初中数学函数教学中渗透模型思想的实践

一、教学内容

本节课以北师大版数学八年级上册第四章“一次函数”中的“函数”（第74页到78页）为例，通过实例引入常量与变量的概念，进而讲解函数中常量与变量的意义，旨在帮助学生理解函数关系，特别是两个变量之间的对应关系，以及如何从实际问题中抽象出这种关系。此外，介绍了变量之间的关系可以用不同的形式（如解析式、图像、表格等）进行表达，并强调了在解决实际问题时，自变量的取值范围应根据实际情况来确定。

二、教学目标

1.通过实例了解常量、变量的概念，理解函数中常量、变量的意义。

2.引导学生通过探究性学习，学会寻找常量、变量，判断两个变量之间是否满足函数关系。

3.培养学生的模型思想，使其能够运用函数模型描述和解决实际问题。

三、教学重难点

教学重点：理解函数中常量、变量的意义，掌握判断两个变量之间是否满足函数关系的方法。

教学难点：将实际问题抽象为函数模型，确定自变量的取值范围。

四、教学过程

师：同学们，我们生活中常常会遇到很多变化的量，如时间和距离、购买数量和总价。今天我们将要学习一种新的数学概念——函数，来帮助我们更好地理解和描述这些变化关系。

（设计意图：通过简单的对话引起学生的好奇心和兴趣，为接下来的教学活动做铺垫。）

◆活动一：实践探究，学习新知

［探究1］

师：请同学们看这两个例题，我们来分析一下其中哪些量是变化的，哪些量是不变的。

（展示例题1和例题2）

例题1：小轿车在高速公路上匀速行驶，速度是恒定的100千米/时，那么哪些是变量，哪些是不变量呢？

A.行驶速度

B.行驶时间

C.行驶路程

例题2：每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，其中，_____是常量，_____是变量。

学生观察例题，思考。

师：对于第一道例题，小轿车在高速公路上匀速行驶，速度是恒定的100千米/小时，那么哪些是变量，哪些是不变量呢？

生1：时间是变量，因为车可以行驶不同的时间；路程也是变量，因为行驶的时间不同，路程也会不同。而速度是常量，因为它一直是100千米/小时。

师：很好，分析得很到位。那么对于第二道例题呢？

生2：电影票售出的张数x是变量，因为售票的数量会变化；票房收入y也是变量，因为随着售票数量的增加，收入也会增加。而每张电影票的价格10元是常量，因为它不会变。

师：非常正确！通过这两道例题，我们可以看出有些量是不变的，我们称之为常量；而有些量是变化的，我们称之为变量。在生活中，我们经常会遇到这种变量之间的关系，而函数就是描述这种关系的一种工具。

（设计意图：通过实际问题的分析，引导学生理解常量和变量的概念，为后续学习函数打下基础。同时，通过师生的互动对话，鼓励学生积极参与课堂讨论，提高思维能力和表达能力。）

［探究2］

师：在之前的探究中，我们发现了时间和路程、电影票数量和票房收入之间都存在着某种关系。现在，请大家思考这两个问题。

问题1：在上述的问题中，都出现了两个变量，它们之间有什么联系？

问题2：这些变量之间有什么特点？

师：请同学们分小组讨论这两个问题，并尝试归纳出你们发现的规律。

（学生分组讨论，记录发现）

小组代表1：我们发现，在时间和路程的关系中，当时间t确定时，路程s也随之确定。比如，当t=1时，s=100；当t=2时，s=200。这说明s和t之间是互相关联、互相影响的。

小组代表2：在电影票数量和票房收入的关系中，也存在类似的规律。当电影票数量x确定时，票房收入y也随之确定。这说明x和y之间也是互相关联的。

教师小结：很好！同学们发现了这些变量之间的一个重要特点。那就是，在两个变量中，当其中一个变量为定值时，另一个变量就有一个唯一的值与它相对应。这就是函数的基本特征。

（设计意图：在本次函数概念的教学活动中，教师采用了问题引申和小组合作讨论的方式，旨在引导学生通过自主探索和合作交流，深入理解函数的本质。教师通过引导学生归纳变量间的相互关系，帮助学生逐步把握函数的基本特征，从而为其后续深入探究函数的性质和图像奠定坚实的基础。）

◆活动二：开放训练，体现应用

师：同学们，我们之前讨论了变量之间的关系，并了解到这种关系可以用不同的方式来表示。现在，让我们来看一个实际生活中的例子，汽车油箱中的油量随着行驶的路程而变化。

例题：汽车油箱中有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km。请找出y与x之间的函数关系，并确定x的取值范围。

师：首先，我们来看如何表示y与x之间的函数关系。同学们能尝试写出一个表示这种关系的式子吗？

生1：我觉得应该是y=50-0.1x，因为油箱初始有50 L油，每行驶1 km耗油0.1 L。

师：非常好！这个式子正确地表达了y与x之间的关系。那么，接下来我们要考虑x的取值范围。同学们觉得x可以取哪些值呢？

生2：x应该不能取负数，因为路程不可能是负的。而且，当x=500时，y=0，所以x的取值范围应该是0到500之间。

师：非常棒！你不仅考虑了x的实际意义，还结合了函数关系式来确定x的取值范围。确实，x的取值范围是0≤x≤500。

（设计意图：通过讲解例题和师生互动对话的形式，教师引导学生初步理解变量间的关系可用解析式表达，深化对变量和常量的认识。同时，借助实际问题的应用，不仅培养了学生的问题解决和数学应用能力，还规范了他们的语言表达和书写习惯。）

◆活动三：课堂检测，巩固提升

师：我们来看这道题：小明决定每天攒1元钱去帮助需要帮助的人，并且他现在已经存了3元。同学们，请根据这个情境，找出存钱总数y与天数x之间的函数关系。

生：函数关系式是y=x+4。因为小明每天攒1元，所以x天后，他会攒x元，加上原有的3元，总数应该是x+3+1=x+4元。但是这里有个问题，如果x从0开始算的话，那么第一天他应该有3元，所以函数关系式应该是y=x+3才对。

师：很好，你发现了问题并进行了修正。确实，函数关系式应该是y=x+3，其中x表示从第一天开始算起的天数。那么，当天数x越大，存钱总数y会怎样变化呢？

生：随着天数x的增加，存钱总数y也会相应增加。

师：现在我们来看另一道题目：每天值日的同学要整理粉笔盒，班级原来有4盒粉笔，老师们每周用1盒。同学们能找出剩余的粉笔盒数y与所用星期x之间的函数关系吗？

生：函数关系式是y=4-x。因为每周用1盒，所以x周后剩下的粉笔盒数就是4-x盒。

师：非常好！你准确地找出了函数关系式。那么，当星期数x越大，剩余的粉笔盒数y会怎样变化呢？

生：随着星期数x的增加，剩余的粉笔盒数y会逐渐减少。

师：好，现在我们来看最后一道题目：小明家与姥姥家距离为2千米，他从家以每分钟0.3千米的速度骑车去姥姥家。你们能写出他距姥姥家的距离y与时间x之间的函数关系式吗？

生：函数关系式是y=2-0.3x。因为他每分钟骑0.3千米，所以x分钟后他骑行的距离是0.3x千米。总距离是2千米，所以他距离姥姥家的剩余路程就是2-0.3x千米。

师：非常棒！那么，当时间x越大，与姥姥家的距离y会怎样变化呢？

生：随着时间x的增加，与姥姥家的距离y会逐渐减少。当他骑行足够长的时间后，y会变成0，表示他已经到达了姥姥家。但是实际上，当他到达姥姥家后就不会再骑行了，所以y不会小于0。因此，在实际情境中，我们应该考虑y≥0的情况。

师：很好。确实，在实际情境中，我们需要考虑实际情况对函数取值范围的限制。

（设计意图：通过这三道例题的练习，进一步巩固函数关系式的建立和对函数性质的理解。）

◆活动四：课堂小结，画龙点睛

师：同学们，这节课的内容已经基本讲完了。现在我们来进行课堂小结，回顾一下今天学到的知识。首先，我们来讲讲常量和变量。

生1：常量和变量就是在某个过程中不变和变化的量。

师：对，非常准确。常量和变量是普遍存在的，它们只是一个过程中存在的两个量。我们在解决问题的时候，要根据实际情况来区分它们。

师：接下来，我们谈谈函数。判断两个变量之间是否为函数关系，我们需要看哪两个方面呢？

生2：一方面是看一个变量的数值是否随着另一个变量的数值的改变而改变；另一方面是自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应。

师：很好，你总结得很到位。这就是我们判断两个变量是否为函数关系的两个关键点。

师：最后，我们来说说自变量的取值范围。确定自变量的取值范围时，我们需要考虑什么？

生3：我们不仅要考虑函数关系式有意义，还要确保实际问题在这个取值范围内是有意义的。

师：对，非常正确。这堂课，我们一起学习了常量和变量、函数关系以及自变量的取值范围等知识点。希望大家能够把这些知识点牢记在心，并运用到实际问题中。同时，大家要积极分享自己的学习心得和体会，这样可以帮助大家更好地理解和掌握这些知识。

（设计意图：在课堂小结环节，教师作为引导者，通过提问的方式引导学生对本节课的知识点进行回顾和总结。同时，通过鼓励学生分享学习心得和体会，进一步加深学生对函数概念的理解，提高学生的思维能力和数学学科核心素养。）

五、教学反思

在本次教学活动中，我采用了问题引申和小组合作讨论的方式，引导学生通过自主探索和合作交流，深入理解函数的本质。同时，我通过实际问题的应用，培养了学生的问题解决能力和数学应用能力。在教学过程中，我注重引导学生归纳变量间的相互关系，帮助学生逐步把握函数的基本特征。然而，我也发现了一些不足之处，如部分学生对函数模型的建立仍存在困难，需要我在后续教学中加强引导和训练。此外，我应更加注重学生的个体差异，因材施教，确保每个学生都能掌握函数的基本概念和应用方法。

（作者单位：深圳市宝安区实验学校〈集团〉海乐实验学校）

编辑：张俐丽