加强数学思想教学提升数学思维品质

徐东良

在初中数学教学中，教师既要重视知识的传授，又要重视挖掘数学思想方法，以此让学生更好地理解数学、掌握数学、应用数学，培养学生良好的思维习惯，形成正确的数学观.初中数学中蕴含着丰富的思想方法，如数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想等.以下笔者以“勾股定理的应用”为例，充分挖掘蕴含其中的数学思想方法，以期通过数学思想方法的合理运用来开阔学生的解题思路，优化解题过程，提升学生分析和解决问题的能力.

1 方程思想

方程思想是指从问题的数量关系出发，通过恰当引入未知量，寻找未知量和已知量的数量关系，将问题转化为方程或方程组，然后通过解方程或解方程组使问题得以获解.

例1如图1，在矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E为AB上任意一点（异于A，B两点）.设BE=t，将△BCE沿CE对折，得到△FCE，延长EF交CD延长线于点G，则tan∠CGE=（用含t的代数式表示）.

分析：根据对折的性质易得∠EFC=∠EBC=90°，∠BEC=∠FEC.又四边形ABCD为矩形，所以AB∥CD，则∠BEC=∠ECG，故∠ECG=∠FEC，则GE=GC.设GC=x，又BE=EF=t，则FG=x-t.由FC=BC=3，在Rt△GFC中，根据勾股定理，得（x-t）2+32=x2，这样求得x的值后，问题即可迎刃而解.

评注：例1难度不大，但是涉及的知识点较多，如解题时运用了矩形的性质、翻折（轴对称）变换的性质、勾股定理、正切的定义等，解题的基本思路就是根据已知条件寻找等量关系，从而将已知与未知建立联系，运用方程思想方法解决问题.通过以上问题的求解充分体现了方程思想的简便、快捷.

方程思想在初中数学教学中有着重要的应用，对于一些比较复杂的问题，只要抓住相等关系，就能实现化繁为简的转化.另外，方程与函数、方程与不等式紧密联系，在教学中合理渗透方程思想可以提高学生综合运用知识解决问题的能力，促进学生思维能力的提升.

2 转化思想

转化思想又称转化与化归思想，其中“转”是转化思想的核心.在数学学习的过程中，合理的转化往往可以达到化繁为简、化陌生为熟悉的效果，从而顺利地解决新问题、获得新知识.其实，很多其他的数学思想方法也是从转化思想衍生而来的，如数形结合思想、函数与方程思想、类比思想等，在数学学习的过程中合理地运用转化思想，可以使问题变得更加简单化、熟悉化、直观化，有利于问题的解决，促进知识的掌握.

例2将两块三角尺按照图2所示的方式摆放，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求S四边形DBCF.

分析：根据已知条件显然难以直接求得四边形BDCF的面积，因此在解题的过程中需要进行转化.观察图形特点可知，若能够分别求出△ABC和△ADF的面积，那么两个面积作差即可顺利解决问题.在Rt△ABC中，根据已知易得AC=BC=32，S△ABC=9.

在Rt△DEB中，根据条件，运用方程的思想方法易得BD=23，则AD=6-23.

在Rt△ADF中，由AD=DF=6-23，可求得S△ADF=24-123.

这样分别求得△ABC和△ADF的面积后，问题即可获解.

评注：在求解过程中，若遇到难以直接求解的情况时往往考虑转化.转化策略是解决数学问题最常见的方法，也是最通用的策略.本题所求是不规则图形的面积，解决此类问题的常用方法就是将不规则图形转化为规则图形的和差问题.因此，在日常教学中，应重视转化思想的渗透与挖掘，提高解题效率.

3 数形结合思想

数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形建立联系，从而通过数与形的相互转化使问题更加直观化、严谨化.在解题的过程中合理利用数形结合思想，有利于解题过程的优化和解题效率的提升.

例3已知x，y是正实数，且x+y=4，求x2+1+y2+4的最小值.

分析：若从代数的角度出发，可以尝试将问题转化为函数问题，运用求函数最值的方法来求解，但是显然该方法较为复杂，运算量较大，影响解题效率.不妨转变策略，尝试从形的角度出发.认真分析题目不难发现，所求可以看成两个直角三角形的斜边之和，于是将问题进行如下转化：

如图3，已知AB=4，AC=1，BD=2，P为AB上一动点，求PC+PD的最小值.这样通过构造如图3所示的直角三角形，即可求得CD=5.设AP=x，则结合已有的经验可知

x2+1+y2+4在C，P，D三点共线时取最小值5.

评注：从以上解题过程可以看出，通过构造几何图形使问题变得更加直观化，其极大地减少了运算量，充分体现了数形结合的优势.在初中数学学习过程中，教师应有意识地引导学生将数与形结合起来，优化解题过程，提高解题效率.

4 分类讨论思想

分类讨论思想实质上就是先化整为零，然后积零为整.在解决问题的过程中，学生经常会遇到一些所给的对象不能统一研究的问题，解决此类问题时就需要按照某个标准分类，以大化小，各个击破.合理运用分类讨论思想可以帮助学生更好地理解和解决问题，有利于激发学生学习兴趣，培养思维的严密性.

例4在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.如图4，若∠C=90°，则a2+b2=c2.如图5、图6，△ABC不是直角三角形，试猜想a2+b2与c2具有怎样的数量关系？请给出你的猜想并加以证明.

分析：若△ABC不是直角三角形，则它可能是锐角三角形或钝角三角形.

观察图5可知，当△ABC是锐角三角形时，a2+b2>c2；

观察图6可知，当△ABC是钝角三角形，且∠C为钝角时，a2+b2

形成猜想后，学生运用方程思想，通过恰当地引入未知量可以将三角形的三条边建立联系，运用数形结合思想方法解决问题.

评注：在解题的过程中经常会遇到需要分类讨论的问题，只有将问题合理分类才能保证结果的完整、准确.值得注意的是，同一问题按照不同的标准分类则有不同的划分形式，因此在分类时要做到不重复、不遗漏.

5 整体代换思想

在解决问题的过程中，大家往往习惯从问题的局部出发，运用分而治之的策略解决问题，然有些问题只有从整体视角出发，才会获得柳暗花明的效果.整体思想是解题中最常用、最基本的思想，有些问题若运用整体思想去探究可以消除某些障碍，实现化繁为简的转化.

例5在Rt△ABC中，∠BAC=90°，M，N为BC的三等分点，已知AM=4，AN=3，则BC=.

分析：要求斜边BC的长，最先考虑的就是分别求出AC，AB这两条直角边的长度，显然根据已知条件难以直接求出它们的长，为此解题时需另辟蹊径.根据已知M，N为BC的三等分点，

不妨过这两点分别向AB，BC作垂线（如图7），以此构造多个直角三角形，从中寻找解题的突破口.

设BD=a，CG=b.由三角形的中位线定理可知，DE=EA=BD=a，AF=FG=GC=b.又四边形DAFM和四边形EAGN是矩形，所以MD=AF=b，GN=EA=a.于是在Rt△DAM中，由勾股定理，得DA2+DM2=AM2，即（2a）2+b2=42=16.

同理，在Rt△ANG中，易得（2b）2+a2=32=9.

两式相加得，a2+b2=5.在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=9（a2+b2）=45，所以BC=35.

评注：对于例5，根据已知条件很难分别求出AC和AB的具体值的，因此在解题时将AB2+AC2看成一个整体，运用整体思想方法顺利地解决了问题.这样在解题时从整体视角出发，使复杂的问题变得简单化，大大地减少了运算量，降低了思维难度，充分体现了整体思想的优势.

总之，数学思想方法是在日常学习和运用中逐渐形成的，它是一个长期积累与完善的过程.在日常教学中，教师应重视引导学生挖掘蕴含其中的数学思想方法，以此帮助学生认清问题的本质，逐步提高学生解题能力.