“水流导光”全反射实验的影响因素探究

摘" 要：全反射是几何光学中涉及界面处光线传输问题的重要知识点。本文通过“水流导光”实验生动再现了光的全反射现象，并且基于平抛水柱导光简化模型，研究了小孔与液面的高度差、小孔面积、不同液体介质、入射光的频率等因素对“水流导光”全反射实验的影响。

关键词：水流导光；全反射；影响因素

通讯作者：许士通（1990—），男，副教授，研究方向为太赫兹波段功能器件以及物理教学研究。

基金项目：本文系国家自然科学基金青年项目“基于液晶填充的微结构太赫兹可调谐偏振控制器件研究”（课题编号：62005143）的研究成果。

1" 引言

1841年，瑞士物理学家Daniel Colladon提出了水流导光，并实现了用水流传导光，开创了通过光传输信息的想法，为后来光导纤维的发明奠定了基础。1966年，“光纤之父”高锟提出了光纤的构想，并用硅基玻璃（SiO2）制造出最初的光纤，把光波约束在光纤内部，从而使光可以沿着光纤轴线方向传播。光纤通信技术具有带宽大、误码率低、传输距离长等优点。目前光纤已在通信领域、医学、传感等领域发挥着重要作用。

几何光学中，光的全反射理论是光导纤维应用的理论基础。［1］为了模拟光的全反射现象和巩固光的全反射的授课内容，本文采用水流导光简易装置进行光的全反射实验，并从小孔与液面的高度差、小孔面积、不同液体介质、入射光的频率等角度讨论实现“水流导光”的影响因素。

2" “水流导光”实验

2.1" 实验装置

所需材料有激光器（红色、绿色、紫色各1只）、矿泉水瓶（3个）、黑色幕布、水盆、水、盐水、牛奶、录像机等。在制作装置时，先将一段铁丝在火上加热，然后将铁丝对准塑料瓶身底部平整处，并烫出一个直径约为1cm的圆形小洞。水流导光实验简易装置图如图1所示。将水盆置于塑料瓶右下方用于接水，调整激光器的位置，使得激光能够对准瓶身的小孔出射。随着水流流出，观察水流导光的现象。

2.2" 实验原理

当激光射向透明塑料瓶上的小孔时，如果没有水流，则光将在均匀介质中沿着水平方向向前传播；当水流呈抛物线流出时，光由光密介质（

水）射向光疏介质（空气）。设光在水中的折射率为n1，入射角为i1，在空气中的折射率为n2，折射角为i2。由折射定律n1sini1＝n2sini2，当入射角增至i1＝arcsinn2n1时，折射角i2达到90°，折射光线消失，只剩下反射光线。

此时的入射角i1为全反射临界角。当入射角大于全反射临界角时，光只会在两介质交界面上发生反射，无折射光线；经过多次全反射，光便沿着水流从一端传到另一端，形成了“光沿水流走”的现象。其中，水流可看作类似光导纤维纤芯的物质，空气类似包层。

3" “水流导光”实验影响因素研究

“水流导光”实验可以很好地诠释光的全反射现象，体现光导纤维可以使光信号沿着曲线传播的原理。［2］为了对本实验进行进一步创新研究，下文基于自由平抛水柱的导光模型，从小孔与液面的高度差、小孔面积、不同液体介质、入射光的频率等角度讨论实现“水流导光”的影响因素。

3.1" 小孔与液面的高度差

通过实验发现，小孔与液面的高度差越大，水流的曲率越小，即入射光线到A点的入射角越大时，更易发生全反射现象实现“水流导光”，其平抛水柱光线路径示意图如图2所示

。

下文对“水流导光”实验进行定量分析。由于水从瓶身小孔处流出后，在下落的过程中速度越来越快，而水流量不变，故水柱直径随着水流速度增大而减小。为了防止较大的水流速度导致水柱分散，本研究选择在水柱下落高度较小时进行实验。这样可以忽略空气阻力、粘滞力等影响［3］，近似认为水柱直径保持不变，研究光在近似平抛水柱中的全反射受到小孔与液面高度差的影响程度。［4］

基于自由平抛水柱的导光模型，根据图2坐标，水流上界面的路径方程为

x＝v0t，①

y＝－12gt2。②

由式①②可得路径方程为y＝－gx22v20，③

所以第一个入射点A所在位置的斜率为

k＝dydx＝－gxv20。 ④

A点的坐标为v0dg，－d2，代入式④可得在A点的斜率为

kA＝－gdv0，⑤

根据图2可得，kA＝－tanπ2－θ＝－cot θ，⑥

由式⑤⑥可得v0＝gdcot θ。 ⑦

假设水流从瓶口流入的横截面积为S1，流动速度为v1，水流自瓶身底部小孔流出的横截面积为S2，流动速度为v2，考虑到水流稳定，可得连续性方程

S1v1＝S2v2，⑧

即水流量保持不变。

由伯努利方程可得

ρgh1＋p1＋12ρv21＝ρgh2＋p2＋12ρv22。⑨

设瓶身小孔处水平线为零势能面，小孔与液面的高度差为h（见图3），则可以得到

v2＝2gh＋v21，⑩

结合式⑦⑩可以得到v1与h之间的关系公式

h＝gdcot2θ－v2112g，B11

根据式⑧，可知S1S2＝v2v1。 B12

当S1S2，v1趋近于0时，h＝d2cot2θ，B13

考虑到光线发生全反射时，θ≥θc，所以

h≥d2cot2θc。 B14

如果瓶身上的小孔直径为1cm，代入式B13可以得到液面与小孔的高度差和入射角之间的关系如表1所示，根据表1作出的关系图如图4所示。由于空气的折射率近似为1，水的折射率为1.333，光发生全反射时，有11.333＝sin θc，计算出光在水中的全反射临界角为θc＝48.6°。当液面与小孔的高度差满足h≥12cot248.6°cm≈0.64cm时，此时入射角达到全反射临界角，光线达到全反射状态。

3.2" 小孔面积

实验发现，当逐次增加小孔面积时，使光发生全反射所需水流初速度越大，即越不易发生光的全反射现象。下面进行定量分析，假设水流从瓶口流入的横截面积远大于水流自瓶身底部小孔流出的横截面积，即S1S2。由B13式可知d＝2hcot2θ，固定液面高度差h为2cm时，小孔直径d与入射角θ的关系如表2所示，根据表2作出的关系图如图5所示。

当小孔的直径满足d≤2hcot2θc，即d≤2×2×cot248.6°≈3.11cm时，此时入射角达到全反射临界角，光线达到全反射状态。

3.3" 不同液体介质

同一单色光在不同介质中的传播速度不同。光在真空中的传播速度c与介质中的传播速度v的比值，称为绝对折射率，即n＝cv。因此，同一频率的光在不同液体介质中的折射率不同。设光在液体中的折射率为n，当光由某液体介质向空气中传播时，全反射临界角为i1＝arcsin1n。液体的折射率越大，光的全反射临界角越小，光更容易达到全反射状态。

盐水的折射率大于水，且随着溶液浓度的增加其折射率越大（浓度为12%的NaCl溶液折射率为1.362［5］，牛奶的折射率约为1.34［6］，水的折射率为1.333），故盐水、牛奶的全反射临界角大于水，可发生全反射的角度范围更大一些。

3.4" 入射光的频率

不同频率的光在同一种介质中的传播速度也不同，因此它们在同一种液体介质中具有不同的折射率。一般来说，由于折射率n随着光频率的减小而减小，再结合光的全反射临界角为i1＝arcsin1n，可知全反射临界角会随着光的频率的减小而增大。

例如，红光的频率小于绿光、紫光，它们在同一中介质中的折射率大小关系为n红＜n绿＜n紫，由于光的全反射临界角为i1＝arcsin1n，可以得出i1红＞i1绿＞i1紫的结论，即紫光发生全反射的角度范围最大，更容易产生全反射，其次是绿光，范围最小的是红光。在实验过程中，通过改变光的频率，重复实验，会发现紫光更容易在水流中达到光的全反射状态，即更容易形成“水流导光”的现象。

4" 结论

综上所述，本文通过“水流导光”实验再现了光的全反射现象，分析了小孔与液面的高度差、小孔面积、不同液体介质、入射光的频率等因素对实验结果的影响。研究结果表明，小孔与液面的高度差、小孔面积均会对实验中光的全反射现象产生影响。小孔与液面高度差需要达到h≥gdcot2θc－v2112g时才有可能发生全反射S1S2，v1趋近于0时，h≥d2cot2θc；小孔面积越大，发生全反射所需要的水流初速度越大，越不易发生光的全反射现象，达到全反射状态的小孔面积需满足S2≤πh2cot4θc（S1S2，v1趋近于0）。

不同液体介质、入射光的频率同样会对水流导光实验现象产生影响。从理论上分析，液体的折射率越大，光的全反射临界角越小，更易达到光的全反射状态；光的频率越大，发生全反射的角度范围越大，更容易产生全反射，在实验中绿光相较红光和紫光更容易达到全反射状态。本文研究结果能够加深学生对光的全反射原理的理解，对学生进行此类实验具有一定指导意义。

参考文献

［1］王国明.光导纤维几个扩展性问题的探讨［J］.物理教师，2012，33（6）：46-48.

［2］陈睿，郭庆.水流模拟光导纤维通信传播教具制作［J］.物理教学探讨，2016，34（6）：60-61.

［3］王绍菊，张学艳，朱镜红，等.水柱法模拟平抛运动中粘滞力对水流初速度的影响及修正［J］.物理通报，2017（4）：100-102.

［4］李仁芮.光导瀑布的原理与制作［J］.承德石油高等专科学校学报，2012，14（3）：78-79.

［5］刘正兵，聂优，何京鸿.利用折射表征盐水浓度［J］.楚雄师范学院学报，2013，28（3）：30-34.

［6］郭守月，徐明照，冯克成.用SPR传感器研究牛奶的折射率随脂肪的体积含量变化的关系［J］.安徽农业大学学报，2006（1）：138-140.