循证教学：让学生的数学学习真正发生

［摘 要］ “证据”是教师循证教学的重要依托，它能助推教师的教学创新。循证教学是一种基于“证据”的教学，具有科学性、合理性、指向性、高效性等特质，能让学生的数学学习真正发生、深度发生、持续发生。

［关键词］ 小学数学；循证教学；学习发生

学生的数学学习如何真正发生？学生的数学学习如何深度发生？学生的数学学习如何持续发生？这三个问题是一个必须回答和有现实紧迫感的问题。在提升学生学习力、发展学生核心素养的背景下，这三个问题的意义和价值更加凸显出来。笔者认为，一切的教学只有基于学生的“最近发展区”才是有效的教学。循证教学是一种基于“证据”的教学，是一种具有科学性、现实性品质的教学。教师只有不断地发掘、收集、管理、应用“证据”，才能让学生数学学习走向自然、走向深度、走向高效。“证据”是教师教学的“导航仪”“方向盘”，是学生数学学习的“脚手架”“发动机”，是教学诊断的“听诊器”“温度计”。实践证明，基于“证据”的循证教学，能精准定位学生“学的目标”、优化学生“学的方式”、精确点击“学的反馈”。

一、循证教学：让学生的数学学习真正发生

学生的数学学习真正发生的一个重要前提是：学生的数学学习是内生的而不是外塑的。换言之，学生的数学学习是一种自主的、自发的、自能的学习过程。基于“证据”的循证教学时，教师要充分发现“证据”、发掘“证据”、收集“证据”等，进而能设计切入学生数学学习“最近发展区”的预案。可以这样说，教师设计的预案其背后的“证据”越丰富，预案的针对性、实效性就越强，预案也就越能切入学生数学学习的“最近发展区”。为此，教师要舒展自我多种感官，用眼睛去看学生的课堂表现、课后作业；用耳朵去听学生的课堂发现、课后交流；用头脑去判别、判定学生的错误成因、障碍、困惑等。只有这样，教师才能获得关于学生数学学习的第一手的“现场资料”。这些来自学生的直接的现场资料，就是教师教学的最有力、最有效的“证据”。

基于“证据”的数学教学，超越了传统的经验性教学，更不是那种主观臆测性的教学。在循证教学中，“证据”是载体、媒介，“证据”是驱动引擎。“证据”从来源上可以分为学科性“证据”和学情性“证据”；从属性上可以分为显性“证据”和隐性“证据”；从特质上可以分为定性“证据”和定量“证据”；从功能上可以分为直接“证据”和间接“证据”。

比如教学“分数的初步认识（一）”这一部分内容时，笔者借助问卷调查法对学生的分数前概念等进行调查。结果发现，学生对分数的认识不是“一张白纸”：有的学生知道“一半”这样的一个概念，有的学生知道“半个”这样的概念，还有的学生知道“一半的一半”这样的概念等。基于这样的“证据”，笔者在教学中就充分应用学生的“前概念”“前理解”，引导学生自主建构“分数”的概念，从“一半”“半个”等“前概念”引导学生建构“”这个分数，尤其是引导学生建立“一个物体的一半是半个”这样的一种科学性的分数概念。这样的分数概念建构能为学生后续学习“一个物体的几分之几”以及“许多物体组成的整体的几分之一”等相关知识奠定坚实基础。在引导学生借助已有知识经验、生活经验建构分数“”之后，笔者引导学生建构“一半的一半”“半个的半个（学生的说法）”所对应的分数“”。这种基于“证据”的数学教学顺应了学生的认知经验、认知倾向、认知风格，让学生的数学学习自然发生、真正发生。

循证教学要求教师在教学中积极地发掘、收集“证据”。基于“证据”开展的循证教学，让学生的数学学习成为一个内生性的过程，让学生的数学学习从传统的“要我学”转向“我要学”。学生的学习动机是内生的，学生的学习动力是自发的，学生的学习方式是自主的，学生的学习状态是自由的。在循证教学中，正如美国教育心理学家奥苏贝尔所说：“如果将全部的教育心理学归为一句话，我一言以蔽之，就是要把握学生已经知道了什么，并据此开展教学。”

二、循证教学：让学生的数学学习深度发生

基于“证据”的循证教学，要让教师有“证”可依、有“证”必依、用“证”必严（严格）、违“证”必纠（纠正错误等）。这就要求教师在教学中不仅要发掘“证据”、收集“证据”，还要精心筛选、遴选“证据”，丰富、完善“证据”，让“证据”经得住审视、经得住拷问、经得住衡量。只有“证据”有力、“证据”有效、“证据”科学、“证据”合理，学生的数学学习才能深度发生。

基于“证据”的循证教学，教师要积极寻找感性“证据”、现象“证据”，寻找理性“证据”、本质“证据”，要从“证据”的表层潜入“证据”的内里，从现象“证据”过渡到本质“证据”。只有这样，“证据”才能成为学生数学学习有力、有效的支撑。

比如教学“平行四边形的面积”这一部分内容时，笔者借助访谈法了解学生对“平行四边形的面积”的一些原始性的认识、想法：有的学生认为平行四边形的面积等于底乘高，有的学生认为平行四边形的面积等于底乘斜边，有的学生认为平行四边形的面积等于底和斜边的和，有的学生认为平行四边形的面积等于平行四边形四条边的长度和等。笔者还了解学生对平行四边形的面积推导的一些原始性的认识、想法：有的学生认为可以将平行四边形放置到方格纸中，用数方格的方法来进行测量；有的学生认为可以将平行四边形推拉成长方形，借助于长方形的面积来推导平行四边形的面积；有的学生认为可以将平行四边形沿着高剪拼成长方形，借助于长方形的面积来推导平行四边形的面积等。这样的一些“原始材料”是学生数学原初观念、思考的呈现，是学生的内隐思维、认知的可视化。这样的“证据”对于教师的教学设计具有重要的意义和价值，是教师教学设计首先要思考、研究的问题。针对学生可能会出现的诸种关于平行四边形的面积、平行四边形的面积推导的猜想，教师应针对性、多样性地设计出与之相匹配的教学预案。比如，引导学生辨析、比较平行四边形的周长和平行四边形的面积；引导学生观察平行四边形推拉成长方形的过程，进而让学生发现平行四边形推拉成长方形或长方形推拉成平行四边形时面积发生变化而周长不变的特性；引导学生沿着平行四边形的高剪开，将平行四边形分成两个直角梯形或一个直角三角形和一个直角梯形，然后拼成长方形等。多样性的教学预案让教师的教学与学生的学习能“对铆”，让教师的教学更具有针对性、实效性，让学生的数学学习能深度发生。

循证教学是一种“看得见”“摸得着”的教学，是一种“有根有由”“有理有据”的教学。小学数学循证教学不仅要注重学生数学学习的显性“证据”，更要注重学生数学学习的隐性“证据”；不仅要注重现象“证据”，更要注重本质“证据”；不仅要注重质性“证据”，更要注重量化“证据”等。只有让“证据”从浅表走向本质，才能让学生的数学学习深度发生。教师要不断地丰富“证据”、完善“证据”，让“证据”会说话、能说话，要充分发挥“证据”的育人功能，彰显“证据”的育人价值，让“证据”不仅成为教学的起点、依据、条件，还成为教学的载体、媒介。

三、循证教学：让学生的数学学习持续发生

循证教学中的“证据”不是一成不变的，而是动态发展生成着的。教师要跟进“证据”、跟踪“证据”，对“证据”进行应用、评价。只有跟进“证据”，才能让学生的数学学习持续发生。在小学数学循证教学中，教师要善于将“证据”串接、并联、混联起来，从而深化学生的认知、理解。教学中，教师还要及时补充相关“证据”，让“证据”成为“证据”链、“证据”块、“证据”群，让“证据”彼此之间相互支撑、相互支持、相互促进、相互映射，让“证据”形成一种规模效应。循证教学是一种“以终为始”的教学方式，是一种“逆向教学”方式，是一种“追求理解的教学设计”。

“循证”这一术语原本发端于20世纪90年代的医学领域。当时的“循证医学”旨在通过系列性技术手段来获得对病人的最优诊断、临床决策依据等。因此，将“循证”这一术语、思想和方法引入数学学科教学时，就是要消除教师教学的主观臆断、臆测，消除那些伪化教学、虚化教学等，让教学更具有科学性、合理性、持久性的品质、品性。在循证教学中，好的“证据”不仅能让教师把握学生的认知水平，还能对学生数学学习形成有效预测。比如教学“三角形的高”这一部分内容时，通过对以往学生数学学习问题、障碍、困惑的记载，笔者发现学生容易画出锐角三角形的高，而对于钝角三角形的高尤其是在三角形外部的高，学生不容易理解。

基于此，笔者在教学中将“高”的内涵、定义作为教学的重点，引导学生将“垂直”概念作为教学的先行组织者，让学生过一点作已知直线的垂线。此外，笔者引出多种变式，让学生过一点画不同方向直线的垂线，让学生从直线外不同方向的点向直线引垂线等。这样的先行组织为学生学习“三角形的高”等相关知识奠定了坚实的基础。学生在画三角形高的过程中，能够深刻认识到三角形的底和高的对应关系，认识到每一个三角形都有三条与之相对应的高等。“三角形的高”的循证教学能为学生后续学习“平行四边形的高”“梯形的高”等相关知识等奠定坚实基础。可以这样说，从“垂直”中的“点到直线的距离”“直线与直线之间的距离”到“画高”中的“三角形的高”（点到直线的距离）与“平行四边形的高”“梯形的高”（两条直线之间的距离）等，学生的数学学习是持续发生的。持续发生的数学学习不仅能让学生把握“画三角形的高”和“画平行四边形的高”“画梯形的高”的区别，还能让学生认识“垂直”“距离”“高”等相关概念的一致性。循证教学让教师的教学决策更优化，让学生的数学思维、认知显性化，让学生的数学学习持续发生。

小学数学循证教学以“证据”诊断结果等为依据，改变了教师教学的机械性、盲目性状态。循证教学开辟了学生数学学习更多的、更大的可能，赋予了学生充分的自主性、自能性学习的时空，让学生的数学学习走向了深刻、深度。高质量的数学课堂教学需要教师的循证思维，需要依靠教师的循证认知。唯有如此，数学循证教学才具有科学性、合理性，才具有指向性、高效性。

循证教学要求教师在教学中不断收集、整理“证据”，不断丰富、完善“证据”，不断补充、拓展“证据”；要求教师精准聚焦“证据”，有效跟踪“证据”，灵活应用“证据”。“证据”是教师循证教学的重要依托，它能助推教师的教学创新。教师要在循证教学中牢固树立实证性的思维，形成循证性的认知。实践证明，循证教学能助推学生的数学学习真正发生，也能助推学生的数学学习深度发生、持续发生。