一道向量模的最值试题的探究

摘要：平面向量自身同时兼备“数”与“形”的双重特征，这也给平面向量问题的解决提供更加宽广的思维空间.借助一道平面向量模的最值问题的求解，合理进行联想，利用平面解析几何思维、平面几何思维以及平面向量思维等联想结果来切入与应用，有效指导数学教学与复习备考.

关键词：平面向量；最值；联想；椭圆；基本不等式

数学解题就是将数学“四基”与具体问题加以联系，而这个过程中，联想思维是非常重要的.联想是数学思维的翅膀，联想往往能出奇招.抓住数学问题的应用场景、定义或公式等形式进行充分展开联想，让数学思维飞翔，可以为问题的破解提供更加丰富的思路，为问题的切入奠定基础.

1 问题呈现

而实际剖析问题条件，挖掘平面向量关系式（两个向量的和与差的模的和）的结构特征，合理联想到与之相应的平面解析几何思维、平面几何思维以及平面向量思维等，借助相应的技巧与方法来切入与应用，进而实现问题的突破与求解.

2 问题破解

2.1 平面解析几何思维

反思：根据题设中的平面向量关系式的结构特征，合理联想其对应的几何意义，进而利用椭圆的定义，巧妙构建椭圆及其相应的方程，利用函数与方程思维来分析与求解.这是解决此类问题中比较常用的一种技巧方法，合理“串联”起平面向量、平面解析几何、函数与方程等知识之间的交汇与融合.而该思维方法产生的一个间接产物——“|[WTHX]b[WTBX]|的取值范围”，可为问题的进一步变式与拓展创造条件.

2.2 平面几何思维[KH-1]

反思：根据平面几何图形的构建，抓住三角形中对应线段的长度，联系起三角形的中线长公式来合理构建关系式，为问题的进一步分析与求解奠定基础.而合理综合基本不等式来巧妙放缩，达到确定向量模的最值的目的.回归平面向量中“形”的结构特征，综合应用三角形中的基本性质等，是解决平面向量综合问题中比较常见的一种思维方式，也是解决问题的技巧与策略.

2.3 平面向量思维

反思：根据条件中两个平面向量的和与差的模的关系式，联想到平面向量的数量积公式，直接利用两个平面向量的和与差的平方公式加以转化，利用平面向量的方法来分析与求解，综合基本不等式来合理放缩，是解决该问题中最为简捷的一种技巧方法，也是该问题考查的一个重要基本点.有关向量综合问题，有时借助纯平面向量的方法，可以实现最优化的数学思维与应用.

3 变式拓展

3.1 深入变式

当然，该变式1是由原问题的方法1深入变式拓展而来的，其实也可以直接利用平面解析几何思维来分析与求解.

3.2 发散变式

4 教学启示

平面向量是一个特殊的数学基础知识，其同时兼备“数”与“形”的双重特征，“数”中隐含几何特征，“形”中涉及代数性质，是有效沟通代数与几何之间的一个桥梁，是代数与几何一个完美结合.

基于此，在解决平面向量的综合应用问题时，要抓住平面向量的基本特征，合理从“数”或“形”的视角加以巧妙联想，借助“数”的基本性质联想相应的几何意义或代数模型，借助“形”的基本特征联想相应的几何图形或代数性质，从不同层面构建与题目条件相应的代数模型或几何图形，利用与之相关的数学思维（往往是平面向量思维、三角形思维、平面解析几何思维、函数与导数思维等）切入，进而为问题的解决提供一个更加契合的条件，实现问题的巧妙解决.