巧设曲线系，妙算“解几”题

摘要：曲线系方程是平面解析几何问题中比较常见的一种特殊方程形式，也是破解问题的一种技巧与方法.综合常见的圆系、椭圆系以及双曲线系等曲线系方程，结合实例加以剖析，总结曲线系的设置方式与应用，引领并指导数学教学与学习以及解题研究.

关键词：曲线系；圆；椭圆；双曲线；方程

灵活巧妙设置曲线系是破解平面解析几何中最重要的解题方法和技巧策略之一，涉及直线系、圆系、椭圆系、双曲线系、抛物线系等一些常见的对应曲线系.根据条件，合理巧设平面解析几何中对应的曲线系，可以使得解几问题的破解更加直接，优化解几运算，简捷明快，提升解题效益，事半功倍.

本文中结合平面解析几何中二次曲线系的设置，特别是比较常见的圆系、椭圆系以及双曲线系等曲线系的创设，通过实例加以剖析，总结曲线系的设置规律与解题技巧策略，抛砖引玉.

1 巧设圆系

分析：根据题设，通过设置直线l的方程，与双曲线方程联立，利用函数与方程思维，结合韦达定理构建A，B两点的横坐标的积的表达式，再通过外接圆的圆系方程的设置，结合待定系数法的应用，抓住相关圆的基本性质以及圆与双曲线的位置关系，通过不同的函数与方程关系中的韦达定理的联系，再次确定A，B两点的横坐标的积，等价转换，设而不求，巧妙转化与应用，得以确定直线l的斜率.

点评：合理借助三角形的外接圆的圆系方程的设置，抓住直线与双曲线、双曲线与圆的交点均在同一直线来合理联系，应用待定系数法，结合函数与方程思维来合理破解与应用.抓住圆的基本性质、结构特征以及与其他元素的关系等，合理创设圆系方程，可以更加直接联系起圆与其他点、直线、圆锥曲线等元素，解决问题更加简单快捷.

2 巧设椭圆系

点评：椭圆系方程可以联系起已知椭圆与所求椭圆、已知椭圆与所求双曲线等之间的关系，要利用与已知椭圆具有某一公共特性的曲线系加以合理创设.特别是与已知椭圆共焦点的曲线系方程，要根据参数的不同取值情况确定相应的椭圆方程或双曲线方程，不要产生混淆.

3 巧设双曲线系

点评：共渐近线的双曲线系方程是双曲线系方程中最为常见的一种曲线系方程，对应方程的焦点可以同轴也可以不同轴，要结合参数的正负取值情况加以合理判断与应用.而与已知双曲线共焦点的曲线系方程，同样要根据参数的不同取值情况来确定对应相应的椭圆方程或双曲线方程.

借助平面解析几何中相应曲线系的巧妙设置，厘清相关曲线的定义，把握曲线的几何性质，合理灵活转化，更加直接有效地指明破解问题的方向，直达目的.曲线系的引入，避免解几解题过程中复杂的判断、可能产生的分类讨论、繁杂的代数运算等，优化解题过程，减少数学运算，全面提升解题效率与解题效益，能更好地培养学生的数学核心素养.