决。另外，在解二元一次方程组的过程中学生会遇到很多问题，为什么要向一元一次方程转化、为什么可以转化、如何转化。这里需要教师引导学生理解两个方程中的同一未知数表示的是实际问题中的同一意义，进一步体会消元、化归思想。

三、教学目标

1.通过具体问题情境，让学生了解数学源自生活，并将用来解决生活中的问题，激发学生的学习兴趣，有助于学生快速进入学习情境，了解数学知识的抽象性和思维具体形象性的关系。

2.通过类比一元一次方程，了解二元一次方程及其相关概念。

3.通过对比和实际操作能了解解二元一次方程组的关键是消元，基本目标是化归，最终转化为x=a，y=b。根据二元一次方程组的特征选择合适的方法解简单的二元一次方程组。

4.回归实际问题，能通过数学建模解决实际问题，并强化检验习惯。

5.给学生搭建起学习方程的路径，为八年级学习分式方程打下基础。

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图1

四、教学设计

（一）创设情境，导入新知

情境1：今年的中国大学生篮球联赛正在如火如荼地举行。回顾去年的总决赛，广东工业大学对战清华大学的比赛在网上掀起热浪。（插入视频比赛的精彩瞬间）。已知篮球比赛每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分。那么这个队的胜负场数分别是多少？（只列式，不解答）

师生活动：教师播放视频，引发学生兴趣，并展示问题让学生尝试解决，让学生体会到数学来源于生活，并用来解决生活中的实际问题。学生独立完成。有些学生可能会遇到困难。教师尝试引入工具表格，帮助学生分析题目。

表1

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学生完成后，分享结果。若有学生用了二元一次方程组，则提供出来一起分享。若没有则需要追问：若直接设两个未知数，我们应怎样设？怎样列方程更加容易呢？

（设计意图：通过热点视频导入新课，能够快速吸引学生的注意力，启动学生思维，激发学生兴趣。通过追问引入今天要学习的内容，并让学生学会对比。工具表格可帮助学生分析题目中的数量关系，以便学生在遇到复杂的问题时也能够熟练使用表格分析问题。）

情境2：因篮球比赛火遍网络，你所创业开设的球衣工厂订单暴增。某工厂加工球衣需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件。第二道工序：每人每天可以完成1200件，现有7位工人参加两道工序，应怎样安排人力才能使每天第一道工序、第二道工序所完成的件数相等？（只列式，不解答）

师生活动：教师展示问题，创设问题情境，激发学生的学习兴趣和求知欲，启动学生的思维，激发学生对新知学习的热情，拉近学生与新知的距离。学生独立完成，列出方程。教师关注学生完成情况，个别有困难的学生指导如何利用工具表格分析数量关系，并请学生用黑板展示答案。

（设计意图：通过让学生当“小老板”，激发学生的兴趣，并体会数学的实用性，体会数学在实际生活中的应用。通过分享答案，学生获得数学学习的成就感，增强学习数学的兴趣与信心。）

情境3：球衣制作工厂有两种技术工人。两个一级工人和五个二级工人同时工作两小时共制作球衣360件。三个一级技术工人和两个二级技术工人同时工作五小时可制作800件球衣。问每个一级技术工人和二级技术工人每小时平均各可以制作多少件球衣？（只列式，不解答）

师生活动：学生充分读题，可以适当讨论。学生尝试解答后，对于有困难的学生，教师引导学生关注有两个未知数、两个等量关系。学生依据发现的等量关系建立方程组，并用黑板展示。对于这道题目而言，学生通过解题能够发现用一元一次方程没办法解决。教师适时总结：“不能用一元一次方程解决的问题，我们也可以设两个未知数列两个方程解决。随着未知量的增加，未知关系的复杂化，一元一次方程不能解决问题了，我们可以通过设两个未知数列两个方程来解决问题。”

（设计意图：学生通过列出方程发现，这个实际问题只能通过设两个未知数列两个方程来解决。学生通过对比逐步发现，有些问题通过二元一次方程组解决更加简单，还有一些问题必须通过二元一次方程组才能解决问题。）

（二）前衔后连，类比生成

任务一：观察上述我们得到的算式，他们有何共同特点，类比我们学过的一元一次方程，得出上述式子的特征，并给它们取个名字，下个定义。

师生活动：学生一起回忆一元一次方程的定义，分享学生的观察结论，找到关键点，将其规范化得出二元一次方程的定义：含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

（设计意图：通过类比让学生通过观察、分析、总结二元一次方程的特征，并得出二元一次方程的定义，体会从特殊到一般的归纳过程。这一过程让学生找到新知识的生长点，体会新旧知识之间的衔接，感受知识的不断升级，发现知识间的联系，并将新知识纳入自己已经有的知识框架中，有助于学生系统地学习，有助于知识的整体性发展。）

追问：刚刚的实际问题中包含两个同时满足的条件，即x，y需要同时满足两个方程。我们将它们用大括号合在一起就得到了方程组。那么二元一次方程组的概念你可以尝试总结一下吗？

师生活动：学生自由发言，互相启发，不断补充完善，教师最后总结，规范二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。

任务达标：下列各方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

（1）x+y=1y=-2 （2）xy=1x+y=2 （3）x=-1■=3

（4）x+y=1y-z=0 （5）x=12y=8

师生活动：学生独立思考做出选择，并说明理由。

任务二：类比探究，辨析概念。

1.将满足实际意义并满足方程x+y=10的x，y的值填入表2中。

表2

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2.将满足实际意义并满足方程2x+y=16的x，y的值填入表3中。

表3

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师生活动：类比一元一次方程的解得出二元一次方程组的解的概念，即使二元一次方程两边值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。

追问：二元一次方程的解有几组？

追问：观察x+y=10和2x+y=16的解，我们有何发现？

有一组解x=６y=４是相同的。它既满足x+y=10又满足2x+y=16。我们把它称为二元一次方程组x+y=102x+y=16 的解。

（设计意图：通过对比表格体会二元一次方程组的解是这两个方程的公共解，同时提高学生的细心观察和大胆分析的能力。）

追问：我们只能通过列表格的方法找二元一次方程组的解吗？

在解决刚刚的实际问题的过程中，我们既可以用一元一次方程解决，又可以用二元一次方程组解决。那么对比观察我们得到的这两种方程，它们有什么关系？从中你能得到什么启发吗？

2x+（10-x）=16 x+y=102x+y=16

900x=1200（7-x） x+y=7900x=1200y

师生活动：学生独立思考后小组讨论。大部分学生能发现两个方程之间的联系，对于一元一次方程中括号里的内容，我们可以用二元一次方程组里的一个方程变形得到。例如，2x+（10-x）=16中的10-x可以由方程组中的x+y=10得到。我们将变形后的y=10-x代入第二个方程中就得到了一元一次方程。

追问：通过将二元一次方程组转化为一元一次方程，我们是否达到了解方程组的目的？你能尝试解出x，y的值吗？

师生活动：学生独立思考、完成解题过程。教师巡视过程，并抛出问题，解出x后怎样得到y的值？学生思考并尝试并得到答案，将x值代入y=10-x中。

追问：1.我们把y=10-x代入x+y=10中可以解出x的值吗？试试看。

学生通过思考或者尝试发现不可以。

2.我们为什么可以将x+y=10变形为y=10-x并带入2x+y=16中？

3.在方程组的两个方程中x和y是否表达实际问题中的同一意义？

4.我们进行上述转化的目的是什么？

（设计意图：让学生理解两个方程组中的x都表示胜场数，y都表示负场数。两个x表示的意义相同。因此我们能够通过变形带入，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。而进行转化的目的是进行消元，而消元的目的则是将未知转化为已知，达到解方程的目的，让学生更好地发现代入消元法的关键。）

5.我们能将x的值代入2x+y=16中求y吗？哪种运算更加简便？

6.对于x+y=102x+y=16，你能写出求解过程吗？你可以总结一下这个步骤吗？

学生总结：（1）变形。（2）代入。（3）解一元一次方程。（4）将解代入简单方程求另一个未知数。

（设计意图：总结代入消元法求解二元一次方程组的步骤是一个数学建模的过程，是一个从特殊到一般的过程。这个过程有利于学生知识的系统化，提高学生的计算能力。学生完成解题后，教师可以利用投影等方式规范学生的解题过程。）

追问：你认为我们在解上面两个方程的过程中最关键的是哪一步？

学生自由发言，互相启发，明确最关键的一步是代入。

教师总结：通过将10-x代入2x+y=16，我们将二元一次方程组转化为一元一次方程，目的是将未知数的个数由多化少，逐一解决。减少未知数的个数，使多元方程转化为一元方程再求解。我们把这一过程叫做“消元”。把这种解方程的方法叫做代入法解方程。

任务达标：用代入法解方程组

x+y=7900x=1200y x-y=33x-8y=14

师生活动：学生独立解方程组，教师邀请两位学生上讲台解题。教师在巡视过程中时刻关注学生的解题情况，尽量做到及时批改。学生做完，教师基本可以批完，并纠正学生出现的错误。对于部分基础薄弱的学生，教师可以通过小组互助的方法来帮助。

（三）知识建构，指向未来

到这里我们已经能够顺利解决我们开始遇到的两个实际问题。还有第三个问题我们没有解决，你能尝试用我们刚刚学过的内容解一下这个问题的答案吗？

学生独立解题，发现能够解出答案，但是解题过程比较复杂。

追问：为什么不好解？

学生能很快反应与x，y的系数有关。我们前面解的方程x或y的系数为1。因此很容易转化带入。

追问：回顾我们这节课的学习，结合我们学过的一元一次方程，你能总结一下我们本节课的学习路径吗？

师生活动：学生自由发言，互相启发，互相补充完善，构建这节课的知识框架和学习路径。教师总结：“我们从实际问题出发，通过设未知数，列出方程，在一元一次方程的基础上又学习了二元一次方程和二元一次方程组。然后类比一元一次方程的解，我们知道了什么是二元一次方程组的解。并通过对比分析得出解二元一次方程组的方法——代入消元法。这个二元一次方程组的解也就是我们开头实际问题的答案。带领学生回顾，我们在学习一元一次方程时，是不是也是遵循这个路径进行一步步的学习。同样，我们以后学习分式方程和一元二次方程也将遵循这个路径，形成一个完整的闭环。”

（四）分层作业，积累经验

▲基础作业

1.代入法解方程。

x+2y=5y=2x x-y=13x+y=7

2.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何。”你可以用二元一次方程组来表示题目中的数量关系吗？试找出问题的解。

3.若方程3xm-2+5y2n-m是关于x，y的二元一次方程，则m= ，n= 。

▲拓展作业

1.若方程（m+2）x■+（n+3）y■=3是关于x，y的二元一次方程，则m= ，n= 。

2.代入法解方程。

x+y+z=12x+2y+5z=22x=4y

（作者单位：邹平经济技术开发区实验学校）

编辑：张俐丽