巧用4个“+”玩转立体图形

［摘 要］空间观念是小学数学核心素养之一，培养空间观念是发展空间想象力的基础。在进行几何教学时，充分利用各种条件，引导学生按照“观察+提问”“拆解+组装”“分析+归纳”“演示+变式”这4个环节对几何形体展开深度学习，能有效培养学生的空间观念，发展学生的核心素养。

［关键词］正方体；几何教学；空间观念

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）23-0044-04

学者王林全认为，空间观念就是对图形进行识别，理解其相关特征，能够用语言描述图形的运动变化的过程。基于此，笔者以苏教版教材六年级上册第一单元“表面涂色的正方体”活动课为例，引导学生按照“观察+提问”“拆解+组装”“分析+归纳”“演示+变式”4个环节（4个“+”）展开学习，提升空间认知能力。

“表面涂色的正方体”一课作为第一单元基础知识的拓展和延伸，旨在探究将表面涂色的正方体分成若干等份后每个小正方体表面涂色的情况，以及其中的规律，要求学生具备较高的空间想象力。笔者通过 4个“+”的教学环节设计，将抽象的几何规律转化为具象的图形认知，提升学生动手操作和分析归纳能力，提高学生应用所学知识解决实际问题的能力，增强学生的空间观念，最终发展核心素养。

一、“观察+提问”，在讨论思考中启发学生建立空间观念

观察是有目的、有计划、主动参与的知觉过程，提问是有准备、有针对、积极思维的启发行为。教学伊始，笔者通过“观察+提问”相结合的方式，引导学生逐步从表面涂色的正方体的表象中发现问题，为后续的拆解、分析以及归纳问题作铺垫。

笔者在教学初始以课件和实体同步的方式展示棱长分为3等份的正方体（如图1），让学生先观察并提出数学问题，再逐步展开想象：将正方体按照图示均分后，对0面、1面、2面、3面涂色的小正方体各有多少提出自己的猜想。

师：这是一个表面涂色的正方体，仔细观察，你可以提出哪些问题？

生1：这个正方体的表面积是多少平方厘米？

生2：这个正方体的体积是多少立方厘米？

生3：这个正方体可以平均分成多少个小正方体？

生4：分成的小正方体每个面的涂色情况相同吗？若不同，每种情况的数量是多少？

（笔者将学生反馈的问题板书在黑板上）

上述案例中，笔者鼓励学生踊跃提出问题，及时对学生提出的问题进行集中整理，为学生接下来的动手操作提供方向。

二、“拆解+组装”，在动手操作中帮助学生建构空间观念

荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：“数学学习是一种活动，这种活动与游戏、骑自行车是一样的，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。”认知始于操作，操作促进认知。小学生的理解、记忆如果能建立在直观操作、动手实践的基础上，那么知识就会牢牢地扎根在脑海中。因此，在立体图形教学中，想要满足学生的学习需要，教师就必须提供具有多样性和层次性的操作活动。在接下来的教学环节中，笔者把每4名学生分成一个小组，共设计三个活动，再在每个活动中根据学生操作的进程适时提出新问题，以顺利推进教学展开。

（一）分正方体

笔者播放正方体（如图1）的分割视频，让学生通过小组合作，照葫芦画瓢将分发给的正方体分割。

师：请将桌上棱长3等分的正方体像视频中这样分割，分割完成后在小组内交流。

生1：我发现一共可以分成27个小正方体。

生2：这些小正方体的表面涂色情况不是完全相同的。

生3：有的3面涂色，有的2面涂色，有的1面涂色，还有的6个面都没有涂色。

生4：这些小正方体的表面涂色情况为什么不一样？

生5：我数了一下，3面涂色的有8个，2面涂色的有12个，1面涂色的有6个，6个面都没有涂色的有1个。为什么它们的个数都不一样呢？

学生在分割后获得一些发现：一共可以分成27个小正方体，小正方体的表面涂色不是完全相同的。同时，学生提出了一些新问题，如“这些小正方体的表面涂色情况为什么不一样”，学生提出的新问题将进一步激发他们的探究欲。

（二）搭正方体

师：带着这些问题，让我们一起来复原这个正方体，限时2分钟。

（学生迅速动手操作）

师：时间到。只有2个小组完成了，其他小组都没有完成。没有完成的小组能说一说原因吗？

生6：我们摆出来的正方体总有表面没有涂色的地方，反复重新摆，浪费了很多时间。

师：为什么摆出来的正方体总有表面没有涂色的地方呢？已经完成的2个小组有什么建议吗？

生7：6个面都没有涂色的小正方体要放在最中间。

生8：有3个面涂色的小正方体要放在顶点的位置上。

生9：总的来说，表面涂色不同的小正方体放的位置是有规律的。

师：表面涂色不同的小正方体应分别放在哪里呢？请同学们在小组内讨论一下这个问题。

（学生小结：6个面都没有涂色的小正方体在最中间，有3个面涂色的小正方体在顶点的位置上，有1个面涂色的小正方体在面上。其中，有2个面涂色的小正方体的摆放位置学生不会描述，但是用教具指出了在棱的位置上。）

通过在限定的时间内完成正方体的复原工作，学生对小正方体的摆放位置进行了观察和思考。在小组讨论与交流后，笔者组织全班学生一起对涂色不同的小正方体的摆放位置特点进行小结。

师（出示图2）：我们弄清了不同涂色的小正方体的摆放位置，那么它们各有多少个呢？各数量的多少与正方体的特征有没有关系呢？

生10：3面涂色的都在顶点上，一共有8个顶点，所以3面涂色的有8个。

生11：2面涂色的都在……

师：棱上，我们可以把这个位置叫棱上。

生11：2面涂色的都在棱上，每条棱上有1个，一共有12条棱，所以2面涂色的有12个。

生12：1面涂色的都在面上，每个面上有1个，一共有6个面，所以1面涂色的有6个。

生13：6个面都没有涂色的在中心，只有1个。

师：经过交流，如果现在让你再复原一次正方体，你有什么方法能又好又快地完成吗？

生14：可以将涂色不同的小正方体分门别类放好，再按位置摆放不同的涂色小正方体。

师：请你们再次复原正方体，看哪个小组用时最短。

在复原正方体的活动中，笔者引入涂色正方体的拆解示意图，然后适时引出“棱”的概念，帮助学生在“拆解”和“组装”之间、在抽象与具象之间搭建一座桥，从而建立起空间观念。带着活动的收获，学生再次复原正方体，这时学生很快就能完成。这不仅让学生积累了知识，而且感受到了成功的乐趣，增强了学生学习数学的兴趣。

三、“分析+归纳”，在探索规律中帮助学生巩固空间观念

心理学家罗杰斯认为，一个人的创造力只有在“心理安全”和“心理自由”的条件下，才能获得最大限度的表现和发展。教育亦然，在教学中，教师要善于引导学生进行分析、归纳，使学生的心理从探索知识时的“不安全感”转化为收获知识的“满足感”。

在搭正方体的活动中，学生一开始只会通过数数发现涂色不同的小正方体各有多少个，因而在第一次复原正方体时是比较盲目且无措的，这也是部分小组没能完成的原因。随着操作活动的开展，学生会主动思考“为什么不能完全复原？”“小正方体的摆放位置是不是有什么规律？”“不同涂色的小正方体的个数是不是和正方体的特征有关？”等问题。这一连串问题产生的过程，正是学生不断逼近本节课核心知识的过程。当学生成功掌握本节课的核心知识后，他们不再需要通过数数去了解不同涂色小正方体的个数，再次复原正方体时也更有条理和章法。

师：同学们第二次复原正方体的完成情况明显比第一次好很多。谁能分享你们复原的心得？

生1：经过之前的讨论，我们知道了每种涂色的小正方体的摆放位置，复原时就不用再反复尝试了，节省了很多时间。

生2：我们在复原过程中发现有错误，但也能根据涂色的小正方体的摆放位置特点快速做出调整。

生3：我们小组里每个人负责一种涂色的小正方体，复原到相应的位置就由手持相应涂色的小正方体的同学摆，所以完成得很快。

师：经过均分正方体、复原正方体、再复原正方体，我们发现不同位置的小正方体涂色的情况不一样，个数也不一样。现在让我们一起来总结一下。

（师生一起总结，并制成表1）

师：我们研究了每条棱被平均分为3份时不同涂色小正方体的情况，如果棱被平均分为4份、5份……结果又会怎样呢？根据我们刚才的探究过程，展开你的想象力，也尝试制成一个表格吧。

（学生独立制表，见表2）

师：观察表2，你能发现什么规律？

生4：3面涂色的小正方体都在正方体顶点的位置，都是8个。

生5：2面涂色的小正方体的个数都是12的倍数。

生6：1面涂色的小正方体的个数都是6的倍数。

生7：6个面都没有涂色的小正方体的个数是立方数，为13，23，33等。

师：如果用n表示把正方体的棱平均分的份数，你能用含有n的式子表示每种涂色小正方体的情况吗？

（56e65922c03d64729ff8c3db6611ddf4学生讨论制表，见表3）

四、“演示+变式”，在视觉冲击中帮助学生深化空间观念

根据物体抽象出几何图形、根据几何图形想象出所描述的实际物体是学生必备的空间观念之一。学生在学习几何图形时，只有在直观感知的基础上展开充分的想象，才更容易理解和掌握几何图形知识。同时，清晰的表象能为学生理解概念打下良好的基础。变式规律告诉我们，变式越丰富，本质特征显示得越明显。因此，教师应引导学生借助变式深化空间观念。

让学生自己找出每种涂色小正方体的情况与棱等分成的份数之间的关系是十分困难的，这就需要发挥教师的主导作用，在教学过程中给学生以帮扶，补充学生想象上的空缺。笔者借助课件动态演示棱长4等分的涂色正方体的拆解过程（如图3），让学生不仅直观感受到不同涂色小正方体的特点，还让学生对3面涂色的小正方体数量为什么都是8，2面、1面、0面涂色的小正方体的数量为什么都要先减2再算有了直观感受，提升了空间想象能力。

在实际教学过程中，不可能所有与几何图形相关的知识都要求学生进行动手操作，因此，视觉的刺激所带来的效果就起到了十分重要的作用，比单纯的想象印象要更加深刻。对于几何图形这类抽象、难懂的内容，单纯依靠想象，学生会感觉到有难度。而利用直观、动态的形式呈现知识点，能让学生在看得到的前提下去思考，在视觉冲击中展开想象，最终深化空间观念。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 孔凡哲，祖丹.在操作中培养几何直观[J].中学生数理化（七年级数学）（配合人教社教材），2016（12）：5-7.

［2］ 李玉龙，朱维宗.小学初步空间观念及其培养[J].现代中小学教育，2008（10）：47-49.