问题导向下的数学学习活动的设计与思考

问题是数学知识与技能学习的载体，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力是数学学习的重要目标，问题还是激发学生学习兴趣、引领学生主动探究、深度思考的关键要素。数学家希尔伯特指出“数学问题是数学的灵魂”，问题导向的数学学习活动不仅可以通过真实有趣的问题情境激发学生的学习兴趣，引导学生主动提问，还能引导学生聚焦问题进行深度思考，加强学生对知识本质的理解，在问题探究与解决的过程中有效促进学生高阶思维的发展和核心素养的提升。但受认知水平和学习能力的限制，学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力有限，课堂教学中问题导向下的数学学习活动应如何设计并有效开展呢？笔者结合具体课例，与大家进行探讨交流。

一、自主发现问题，发展数学眼光

在课堂教学中存在两种让人“头疼”的情况：一是学生不会提问，每次提问，大家就目光躲闪或低头不语，课堂上一片沉寂；二是学生“乱”提问，一个接一个举手提问，却提出一些与数学学习无关或没有讨论意义的问题。针对上述情况，开展问题导向下的数学学习活动，要重视培养学生自主发现问题、提出问题的能力，让学生提出真正的问题，提出有价值的问题，学会用数学的眼光观察世界。

1.创设情境，基于认知需求提问

真实的问题情境，可以激发学生探究数学原理、揭示数学秘密的好奇心，通过问题情境创设认知冲突，使学生主动发现问题、提出问题。例如，在教学“小数的意义”时，教师可以通过一组图片创设生活中使用小数的情境，让学生思考生活中的小数，或者提出需要用小数表示的问题，由此引导学生在现实情境中产生新的认知需求，激发学生提出问题：“什么情况下需要用小数？”“小数是怎样表示的？”“小数和整数有什么相同之处和不同之处？”而在教学“三角形的三边关系”时，教师则可以创设活动情境：让学生用3根小棒围成三角形。当学生发现有的同学能围成，有的同学却不能围成，于是他们迫切地看看别人的小棒，又对比自己的小棒，开始自觉提问：都是3根小棒，为什么有的同学不能围成三角形？什么样的3根小棒才能围成三角形？很快将研究的视角聚焦到小棒的长短上，即三角形三边的长度关系上，使学习目标更加明确。

2.加强指导，基于数学视角提问

为了提高问题的研究价值，在教学中，教师不仅要让学生大胆提问，更要指导学生学会提问，特别是基于数学视角提问。例如，在教学“中国的传统历法——农历”时，教师出示了一张同时标有公历与农历的年历图，在引导学生关注我国的传统历法——农历后，鼓励学生提出自己想知道的问题。在学生提出“为什么叫农历？”“农历是谁发明的？”“还有其他的历法吗？”等问题后，教师提醒学生更细致地观察两种历法，联系学过的年、月、日的知识再提问。这时学生又提出问题：农历年有多少天？农历有平年闰年吗？农历每个月的天数是怎样规定的？而当学生列出年历中每个月的天数，算出不同年份的天数后，教师又引导学生思考：通过刚才的研究解决了哪些问题？又有哪些新的问题？在教师的指导下，学生学会在观察对比、联系旧知识中提出更加有数学味的问题，并感悟学习就是不断解决旧问题并提出新问题的过程。

此外，教师还应结合具体教学内容适时教会学生提问的基本方法，让学生初步了解提问的技巧和注意点，提升学生的提问能力。例如，在教学“比例尺”时，教师可以指导学生：认识一个新概念或事物时，可以从“它是什么？为什么学？如何使用？与谁相关？”等方面提问，而在教学“笔算除法”时，教师可以从“怎么做？为什么这样做？做得怎么样？还有其他方法吗？”等方面提问。

二、锁定关键问题，关注知识本质

1.剖析过程，锁定关键问题

在学习某个知识或解决某个问题的过程中，我们常常要面对一系列的问题，但其中最为关键的问题却只有一两个。在教学中，教师不仅要引导学生发现问题、提出问题，更要指导学生对解决问题的过程进行剖析，快速锁定关键问题，寻找解决问题的突破点，关注知识本质。例如，在教学“解决问题的策略（转化）”中用数形结合的方法求“1+3+5+…+15”的和时（如图1），教师可以引导学生在解决问题的过程中不断剖析问题，找出最关键的问题。学生通过交流发现，大家都知道这样的几个连续奇数的和可以转化成正方形，和就等于正方形的面积，即可以写成n×n的形式计算，但关键问题是“如何确定n是多少”。在锁定关键问题后，学生开始聚焦正方形的边长与算式中n的关系，有学生发现奇数的个数就是正方形的边长，也有学生发现最后一个奇数比正方形两边之和少1（因为拐角的点重复了）。通过锁定关键问题，学生不仅真正理解了这样的算式可以转化成一个数的平方来计算的道理，还能通过数形结合的方法探究其间的关联。

2.概括提炼，探寻本源问题

数学问题不仅是学生学习数学知识技能的载体，更是促进学生深度学习的按钮。问题导向下的数学学习活动要让学生在解决具体问题的过程中，不断概括提炼问题解决的一般过程，探寻具体问题的本源，使学习不断深入。例如，在教学“分数除以分数”时，教师依次让学生借助图形探究如何计算“[9/10÷3/10]，[3/5÷3/10]，[3/5÷2/7]”，并基于以下三个问题引导学生思考：三个除法算式计算过程中有什么相同与不同之处？为什么后面两个算式要先通分再除？将通分的过程与乘除数的倒数相比，你有什么发现？让学生在问题探讨中逐步理解分数除法和整数除法、小数除法的实质是一样的，都是求一个数里有几个几，只是整数的计数单位是个、十、百……，小数的计数单位是十分之一、百分之一……，分数的计数单位则是几分之一，所以同分母分数除法可以直接用分子相除。而后两个算式因为被除数与除数的计数单位不一样，因此要先通分。并且在比较中发现，被除数分子分母同时乘除数的分母，除数的分子分母同时乘被除数的分母，是使异分母分数除法变成同分母分数除法的一般方法，而被除数乘除数的倒数则可以看作这一过程的简化。

三、追求多元，提升学科素养

在问题导向下的数学学习活动中，教师不仅关注学生“四基”“四能”的发展，更要重视学生学科素养的提升，在分析问题、解决问题的过程中培养学生从数学角度多元表征、思考、表达问题的能力，使“三会”目标得以实现。

1.意义理解，追求表征方式的多元

在问题解决的过程中，学生要理解题意、厘清数量关系，在教学中，教师要鼓励学生利用图形、表格、文字、算式等多种方式对问题进行完整、清晰地表征，加深学生对问题的意义理解，促进学生对数量和数量关系的理解，发展学生的抽象能力、几何直观、空间观念和创新意识等。例如，在教学“解决问题的策略（从条件想起）”时，教师可以提问：你是怎样理解“第一天摘了30个，以后每天都比前一天多摘5个”的？并让学生尝试用自己喜欢的方法表征上述问题。通过展示不同的表征方式，学生在理解题意的基础上发现，由已知条件根据第一天摘的个数可以想到第二天、第三天摘的个数，也可以想到从第二天起，每过几天，就比第一天多摘5个，进而用不同的方法解决问题。这样，学生不仅感悟到了从条件想起的解题策略，也培养了数感和推理能力。

2.发散创新，追求探究方式的多元

“数学是思维的体操”，问题导向下的数学学习活动应关注学生数学思维的发展，特别是高阶思维的发展，在问题解决的过程中，教师要给学生创造自主探究、发散创新的空间，激励学生用不同的方式解决问题，通过数学思维更好地理解与解释现实世界。例如，为了帮助学生更好地厘清常见的数量关系，教师可以设计如图2所示的问题让学生解决，并提问：“你是怎样想的？”“你能想出不同的解法吗？”进而展示学生作业，汇报各种解答方案：（1）分别算出两种油每升的价钱再比较；（2）算出小桶6升的价钱，再与一大桶油的价钱作比较；（3）大桶的价钱除以3，再与一小桶油的价钱作比较。教师在学生理解不同解决方法的基础上引导学生思考“这些不同的解法背后有没有什么相同之处”。经过讨论交流学生发现，虽然两种油的数量和总价都不相同，没法直接比较，但是可以算出单价进行比较，也可以想办法让数量变成同样多比总价。这时有学生提出，比单价就是数量都是1升时的价钱，所以三种方法实际上就是把数量变成一样，再比价钱的多少。随后又有学生提出，可以看同样多的钱哪种油买的数量多，如用26元除以大桶油的单价，只是计算有些麻烦。通过问题引领，学生有了更多的探究空间，在不同解法中找出相同的数量关系，促进知识的深度理解和灵活运用，培养了发散思维和创新能力。

3.尊重差异，追求表达方式的多元

数学语言是简约、精练的，它为人们描述和交流提供了独特的表达方式，在教学中，教师要让学生学会用数学语言描述现实生活中的数量或事物的关系、性质与规律，充分发挥其表达与交流的功能。例如，在教学“解决问题的策略（一一列举）”时，教师出示王大叔围长方形花圃的主题图后，提出问题：根据条件和问题，你能想到什么？打算怎样解决这个问题？帮助学生理解题意，并发现长方形花圃的不同的围法，找出面积最大的围法，需要把不同的情况一一列举出来。然后再次以问题引导学生思考“想一想怎样把你想到的方案表示出来，并找出面积最大的长方形”。让学生在学习单上尝试用想到的方法表达自己的思考过程和结果。在展示汇报时，教师引导学生观察比较不同的表达方式，感悟图形的直观、表格的整齐、算式或数列的简洁，同时引导学生讨论：能从这些不同的表达方式中找出什么相同之处吗？学生能发现，无论是画图、列表、写算式或写数列，都要根据周长是22米、长与宽的和是11米这个关键条件来列举，为了做到不重复不遗漏，所以要按顺序列举，虽然表达的方式不一样，但都能列举出所有符合要求的方案，不仅可以从中做出选择，还可以发现长和宽越接近长方形面积越大的规律，从而使学生深刻体验一一列举策略的应用价值。

四、系统解决问题，落实学科育人

在问题导向下的数学学习活动中，教师还可以设计与现实生活紧密相关、更具开放性和综合性的复杂问题，引导学生进行探究讨论，使学生在问题解决的过程中深化对数学知识理解，提升数学思维能力，更从中培养良好的道德品质，树立正确的价值观，建构和谐的人际关系，在综合运用知识技能系统解决问题的同时，获得心智与人格的共同发展，体现数学学科的育人价值。

例如，在教学“表内乘法的整理复习”时，教师可以创设加号与乘号争吵的问题情境：乘号说用加法计算太慢，所以乘法比加法厉害，而加法则不服气。引导学生讨论：“你觉得乘号说得有道理吗？”“加号不服气，要怎么反驳呢？”“你想对加号、乘号说什么？”让学生在讨论中感悟两种运算的特点与关联，认识到虽然乘法是加法的简便计算，但仅适用于加数相同的情况，具有局限性。解决实际问题时，要根据需要灵活选择，有时还可以两者结合，解决更多问题。又如，在教学“认识百分数”中的“纳税问题”时，教师可以通过“纳税是多好还是少好”的问题引导学生开展调查和辩论，当有学生提出纳税太多就会使自己的收入变少，过重的税收会增加人们负担的观点时，另一些学生则会用搜集的材料介绍税收的用途，表示税收是国家许多公共事业的经济保障，取之于民用之于民，纳税是公民应尽的义务。在争论中学生还发现，如果应纳税总额不变，税率越高，纳的税越多，个人剩下的收入就越少，形成“对立”的数量关系；而当税率不变，应纳税总额不断增加时，纳的税就越多，个人所得的收入也同时变多，就变成了“双赢”的数量关系。进而提出，我们应该努力劳动，创造更多的财富，让国家和个人共同富裕，过上国富民强的美好生活。上述问题导向下的数学学习活动，不仅丰富、充实了学生对所学知识的理解和感悟，也让学生在问题解决的过程中学会搜集资料、表达自己的观点，有助于培养学生的批判思维、创新能力，还能培养学生的团结合作、勤劳致富、爱家爱国等道德品质，让立德树人的课程目标在课堂实践中落地。

综上所述，问题导向下的数学学习活动设计要充分发挥问题的启智、导思、育人等功能，在问题解决的过程中关注“四基”“四能”的获得与培养，在问题引领下让学生自觉提问、主动探究、深入思考，发展核心素养。

（作者单位：江苏省仪征市实验小学）

本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度青年专项重点资助课题“‘好问题’促生图示优化儿童数学认知结构的案例研究”（课题编号：C-a/2020/02/19）的阶段性研究成果。