“留白”：让数学学习更深入

［摘 要］ 在教学中教师要巧妙运用“留白”艺术，让学生的数学学习更丰富、更深入。在数学课堂中教师要巧妙利用“留白”引发争辩、释疑解惑和示错纠错，让学生有所思考、有所探索、有所讨论，既能让其数学学习更加深入，又能提升其数学素养。

［关键词］ “留白”；深度学习；课堂教学

课堂“留白”是一种教学艺术，就是教师在对教学内容、教学目标、课堂反馈等情况的综合考量之后，有意识地在教学活动中留出适当的时间，以发挥学生的主体意识，助推深度学习的一种教学模式。笔者结合自身的教学实践进行尝试，通过“留白”艺术，让学生开动脑筋，用智慧去获取知识，达到自主探究和深度学习的目的。

一、“留白”引路，引发争辩，深度探索

从认知发展的规律来看，教学的过程需要等待，更需要给足学生思考和探索的时空，让学生去收获、建构。因此，在课堂上面对新知识时，教师不要急于分析和解释，应从学生的认知水平和最近发展区出发开展教学活动，用“留白”引路，让学生静心思考，并用有效的等待来促进学生进行主动争辩，使其在争辩中分析和判断，经历迷惑和顿悟，在深度探索中摸索和前行，实现思维的进阶。

案例1 角的初步认识

问题：若剪去一张正方形纸片的1个角，剩余几个角？

师：经过思考，想必你们心中都有了答案，谁愿意说一说？

生1：剩余3个角。

生2：不对，我觉得剩余4个角。

生3：4个角减去1个，无论如何也不能剩余4个角，应剩余3个角。

生4：我觉得剩余1个角。

师：那么到底剩余几个角？（教师期待地望着学生）

师：这样争吵毫无意义，我们是不是可以用什么方法来证明自己是正确的？

生5：我们可以动手剪出答案。

师：非常好的建议。（学生开始动手操作，教师巡视）

生1：大家看，我是像图1一样沿着它的对角线剪开，剩余3个角。

生2：如图2，就这样沿着它的一个顶点朝着对边剪开，就是剩余4个角。

生4：如图3，我是这样沿着它的一个顶点朝着对边弯弯曲曲地剪下去的，自然就剩下1个角。

师：其他同学觉得他们说得有没有道理？

生5：既然题目并没有规定剪法，那么他们说得都有道理。

师：非常棒！看来思考拉长了你们的思维链，让你们想到了这么多好方法。那下面我们来看这样一道题，你们认为图4有几个角？

生6：1个角。（其余同学纷纷附和）

师：为什么？

生7：想要成为角，那它的两条边应是直的，图4中只有1个角满足这个条件。

以上案例中，面对学生的想法，教师果断“留白”，激发学生的思维活力，并给足充分的时间，给予足够的信任，让他们进行探索和争辩，静待思路的生成。显然，这里正是因为教师相信了学生的潜能，给足了思考的时间与空间，使得学生的思维触角得以延伸，获得了更加深刻的认识。

二、“留白”调控，深度讨论，释疑解惑

教师为了实现一定的教学目标，可以在教学环节中有意识地等待和延长时间，用“留白”进行调控，鼓励学生去思索、去质疑、去辨析、去批驳，引发他们对问题更加深入的思考与探索，引出他们的独特见解和个性观点，最终释疑解惑，获得对问题本质的理解和认识。这样，能让数学课堂收获惊喜，让学生的深度学习真实发生。

案例2 3的倍数特征

师：下面，我们利用数位顺序表摆一摆，并说一说你对“3的倍数特征”的认识。（学生积极操作，教师巡视）

生1：我用小棒摆出的数是18，在十位上摆1根，个位上摆8根，共用9根，9和18都是3的倍数。

生2：我摆的数是24，共用6根小棒，6是3的倍数，24必定是3的倍数。

师：那若摆出的数是123呢？它也是3的倍数吗？

生2：我觉得是，因为摆123需要用6根小棒，6是3的倍数，那123必定是。

师：那你认为3的倍数有何特征？

生2：一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

师：其他同学也和生2的想法一样吗？

生3：我不赞同，相同数位上的数才可以相加，例如，“18”这个数中的“1”表示的是1个十，而“8”表示的是8个一，1和8无论如何也不可以相加啊！

师：到底能不能相加呢？（在教师“留白”之时，学生迫不及待地投入小组讨论之中，并自主自发地进行探索）

生4：我们小组采用的探究方式是“用小棒分”。首先，我们将18分为10和8；然后，我们将10根小棒3根3根地分，余下1根；最后，余下1根和8根合起来就是9根，再3根3根地分刚好分完。经过探索，我们发现其实这里余下的1根是1个一，而并非原先以为的1个十。

生5：我们小组采用的探究方式是“画格子法”。首先，我们将24分为20与4；然后，20个格子3格3格地分，余下2格；最后，余下的2格和4格合起来就是6格，再3格3格地分，刚好分完。经过探索，我们发现了其实这里余下的2是2个一，不是之前认为的2个十。

师：思路清晰，非常棒！那刚才判断“123”是否为3的倍数时，你们为什么用“1+2+3”呢？

生6：这是因为……

以上案例中，学生的质疑打乱了原先的教学预设，正是由于后续以“留白”调控，让学生进行自主探索和实践，并分享思考与观点，从而获得了新的发现，使学生对“3的倍数特征”的认识由肤浅和片面走向深刻和全面。

三、巧妙“留白”，示错纠错，深度学习

学生在课堂中出错在所难免，当学生出错时，一些教师常常或表示愤怒，或急于评价，这些都是不明智的表现。事实上，学生的错误并非都不可取，有些错误是难得的教学资源，教师要发掘和利用好这些错误资源，从错误中的闪光点出发，用巧妙的“留白”引发学生的探讨，让学生在自主探索中明晰错误根源，实现深度学习。

案例3 以一道习题的探索为例

问题：李奶奶打算利用12根1米长的篱笆，一面靠墙去围1个长方形或正方形的菜园，怎样才能围出1个面积最大的菜园？

生1：先求菜园的边长，列式12÷3=4（米），再求菜园面积，列式4×4=16（平方米）。

生2：我和生1想法一样，因为周长不变时，围出的正方形面积最大。（不少学生赞同生1的观点）

师：是吗？下面我们利用小组合作的方式，通过你们手上的小棒去验证，并记录你们尝试的过程。（学生开展活动，教师巡视）

生3：我们组列出了表1，并有了新的发现，当长为6米，宽为3米时，围出的长方形的面积最大。

生4：我们组的发现是当长为宽的两倍时面积最大。

生5：本题的结果为什么与之前探索的结论不吻合？

师：为什么呢？

生6：一般情况下，我们都是围的四条边的图形，今天这个图形和以前的不一样。

师：非常棒！我们今天围的图形只有三条边。我们一起来观察图5，你们觉得它像什么图形的一半？

生7：我觉得它像没有画完的正方形，是正方形的一半，上半部分再加上一个一模一样的图形，那它就是正方形了。

生8：我明白了。

以上案例中，当学生出现集体性错误时教师没有马上抛出正确答案，而是以问题为导引，以“留白”为方法，鼓励学生自主探索和合作学习，通过对知识的深度辨析和自主建构实现深度学习。

总之，课堂中的“留白”艺术彰显了教师的教学技艺，为学生提供了自由驰骋的空间，让学生在争辩中深度探索，在讨论中释疑解惑，在示错纠错中深度学习。教师只有适时、适切、巧妙地运用“留白”艺术，才能让学生的学习更加深入，让学生的数学素养得到真正意义上的提高。