深度体验，发展几何素养

［摘 要］ 文章以“尺规作图”教学为例，分析几何作图意义及几何作图教学的策略，发展学生的几何素养。

［关键词］ 尺规作图；几何体验；空间观念

一、缘起

图形与几何是小学数学的重要内容，学习图形与几何是学生发展几何直观和空间观念的重要路径［１］。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标》）将空间观念和几何直观作为学生数学核心素养的重要组成部分，并强调其重要的价值。可见，让学生形成良好的空间观念是图形与几何教学的重要目标。

在日常教学中，几何的抽象性以及操作的复杂性，使其成为教师难教、学生难学的教学内容。在数学课堂中，部分教师缺乏从高观点、高视野的角度培养学生空间观念的能力，开展几何教学时追求形式化结果；过于重视几何计算教学，忽视了几何概念的抽象性，导致学生无法在头脑中建立图形与几何的知识结构表象。比如五年级学生仍然将周长和面积概念混淆，在运用图形转化时对表面积和体积的知识构建无法形成表象等。可见，“泛泛而学”没有给学生的空间感增量，反而窄化了学生空间观念的发展路径。

那么，如何解决以上的问题呢？笔者认为，作图作为一种简单易行的直观手段，对发展学生空间观念的作用不言而喻。

二、作图为空间观念的发展建构桥梁

学生的空间观念不是凭空产生的，要借助观察和操作来培养。曹培英在《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》中提出：应该在小学阶段通过探索性画图活动，让学生积累感性认识，进而在发展学生空间观念的同时，切实改善、强化中小学数学教学的衔接［２］。

1. 操作与想象的嫁接，会用数学的眼光观察现实世界

作图是“做中学、创中学”的学习活动，学生利用作图工具，通过动手操作研究、验证、思考数学的本质，能将抽象的、符号化的数学知识转化成具体的操作。整个活动过程是理论与实践的有机结合，是直观操作与抽象想法有效结合，操作是“脚手架”，通过“脚手架”能把深奥的几何问题变得可视化、简单化和现实化。

2. 猜想与推理的合一，会用数学的思维思考现实世界

学生在作图时，先要确定作图对象和进行初步的构思，然后对作图步骤进行推敲和有条理地表现作图的过程，最后思考结论是否合理。在作图中学生经历“动手操作→积极想象→分析推理→验证知识”的构建过程，从“眼见为实”的具象操作到直观想象，再到有理有据的推理思考，对几何本质进行更有深度的体验，对几何的理解更加深刻、全面，自身的推理意识也在作图过程中逐步形成。

3. 图形与语言的转化，会用数学的语言描述现实世界

在尺规作图中，学生在理解、完成了几何语言、作图语言和符号语言的转化后，如何描述和交流是重点过程，它是学生几何知识建构的重要环节。在描述和交流的过程中，学生能够更加直观地感知几何概念，这既有助于进一步思考几何的本源问题，也有助于在相互探讨中一起探究、发现数学结论，达到学会用数学的思维思考问题的目的。

三、作图的教学策略

史宁中教授指出：作图教学，要教想法，要教想象力，而非作图技巧。因此，教师要引导学生经历积累操作经验的过程，在几何学习中进行深度体验。

1. 本质解读，以明确性方向创造作图空间

教学中教师对几何教学的认识，对学生发展空间观念和几何直观形成有直接影响，个人教学理念的更新程度也会影响学生学习的效果。其中，教师对几何教学理解浅表化是造成几何教学流于形式的根本原因。比如，部分教师用“教师操作，学生观察”替代“学生操作”，并认为这“无关紧要”［３］。教师这样的认识直接剥夺了学生动手操作的权利，学生学到的只是表象，“知其然却不知其所以然”，即使会操作也只是暂时的记忆，没过几天就会忘记。因此，教师对教材进行本质解读，显得尤为重要。

（1）完善几何教学理念，提升教学专业素养

教师要对图形与几何的内容进行充分的研究，认识内容的价值和意义。教师可以通过阅读新课标，感悟新课标对图形与几何的高度重视，可以通过参加几何主题的教学研讨活动来开阔自己的视野，可以通过观看其他优秀教师的教学课堂或者实录借鉴优秀的做法。更重要的是，教师要在长期的图形与几何教学中不断进行反思，在教学经验的积淀中突破对图形与几何教学的认识障碍。

比如，在教学“用尺规画等长线段”时，笔者感悟到直观操作的重要性，为学生认识圆规设计了实践教学。

师：自己来玩一玩圆规，试着在本子上画一画。

学生进行操作，初“玩”圆规。

师：第一次用圆规，你们有什么感受呢？

生1：我感觉圆规好神奇，跟尺子不同，可以画出曲线来。

生2：与其他作图工具相比，我认为圆规的构造比较特别、复杂，每个部件都是有用处的。

生3：我用来画了弯弯的线，还画出了很多大小不一样的圆形。

生4：我看别人画的时候很方便，一转就可以，但是我自己有点难转动，跟我想的很不一样。

学生第一次拿到圆规后对圆规的兴趣超出了笔者的想象，他们拿起圆规在纸上一遍遍尝试，直到画出圆。通过学生的反馈来看，笔者深刻认识到动手操作是学生学习几何时不可替代的内容。教师只有完善这一理念，才能在此基础上掌握几何教学的本质，挖掘几何教学的多维价值，保证几何概念教学的正确方向。

（2）多维度设定教学目标，促进多元发展

几何的深度体验强调学生要充分感受几何学习的深度、广度和知识的关联度。在教学目标设定时，教师要从多重视角出发，深挖几何的学习价值，深层促进学生多元发展。几何的深度体验对学生的学习层次的丰富性提出了要求，几何作图教学不能只关注知识技能，要超越符号表征记忆与理解的浅表化教学层面，教师在关注学生知识学习的同时要关注情感、技能、数学思考等多元发展。

比如在教学尺规作图“探索三角形的三边关系”一课时，笔者设计了教学目标：通过用尺规作三角形，体会“两短边之和大于第三边能作出三角形”及其道理，感悟给定三边三角形的形状和大小的唯一性；经历想象、操作、验证、反思、说理等过程，发展几何直观和推理意识；在尺规作图的过程中，感受尺规作图的价值。

以上目标，可以看出通过对三角形三边关系的探索，学生进入了构思与想象、操作与验证、推理与表达、反思与调整的几何世界，知道“两短边之和大于第三边能作出三角形”并不是唯一重点。在设定目标时，学生一定要有操作、有体会、有想象、有发现、有推理、有语言。

2. 深度体验，以高阶性思维探寻作图空间

几何作图的学习必须经历具体到抽象的过程，这一过程的深度体验有助于学生直观形象地理解抽象复杂的几何思维，有助于学生以高阶性思维探寻作图空间，促进几何直观的形成。

（1）借助直观操作，支撑学生概念抽象

小学生的形象思维占主体地位，需要通过操作活动积累经验，形成独特的感受。学生经历从形象到半具象、再到抽象的过程，从而形成概念。动手操作在学生形成抽象的数学概念过程中有支撑作用［４］。

在教学“对于探索三角形的三边关系”时，教师一般利用小棒进行操作观察，但小棒易产生误差，固定的小棒长度限制了学生自主探索的思维，导致学生缺乏对三角形关系本质的感悟。因此，笔者设计了直观操作活动：如图1，判断线段c中的哪一条线段可以与线段a和线段b围城一个三角形？要求作图操作，并保留作图痕迹。

把尺规作为操作工具，学生可以通过画弧构建符合给定长度的运动轨迹，观察弧是否有相交点及相交点的位置来判断是否能够围成三角形（如图2）。

在此过程中，学生经历了想象、尝试、分析、思考、验证等思维过程，作图痕迹是其思维的直观体现。这样的过程充满着数学魅力，激发了学生探索知识的兴趣，锻炼了学生的动手操作能力和想象力。在运用尺规助力探索的过程中，不同层次和水平的学生都得到了不同的发展。

（2）有效利用过程资源，促进学生深度思考

当前，教师在几何作图教学中普遍存在的问题是忽视课堂教学中学生的生成性资源。特别是在作图时，部分教师急于进行方法讲授，很大程度上降低了思维难度，减少了给学生思考的时间和空间。因此，教师要有效利用过程资源，引导学生基于课堂中的生成性资源开展深入思考，在此基础上实现深度学习。

比如，在“给定三边作三角形”中，学生在不断的尝试中暴露了困惑——想凑上第三个顶点很困难。笔者聚焦这个困难，并利用这一资源推动和深化学生的学习，让学生学会从两条线段“凑不上”到一次次调整后“凑上”，再到通过画弧线找交点的方法来确定顶点，体现了圆规画弧的价值，并因为作图中的困难引发了学生思考“为什么两条弧的交点就是三角形的第三个顶点”。

学生在尺规作图中不仅需要会操作，更需要会思考，要不断想象、思考、操作、反思，激发思考的动力和探索的欲望，从而丰盈深度思考的空间。

3. 优化评价，以过程性体验发展空间思维

新课标提出：“评价不仅要关注学生数学学习结果，还要关注学生数学学习过程……采用多元的评价主体和多样的评价方式，鼓励学生自我监控学习的过程和结果。”［５］特别是对于图形与几何的学习，学生的过程性体验尤为重要。

（1）设置过程评价标准，提升学生学习效能感

学生在情感方面得到满足才能构建起核心素养。因此，教师在几何教学中不能只靠学习结果来开展教学，要注重学生在学习过程中的学习体验，从而促进学生自我效能感的提升。教师可以通过评价对学生进行引导，比如评价学生的学习态度、学习习惯、学习思维等。

比如，在“尺规作图”的教学中，教师对学生的课堂评价不能只是作图正确是否，还要从是否细心等态度和习惯方面进行评价，并评价学生的作图先后顺序、作图技巧等内容（如表1）。此外，教师在课堂中要对不同的学生做出具体的评价，这样不同层次的学生才能意识到自己的不足之处，才能提高学习质量。

尺规作图的教学不单是技能的习得，教师要鼓励学生尝试、探索和反思，让学生会想象、会思考、会操作、会表达，并引导他们在全方位参与学习活动的基础上开展深层次的探究与学习活动，获得丰富的学习感悟与情感体验，从而在一节课之中真正有所得、有所悟、有所生成和发展。

（2）完成多元评价，营造良好学习氛围

教师在几何教学中及时有效的课堂评价是促进小学数学几何概念深度教学的重要途径。师生“两位一体”共同参与的评价方式改变了以前教师主体评价的单一模式，呈现为教师评价、生生互评、自我评价、小组评价、全班评价等多种形式、多元主体的交互评价。对学生来说，学生在自评和互评的过程中收获的不仅是知识，更是一种课堂主人翁的归属感。

比如，在尺规作图中“三角形的三边关系”教学中，教师可以组织学生分小组学习、讨论，将师评和生评有效结合。在小组之间进行评价的环节，教师可以引导学生在展示学习成果的基础上，结合自身在操作活动中获得的经验对操作活动的过程与结果展开多方面的评价。全部汇报结束以后教师对所有小组进行总结，并引入师评。在这个过程中，学生和教师的评价是共存的，提高了课堂效率，促进了学生的自主探究学习，促进了学生核心素养的发展。

在尺规作图教学中，教师要发展学生动手操作能力、想象力和推理意识，要充分利用直观操作把学生隐性的思维通过显性的表征表现出来，从而发展学生的几何素养。

参考文献：

［１］ 陶家友. 关联调用核心知识 理性构建基本图形——一道尺规作图题的解法探究赏析及教学价值导向［Ｊ］． 数学通报，２０２２，６１（０３）：４１－４６．

［２］ 曹培英. 跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究［Ｍ］. 上海：上海教育出版社，２０１７.

［３］ 金杨建，范秋彤．第１４讲尺规作图［Ｊ］． 中学数学教学参考，２０２２（０８）：２４－２８.

［４］ 方运加. 数学教学基本功——画几何直观图［Ｊ］. 中小学数学（小学版），２０２０（０５）：５－７.

［５］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（２０２２年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，２０２２.