类比思想在初中数学单元教学中的应用

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）提倡单元教学，要求教师围绕单元核心教学内容组织观察、思考、辨析、总结等教学活动，指导学生在参与活动、解决问题的过程中类比不同单元之间、同一单元不同知识点之间的关系，由此提高学生的理解水平，指导其建构完整的数学知识体系。本文以华师大版八年级下册第16章“分式”为例，探讨类比思想在初中数学单元教学设计中的应用。

一、内容分析

“分式”是代数式教学体系的重要构成，是对分数、整式、一元一次方程、正整数指数幂等教学内容的进一步延伸。“分式”主要研究了分式的概念、分工的基本性质、加减乘除运算法则、分式方程的构建与解法、零指数幂与负整数指数幂，进一步完善了代数式知识体系。应用类比思想对“分式”单元内容展开教学，可体现分数、整式、方程、分式等分散知识的内在关联，促进学生探究解决代数式问题的通性通法，提高学生的认知水平。本单元的教学重点是：分式的基本性质、分式运算、分式方程、幂与负整数指数幂、科学计数法。本单元的教学难点是：（1）分式的四则混合运算（整式运算、因式分解及分式运算的综合应用）。（2）解可化为一元一次方程的分式方程及运用分式方程解简单的应用题。（3）通过分数与分式的类比、方程与分式方程的类比、正整数指数幂与负整数指数幂的类比积累从具象到抽象、从特殊到一般分析问题的经验，体会类比思想、方程思想、模型思想的内涵及用法。

二、类比思想在初中数学单元教学中的应用路径

在认识事物的过程中，通过对比不同事物外在表象与内在规律，发现不同事物之间的相似关系，进而推理出不同事物在其他方面可能存在的相似关系，这种思想被称为类比思想。类比思想具有发现相似性、推理预测、启发思维、解决问题等作用。其中，发现相似性是指基于类比对象的结构、功能、性质及其他特征分析类比对象的具体关联或属性；推理预测是指基于类比对象的相似性推理二者在其他相似情境下存在的相似特性；启发思维是指能够为学生提供“类比”的思维模式，使学生打破传统的思维定式，从新的视角展开科学研究；解决问题是指通过类比已知问题与未知问题的相似性，确定问题解决的切入点，找到解决问题的新方法。在初中数学单元教学设计中，教师可基于类比思想的内涵、特征确定类比思想的应用路径，为教学活动的组织与衔接奠定基础。“分式”是继整式乘除之后对代数式的进一步研究。教师可从以下几个角度出发，梳理类比思想在此单元教学设计中的应用思路。

一是基于生活现象与“分式”单元内容的联系，联系整式、整式方程解决现实问题的具体案例探讨分式、分式方程解决问题的策略，体现“分式”单元内容与现实生活的联系、与其他数学解题策略的联系，指导学生基于联系类比探究，得出新的数学结论。如，整式方程是对现实问题的抽象表达，是数学建模的一种策略。整式方程与分式方程在形式上具有相似之处，可指导学生基于二者的相似之处进行类比推理，论证分式方程的建构方法及用法，增强学生对分式方程意义的理解。

二是基于分数运算与分式运算之间的关系，通过类比分数运算得出分式加减法、乘除法算理算法，体现不同学段、不同单元数学知识的内在关联。教师在设计教学时，可将分数部分知识作为导入内容，应用类比思想设计观察、分析、对比、探究等多样化的教学活动，指导学生在类比分数与分式的过程中感悟二者计算的通性通法，既锻炼学生的推理、分析能力，又提高学生的运算水平。

三是基于“分式”单元内部知识点的逻辑关系，体现类比思想的进阶应用特征。“分式”单元内知识点互有关联，存在“螺旋上升”的构建特征。类比思想在初中数学单元教学设计的应用也应体现“螺旋上升”的特征。单元设计前期，教师可基于分数的相关知识类比分式的概念、性质等，引发学生对分式的理解；单元设计中后期，教师可基于分式、整式的相关知识类比分式方程、零指数幂与负整数指数幂等复杂知识，提高学生的认知水平。

三、类比思想在初中数学单元教学中的实践

（一）类比思想融入目标设计

“分式”教学前，学生已经完成了分数、整式的加减、一元一次方程、二元一次方程组的学习，掌握了基本的数学概念及算理算法，知识储备较为完善。此外，学生在解决分数、整式的加减问题时积累了类比解题的经验，具备应用类比思想发现新知、解决问题的意识。基于此，可确定“分式”单元教学目标。

1.基于分数的概念、分数的加减运算法则类比分式的概念与算理算法，明确分式的定义，掌握分式约分、通分的一般概念与步骤，理解分式的加、减、乘、除及混合运算算理；基于幂的运算、幂的乘方的过程中感悟零指数幂、负整数指数幂的意义。

2.基于整式方程的概念、解整式方程的方法类比分式方程的概念及解分式方程的方法，明确解分式方程的一般步骤，并在此过程中积累类比推理、逻辑分析的学习经验，体会转化、类比的数学思想。

3.能基于用整式方程解决问题的具体案例，类比用分式方程解决问题的步骤与方法，形成用分式方程解决实际问题的思维习惯，掌握应用类比思想迁移思考、类比探究的数学方法。

（二）类比思想融入活动设计

“分式”单元教学活动的设计要体现知识之间的迁移性。教师可综合应用情境教学法、问题教学法、讨论教学法等教法设计类比教学活动，为学生提供更多类比推理的探究机会。

1.类比概念

基于分数与分式的相似形式，采取情境创设、探究教学法组织活动，引发学生对分式概念的类比分析。

【情境创设】

京沪铁路全长1463 km，是在我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉。绿皮火车的速度大约是120 km/h，绿皮火车从北京到上海需要用多少小时？假如动车速度为a km/h，那么动车从北京到上海需要用多少小时？

（设计意图：通过创设生活情境引发学生的参与兴趣，使其主动写出这一分数，并基于这一分数类比迁移，写出的式子，引出分式，让学生观察二者的差异，为学生探索分式的概念奠定兴趣基础。）

【数学探索】

（1）数学讨论

两个数相除，可以把它们的商表示乘分数的形式。如果用字母a、b分别表示分数的分子和分母，那么a÷b可以表示成什么形式呢？

（2）列出下列式子

①一块长方形玻璃板的面积为20平方米，如果长是7米，那么宽是______米。

②小张用n元人民币买了m袋瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。

③正n边形的每个内角为______度。

（3）思考

这些式子与分数有什么相同与不同之处？你能归纳分式的定义吗？

（设计意图：通过提出探究性问题聚焦学生目光，使其基于分数的意义类比分式的意义，基于分数的形式、概念类比分式的概念以及分式有意义的条件、无意义的条件〈分母是否等于0〉。）

2.类比性质

采取讨论教学法组织教学活动，引导学生基于分数的基本性质类比分式的基本性质。示例如下。

师：的分子、分母同时乘2，它的大小发生改变了吗？的分子、分母同时除以4，结果与原数值的大小相等吗？

生：的分子、分母同时乘2，得到，两个数值是相等的；的分子、分母同时除以4，得到，与原数值大小相等。

师：对于分式，分子、分母同时乘m或同时除n，结果与原式相同吗？

（设计意图：先借助具体分数的分子、分母同时乘、除某个不为零的数的运算案例引导学生联想分数的基本性质，即分数的分子与分母同时乘〈或除以〉一个不为零的数，分数的值不变。当学生激活已掌握的知识、经验后，应用类比思想驱动其探究分式的基本性质，使其在列式计算×=，÷=×=等过程中发现分式的分子或分母同时乘〈或除以〉一个不为零的整式，分式的值不变的性质。）

3.类比算法

“分式”单元的运算教学包括分式的加减运算与乘除运算。分母不相同的分式进行加减运算时需要先通分或约分，这应用到了分式的基本性质，可类比分母不相同的分数加减运算案例引出分式加减运算算法。分式的乘除与分数的乘除存在关联性，可类比分数的乘除运算引导学生探究分式的乘除运算技巧。应用类比思想进行教学设计时，教师可设计类比迁移知识单，通过适当留白驱动学生类比思考。示例如下。

【分式的加减类比探究】

【分式的乘除类比探究】

（设计意图：借助类比迁移知识单展示分数加减法、乘除法的计算过程，引发学生类比，提出相关猜想，如：分式的加减法是否与分数相似，我们能否通过通分计算异分母分式的加减法，之后再通过约分达到结果的最简形式？分式的乘除法与分数的乘除法类似吗？计算分式乘法问题时，是否可以用分子乘分子、分母成分母，得到分式乘法的运算结果？知识单的留白部分为学生提供了更大的猜想空间，使其能类比已掌握的运算知识、经验进行数学探究，确保学生扎实掌握分式加减法、乘除法运算的基本要领。）

4.类比方程

分式方程着眼于分式的现实应用。教师可联系现实生活问题创设情境，类比一元一次方程的建立驱动学生探索分式方程的概念、特点、设立并解方程的技巧。具体示例如下。

【情境创设】

（1）A、B两队参与服装加工比赛。B队每小时比A队多加工1件服装，已知B队加工24件服装所用时间与A队加工20件服装所用时间相同，如何求A队每小时加工服装件数？

（2）某个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是，原两位数的十位数字是几？

（3）学校组织植树活动。班主任教师骑自行车出发40分钟后，班级学生乘汽车出发，结果班主任与学生同时到达。已知汽车的速度是自行车速度的3倍，自行车速度该如何求？

【讨论交流】

（1）情境探究中得到的方程有什么共同特点？

（2）这些方程与整式方程有什么区别？

（3）该如何求这类方程的解呢？

（设计意图：通过创设生活情境拉近学生与分式方程教学内容的距离，激发其探究意识，使其在情境参与的过程中假设未知数x并列方程，得到分数形式的方程。接着，教师基于情境提出延伸问题，通过组织讨论交流活动为学生提供类比探究的平台，使学生能够基于已掌握的一元一次方程、二元一次方程组的建构，解方程的知识与经验类比分式方程的概念、构建及解方程的一般步骤，为学生掌握解分式方程的一般过程及完整的书写格式，发展类比思维、建模思维与应用思维提供帮助。）

5.类比幂的运算

零指数幂与负整数指数幂是“分式”单元的最后一课，课程内容与华师大版八年级上册“幂的运算”课程内容有关。教师可基于学生已掌握的幂的知识设计类比思考活动，示例如下。

【想一想】

师：学过有理数乘方的知识后，我们都知道21=2，22=4，23=8，24=16，…有没有20和2-3，如果有，那结果等于多少？

（设计意图：以整数指数幂的运算为基础，设计“想一想”的类比迁移问题，驱动学生思考。同时，通过板书整数指数幂的除法运算过程演绎整数指数幂的求值，为学生提供类比思路，如：20可被视作22÷22，类比整数指数幂的除法运算，可以推理出20=22÷22=22-2=1的结果。这样，通过应用类比思想让学生由已掌握的知识探索未知问题，并在此过程中总结新的数学知识点，进一步锻炼学生的类比推理能力与抽象能力。）

（三）类比思想融入评价设计

评价设计是数学单元教学设计的重要一环。评价设计要以单元教学目标为依据，主要用于检验学生的单元学习成果。类比思想用于“分式”单元教学设计时，教师可从设计如下评价标准，用于检验学生的单元学习情况：（1）学生是否能主动参与到知识类比过程中，基于分数、整式方程、整数指数幂等知识类比分式、分式方程、负整数指数幂及零指数幂等知识。（2）学生是否能在观察、分析、推理的过程中感悟类比思想，形成类比推理的学习习惯。

（设计意图：从知识掌握、思维发展两个角度出发设计评价标准，实现对学生单元学习情况的全方面检验，为学生检验自身类比学习不足、改正学习问题提供参考。）

（四）类比思想融入作业设计

提高作业设计质量，有益于学生解决更多具有代表性的数学问题，高效锻炼学生的问题分析、解决能力。教师可将类比思想融入初中数学单元教学作业设计中，为学生提供应用类比思想分析、解决问题的学习平台，进一步锻炼学生的类比分析、推理、归纳能力。以“分式”单元作业设计为例，教师可基于分数与分式、整式方程与分式方程、整数指数幂与零指数幂、负整数指数幂的相似性设计作业，驱动学生应用类比思想完成作业。示例如下。

作业1：归纳整合

类比分数单元、整式方程单元知识体系建构过程，归纳“分式”单元知识点，并以思维导图或概念图的形式呈现出来。

作业2：简便运算

作业3：实践应用

我们知道时间、速度与距离的关系为速度×时间=距离。货轮顺流而行20 km与逆流而行10 km所用的时间相同，已知水流速度为2.5 km/h，如何计算这艘货轮的静水速度？

综上所述，基于两个研究对象相似之处进行类比推理，得出更多的结论，是类比思想的特点。教师在初中数学单元教学设计中应用类比思想，可进一步体现数学单元之间、数学单元内部知识点之间的关系，为学生建构完善的数学知识体系奠定基础。具体设计中，教师应当把握类比思想的本质属性，同时结合数学单元教学要求、学生发展需要梳理教学设计思路，按照教材分析、目标设计、教学活动设计及评价设计的思路设计教学，为初中数学单元教学的顺利开展做好铺垫。

（作者单位：甘肃省张家川县阿阳中学）

编辑：张俐丽