数学实验：让理解进阶

［摘 要］ “图形与几何”领域是小学数学课程中的重要组成部分。文章以“圆的面积”为例，对学生进行前测和诊断分析，发现超过一半的学生理解水平较低，原因是不会转化和求联。研究者以“四做一思”的数学实验路径来进行教学改进：实验引入，呈现经验性理解；实验展开，形成关系化理解；实验联想，完善结构化理解；实验复盘，促进抽象性理解。

［关键词］ 数学实验；理解进阶；前测诊断；教学改进

“图形与几何”领域是小学数学课程中的重要组成部分，不仅对学生空间观念的形成起着重要作用，而且对学生思维水平的发展有直接影响。“圆的面积”是“图形的认识与测量”板块的学习内容，学生对圆的面积有哪些已有经验与直观认识？学生完成圆面积推导任务的思考路径与难点是什么？笔者对学生进行“圆的面积”学情前测，根据理解层次水平对测试结果进行诊断分析，真实、全面、科学地了解学生对圆面积推导的可行性和理解水平，在此基础上以数学实验为途径进行教学改进，让学生理解进阶，并帮助学生积累几何活动经验，形成空间表象，发展空间观念。

一、诊断：基于数据分析，暴露初始经验

1. 测试对象

五年级学生已经学会了计算长方形、正方形、平行四边形等平面图形的面积，在执教“圆的面积”一课之前，笔者设计了研究单，让学生独立完成研究单上的“我会实验”（如图1），并对执教班级的40名学生进行了前测。

2. 水平统计

为了更好地指导、评估学生的数学理解水平，教师要根据学生的认知水平进行理解上的分层。SOLO分类理论将学习结果分为前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平和抽象拓展结构水平五个层次［１］。本次前测结果分析在借鉴SOLO分类理论的基础上，提炼出指向理解进阶的理解层次标准，分成五个水平层次：不理解、经验性理解、关系化理解、结构化理解、抽象性理解（如图2）。

按数学理解五个水平层次，笔者对学生的前测表现进行描述，统计出每种理解水平的人数，并附典型图例加以补充说明（如表1）。

依据SOLO分类理论的五种思维水平的层次划分和描述，笔者对学生在圆面积推导过程中的思维层次与SOLO分类理论的数学认知水平进行关联统计（如图3）。

3. 结论分析

前测数据显示，从水平一到水平四分布成起伏变化，表明学生思维水平参差不齐。处在无理解水平与经验性理解水平的人数最多，占了本次样本总人数的72.5%，即超过一多半的学生理解水平较低：其中35%的学生不会转化成学过的平面图形来推导圆的面积公式；20%的学生虽然转化成功，但没有去主动寻找转化前后图形面积及边之间的联系；关系化理解水平占了12.5%，水平较高的结构化理解水平和抽象性理解水平只占15%，其中抽象性水平占0%。由前测诊断可知，水平1与水平2 是多数学生的学习起点，水平4与水平5则是理解进阶的目标。

学生理解水平低下，究其主要原因有两点：

一是不会转化。能否转化是影响理解进阶的重要前提。圆面积计算公式推导需要进行化曲为直、有限和无限、近似和精确的转化，从而体现相互转化以及量变到质变的辩证规律。在这个过程中，不但要运用变换的思想和方法，还要运用极限思想和极限方法，这是学生空间认知发展上的一次飞跃。对学生来讲，借助多边形面积推导公式的经验来推导圆的面积并不是一件容易的事。

二是不会求联。能否求联是影响理解进阶的重要变量。50%的学生在转化后不能完整地对转化前后图形的关系进行比较，观察、发现和概括能力不强，理解数学内部知识联系的能力不强。

二、解构：改进教学预设，确立学习路径

前测是教学之前的测试，能帮助教师全面了解学生的认知基础，为教学目标的确定、教学内容的取舍、教学方法的选择、教学起点的确定等指明方向，从而有针对性地改进教学预设。

1. 转变学习方式

基于前测数据分析，要真正实现学生在圆面积推导过程中理解水平的进阶，改进的关键是采用“做数学”的方式，让学生充分经历“做”的过程，以做呈思、以做促思、以做明理，让学生在“做数学”的过程中更好地完成理解进阶。数学实验是“做数学”的一种实施形态，是教师引导学生经历探索过程，发现数学结论和寻找证明方法的一种学习方式。本课的教学教师可以设计环环相扣、井然有序的数学实验序列，让学生在数学实验活动中手脑并用，启思明理，实现不断向意义建构、理解进阶、应用迁移的方向自主生长。

2. 定位教学目标

结合学生的学情，笔者站在学科结构和学生认知结构的深度，厘清了本节课的大概念、基本问题、知能目标，以更好地促进学生数学理解的进阶（如表2）。

3. 设计学习任务

怎样合理设计学习任务，既能让学生顺利推导出圆的面积公式，又能实现理解能力的进阶？笔者采取“以终为始”的思路，以表现性评价理论为依据，基于预期结果、评估证据、学习路径等方面，设计了促进理解的“圆的面积”表现性任务（如表3）。

三、改变：践行“四做一思”，促进理解进阶

本节课如何基于前测理解水平分析，让学生通过数学实验更好地完成理解进阶呢？笔者尝试以“四做一思”实践路径来进行教学改进，通过实验引入、实验展开、实验联想、实验复盘四个环节，帮助学生建构由低水平到高水平的理解序列。其中反思贯穿整个过程（如图4）。

1. 实验引入，呈现经验性理解

实验引入的首要任务是充分暴露学生的已有水平，以便学生在进入课堂时能精准找到自己的疑惑点和生长点。课始教师设置了两个问题：什么叫圆的面积？圆的面积大小与什么有关？由问题引导学生从冲突走向思考。从学生的回答可知他们对圆的面积定义基本能理解，对影响圆面积大小的相关性因素也有认识：有的认为与直径长短有关，有的认为与半径长短有关。大多数学生停留在表象认识上，对圆与半径究竟有怎样的关系比较模糊。不可否认，实验引入环节很好地唤醒了学生的前概念，为教师后续的教学活动提供了方向。

2. 实验展开，形成关系化理解

在激活学生已有经验后，教师要通过层层递进的数学实验活动，让学生深入探究圆面积大小的影响因素及圆面积的推导过程。在这一阶段，笔者设计了三个数学实验活动，通过“直观地做”“形象地说”“深入地想”，帮助学生形成对圆面积知识的关系化理解。

（1）在“估计猜测实验”中确定范围

教师要引导学生借助圆的内接正方形与外切正方形开展实验，让学生初步感知圆面积比内接正方形面积大，比外切正方形面积小，有一个区间范围。学生通过对内接正方形与外切正方形的估计、猜测、观察、比较后得出结论，这样既得出圆面积的取值范围，又渗透了用逼近思想探究圆面积计算公式的方法。

（2）在“数方格实验”中指明方向

教师要引导学生通过数方格实验进一步体会圆面积与半径平方之间的倍数关系，进一步明确范围，为探究圆面积计算公式指明方向。操作流程如下：①思考“怎样估算方格图中圆的面积”？②设计方案，小组合作开展实验，展示交流；③得到“圆面积是它半径平方的3倍多一些”这一结论。

（3）在“面积推导实验”中跃迁理解

此实验针对学生前测中的困惑，笔者采用三点策略来进行教学改进。

一是倒退策略：回到原点，建立推导水平提升通道。为了让学生能够顺利地推导圆面积公式，很多时候教师采用倒退策略可以更好地促进学生理解。教师通过引导学生回忆“以前我们是怎样推导平行四边形和三角形的面积公式的，使用了什么策略”，既能唤醒学生转化的经验，又能让学生深刻体悟“等积变形”的思想。

二是聚焦策略：聚焦难点，强化化曲为直思想。教师要设置核心问题让学生讨论“圆是平面上的曲线图形，能用直边图形的经验来转化吗”“你觉得圆转化为学过的图形，最大的困难在哪里”，引导学生从冲突走向思考，发现圆的面积推导可以用直边图形面积推导的经验，感受“化曲为直”的数学思想。在学生成功完成转化后，教师要通过恰当的直观性手段，引导学生观察、比较，充分体验随着等分次数的增加，所拼成的图形越来越接近直边图形，感悟“无限逼近”和“等积变形”的含义，渗透极限、守恒等数学思想方法。

三是联通策略：对比关联，助推关系水平形成。将圆转化成近似的平行四边形或长方形后，教师引导学生观察圆面积转化后的各部分名称与近似长方形的对应关系，完成圆面积公式建构，实现知识与理解能力的跃升。

3. 实验联想，完善结构化理解

实验联想即在完成数学实验之后，教师要引导学生展开联想，并通过继续做一个或几个与其相关联的数学实验，助力思维品质的提升，挖掘数学实验的育人价值［２］。实验联想能激励学生运用所学知识、经验、能力去主动探究、思辨，让思维更有深度，更具创新性，更趋系统性。这是数学理解的高阶水平。教师可以设计核心问题“圆除了可以近似地转化为长方形外，还能近似地转化为其他平面图形吗”，引导学生将得到的扇形密合拼接，得到近似（曲边）三角形或近似（曲边）梯形（如图5）。学生发现当分割的等份数越来越多时，拼接得到的图形越来越接近三角形和梯形。

通过实验联想，学生经历圆转化为其他平面图形的推导过程，进一步感悟化曲为直的思想，使直观思维与抽象思维相互融通，感性经验不断丰富，理性经验不断提升，空间想象能力得到训练，空间观念得以发展。

4. 实验复盘，促进抽象性理解

当学生达到结构化理解水平后，教师应倡导学生应用、迁移圆面积推导公式中所蕴含的本质意义与基本方法，使得学生的数学理解进入更高水平的抽象概括，凸显思维的独创性和深刻性。

课尾教师提出问题：“我们是怎么将圆转化为学过的平面图形的？”让学生明确应用直边图形的类比化归的方法，可以获得探索平面图形面积公式的一般思路。教师进一步提问：“在今后学习立体图形的知识时，我们是否也能用到转化的思想？”学生在总结回顾的基础上深化了研究平面图形面积的体验，强化了转化思想、化曲为直、极限思想，为以后研究立体图形的体积积累了感性经验与理性经验。

实践证明，“四做一思”的改进路径很好地保障了学生对圆面积学习的有效性。经历这次基于理解分层水平的实证研究，笔者既看见学生在圆面积推导过程中的不同理解水平层次，又看见经过教学改进后的实施效果。通过这样一种指向数学理解能力的实证研究来助推课堂教与学的深度发生，能够助推学生理解力的不断进阶。

参考文献：

［１］约翰·Ｂ. 彼格斯，凯文·Ｆ. 科利斯. 学习质量评价：ＳＯＬＯ 分类理论（可观察的学习成果结构）［Ｍ］. 高凌飚，张洪岩，译. 北京：人民教育出版社，２０１０.

［２］ 张彦. 实验联想，打开提升思维品质的新视窗［Ｊ］. 小学数学教育，２０２０（１８）：３０－３１.