“化曲为直”在解答平抛和类平抛问题时的运用

谢龙 张岩松

摘 要：有关平抛、类平抛的题目，可以说是纷繁复杂，变化万千.就像风筝在空中翻飞、乱窜，而“化曲为直”便是那风筝的引线，无论风筝飞得多高、多远，也无论怎样变换、花样迭出，但始终都逃不出风筝引线的一线牵.有关平抛、类平抛的题目就像孙悟空，神秘莫测，变化多端，而“化曲为直”就像那如来佛，纵然孙悟空有七十二般变化，而且能够腾云驾雾，一个筋斗云十万八千里，却始终跳不出如来佛的手掌心.

关键词：平抛运动；类平抛运动；化曲为直

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0108-03

平抛运动和类平抛运动的题目变化万千，纷繁复杂，但是无论怎样变化，万变不离其宗，解题的思路都是相同的，都可采用“化曲为直”的方法，即将复杂的平抛运动和类平抛运动.分解为简单的两种相互垂直的直线运动，然后再利用运动学公式、牛顿第二定律、动能定理等去求解即可.

1 “化曲为直”在平抛运动中的运用

例1 在做研究平抛运动的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹.用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长为L，若小球在平抛运动途中的几个位置如图1中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式为v0=（用L、g表示）.

解 根据化曲为直的思想，可以将该平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.

设时间间隔为t.

由图示可知：a、b、c三个点间的水平位移为：

x=2L.

在竖直方向上，相邻两点间的位移差为：

△y=2L-L=L.

因为△y=gt2

所以L=gt2①

在水平方向上：x=2L=v0t②

由①②联立解得：v0=2gL.

评析

本题是典型的平抛运动，初速度方向水平向右，在水平方向上做的是匀速直线运动，在竖直方向上做的是匀加速直线运动.这类题属于常规题目，学生很习惯做这样的题目，记住利用“化曲为直”的思想去求解即可.

2 “化曲为直”在类平抛运动中的运用

2.1 初速度沿竖直方向的类平抛运动

例2 如图2所示，真空中x轴上方有一与x轴平行的水平方向匀强电场，一电子从坐标原点O沿y轴正方向以速度v0竖直向上射入电场，在运动中电子正好通过

竖直平面xOy内的A点，A点与原点相距L，OA与x轴夹角为θ，已知电子电量为e，质量为m，电子的重力不计.

求：（1）匀强电场的场强大小和方向;

（2）电子到达A点时的速度大小.

解

（1）根据“化曲为直”的思想，将电子的运动分解为沿初速度v0的方向，即y轴方向的匀速直线运动，和与初速度v0垂直的方向，即x轴方向的匀加速直线运动.

所以Lcosθ=12Eemt2①

Lsinθ=v0t②

由①②联立解得：E=2mv20cosθeLsin2θ

（2） 电子由O到A的过程，根据动能定理：

EeLcosθ=12mv2A-12mv02③

将上面电场强度E的表达式代入③解得：

vA=v01+4cotθ2

评析

本题的初速度方向是竖直向上的，而我们常见的、最为熟悉的常规平抛运动是初速度方向水平的，因此这个题的初速度方向和平抛运动相比，转动了90°.因此，本题在竖直方向上做的是匀速运动，在水平方向做的是匀加速直线运动，与平抛运动恰好相反.学生解这样的题目时会感到很别扭，常常弄反了，要特别注意才行.

2.2 初速度沿一般方向的类平抛运动

例3 在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图3所示. 质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直.已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°.运动中粒子仅受电场力作用.

（1）求电场强度的大小；

（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？

解 （1）由题意知：初速度为零的带正电粒子由A点开始运动，以速率v0从C点穿出电场.

所以电场强度的方向应该沿AC，而且由A指向C.

带电粒子从A到C做的是初速度为零的匀加速直线运动.

连接OC，因为θ=60°，则△AOC为等边三角形，如图4所示.图4 匀加速运动的示意图

由运动学公式得：v20=2aR

而a=Fm=Eqm

所以E=mv202qR.

（2）以初速度方向为x轴，入射点A为坐标原点，建立直角坐标系，如图5所示.因为粒子从A点射入电场的初速度方向沿x轴正方向，与沿y轴正方向的电场强度垂直，而且粒子只受电场力的作用，所以粒子做类平抛运动.

根据力的独立作用原理，粒子沿x轴做匀速直线运动，沿y轴做初速度为零的匀加速直线运动，且

加速度为a=Eqm=v202R.④

过O点做y轴的平行线，交圆周与D点.过D点做圆的切线，该切线与y轴垂直，设与y轴的交点为F.

则粒子从D点射出时沿y轴方向移动的距离最大，电场力做功最大，动能增量最大.

过O点做y轴的垂线，设垂足为E.则四边形ODFE为正方形.如图5所示.

粒子从D点射出时：

x=Rsin60°=vt⑤

y=R+Rcos60°=12at2⑥

由④⑤⑥联立解得：

v=24v0.

评析 第（1）问：

题目中的已知条件“已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场”是解题的切入点和突破口.提示我们电场强度方向由A指向C，粒子从A点到C点做的是匀加速直线运动，再结合运动学公式和牛顿第二定律不难求出第（1）问，也为求第（2）问奠定了基础.第（1）问比较简单.

第（2）问：

题目中的已知条件“带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直.”是解第（2）问的切入点和突破口.因为运动中粒子仅受电场力作用，所以可以知道粒子做类平抛运动.为使粒子穿过电场后的动能增量最大，则需要电场力做功最大.根据力的独立作用原理可知，沿初速度的方向（x轴）做匀速运动，沿与初速度垂直的方向（y轴）做匀加速直线运动.因此粒子出电场时沿y轴的位移最大时做功最大，动能增量最大.那么怎样寻找沿y轴的位移最大时的射出点呢？根据数学知识，做与y轴垂直的圆的切线，则切点即为所要寻求的射出点.然后利用运动学公式便不难求出入射速度.

这一问与平抛运动相比，初速度方向转了一个一般的角度，是一般方向上的类平抛运动.学生不太容易适应，难度比较大，难就难在不善于利用“化曲为直”的思想，不会利用力的独立作用原理去寻找出射点，不能把求最大动能转化为求y轴上的最大位移.

3 结束语

在解答平抛运动或类平抛运动问题时，必须利用“化曲为直”的方法，即将复杂的曲线运动转化为两个简单的直线运动.再利用运动学公式、牛顿第二定律、动能定理等知识来进行求解［1］.“化曲为直”是解平抛运动或类平抛运动问题的前提和关键.“化曲为直”的依据是“力的独立作用原理”，即物体在某个方向上的运动只由这个方向上的合外力来决定，与跟这一方向垂直方向上的力没有关系.“化曲为直”实质上体现的是数学中的一种“化繁为简”的思想，即运用各种方法和技巧把复杂的事物或者难以直接把握的情况转化为简单的、已知的事物或情况.说穿了，“化曲为直”就是一种巧妙的转换，也是一种非常重要的物理思想，能够将曲线变为直线，从而将复杂的物理过程进行简化和抽象，帮助学生理解和分析问题，促进物理教育教学［2］.

参考文献：

［1］陈庆贺.例析带电粒子在电场中的运动[J].教学考试（高考物理），2021（01）：67-70.

[2] 李瑞.物理模型在高中物理中的应用：以竖直平面内圆周运动为例[J].数理化解题研究，2022（03）：125-127.

［责任编辑：李 璟］