着力探索性学习提升教学有效性

林凡

受传统教学模式和应试教育的影响，初中数学课堂教学中依然存在一些问题，如大多教师依然习惯性地将结论、解题经验等以讲授的方式“灌输”给学生，然后给出大量的练习让学生模仿.可见，教师将教学的着力点放在结论的扩充与应用上，忽视了过程性探索.其实，在数学教学中，教师应重视引导学生经历知识的形成和发展过程，重视数学思想方法的提炼和数学核心素养的培育，使学生在学习过程中都能有所获.

笔者在教学“用公式法求解一元二次方程”时，改变传统的一味地灌输结论、帮助学生储备经验的旧模式，以学生的心理过程为主线，重视引导学生深度剖析数学公式的发展脉络，以此通过经历发现、探索、应用、归纳等过程，让学生都能学有所获.

1 课前分析

1.1 学习准备

学习准备阶段，教师既要通过知识的回顾为新知的学习扫清知识障碍，也要从情感上进行激励，重视激发学生的求知欲.在此过程中，教师应认真分析学情及学习内容，从学生的最近发展区出发，寻求新知的生长点，并基于知识的生长点提出探究的问题，培养学生的探索精神和创新意识，让学生认识到学习新知的必要性，激发学生的探究欲，从而为高效课堂的建构做好情感准备.

1.2 过程分析

周知，数学公式具有高度的抽象性.若想让学生理解并掌握公式，并能灵活应用公式解决问题，教师不能简单地将公式讲授给学生，让学生模仿和套用，而是要重视引导学生了解公式的来源，让学生经历公式的推导过程，通过亲身经历明确公式的适用范围和条件，弄清公式的本质属性，以此达到深刻的理解.

2 教学简录

2.1 情境引入，激发兴趣

师：上节课我们学习了用配方法求解一元二次方程，以下两题你能用配方法求解吗？（教师PPT出示题目.）

（1）x2-2x-1=0；（2）2x2+7x-15=0.

题目给出后，教师预留时间让学生求解.求解后，教师先让学生总结归纳利用配方法解一元二次方程的步骤，然后引导学生对以上问题进行对比分析.学生通过比较发现，对于二次项系数不为1的方程，利用配方法求解时常出现一次项系数是分数的情况，这样就使得运算比较复杂，于是学生自然提出问题：有没有更便捷的方法解这类方程呢？这样学生带着问题可以快速进入学习状态，从而进入本课研究的主题，即用公式法求解一元二次方程.

设计意图：导入阶段，教师以学生已有认知为切入点，引导学生利用配方法解一元二次方程，并让学生总结归纳利用配方法解一元二次方程的基本步骤，从而为接下来探究用公式法解一元二次方程做准备.在此过程中，教师引导学生对两个问题进行对比分析，让学生发现使用配方法可能会出现繁琐运算的情况，继而自然引出本课要研究的主题.

2.2 类比迁移，推导公式

师：现在我们将题目变一变，将方程中的数字系数换成字母，得到一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能类比前面的解题方法，解这个一般形式的一元二次方程吗？

教师预留充足的时间让学生独立求解，教师巡视.从学生反馈来看，大多学生与方程2x2+7x-15=0相类比，将方程左右两边同时除以a，继而将方程转化为二次项系数为1的情况，然后利用配方法求解.不过求解过程中，部分学生忽视了对代数式b2-4ac进行分类讨论.基于此，教师让出错的学生展示思路，鼓励学生对解题过程进行评价，以找到引发错误的根源，形成正确认识，有效规避或减少错误的发生.

师：大家利用配方法得到x+b2a2=b2-4ac4a2，接下来该怎么做呢？是否可以直接开平方呢？如果不可以，该怎么做呢？

问题给出后，教师让学生以小组为单位，开展合作学习.在此过程中，学生相互启发、相互补充，大多学生意识到要想开平方，首先应该对b2-4ac的取值进行分类讨论，由此学生提出当b2-4ac≥0时，两边可以同时开方，开方得x+b2a=±b2-4ac4a2，化简得x+b2a=±b2-4ac2|a|.

师：谁来分享一下自己所在小组的探究结果？

生1：我们小组解得x=-b2a±b2-4ac2|a|.

师：一定要带绝对值符号吗？

生2：题设信息中只给出了a≠0，a的正负不确定，所以需要添加绝对值符号.

师：那么这个绝对值符号是否可以去掉呢？

学生积极讨论，教师巡视.学生通过分类讨论认为去掉绝对值符号并不影响计算结果，最终将结果化简为x=-b±b2-4ac2a.在讨论中，也有学生给出了另一种解法，在配方前先将方程的两边同时乘a，于是有（ax）2+abx+ac=0，配方可得到ax+b22=b2-4ac4，当b2-4ac≥0时，可以直接开平方，所以有ax+b2=±b2-4ac2，解得x=-b±b2-4ac2a.显然，应用该方法求解就不会出现因a的正负不确定而出现绝对值的问题.该方法是预设之外的惊喜，这一意外惊喜将课堂推向高潮，极大程度提升了学生探究的积极性.在教师准备结束求根公式的推导时，学生又提出了新的猜想：如果将方程的两边同时乘4a，这样会不会使运算更加简洁呢？学生给出新的猜想后，教师预留时间让学生验证，让学生体会整体思维在解题中的应用，提高学生思维水平.

设计意图：在求根公式的推导过程中，教师没有直接将推导过程呈现给学生，而是坚持以生为主体，鼓励学生发现问题、提出问题，并提供机会让学生通过独立思考和合作探究解决问题，亲身感受知识的形成过程，在合作探究中发展逻辑推理能力.在此过程中，教师及时捕捉并合理利用课堂生成，学生获得了不同的推导方法，增强了学生学习信心，培养了学生数学素养.

2.3 知识总结，内化运用

该环节教师预留时间让学生归纳总结根的情况，学生通过思考得到如下结论：①当b2-4ac>0时，x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a；②当b2-4ac=0时，x1=x2=-b2a；③当b2-4ac<0时，方程无实数根.也就是说，一元二次方程有实数根的前提为b2-4ac≥0，此时该方程的实根可以表示为x=-b±b2-4ac2a.

设计意图：该环节教师预留时间让学生总结归纳，进一步加深对求根公式的理解，揭露问题的本质，提高学生数学归纳概括能力.

2.4 课堂练习，巩固提升

师：如果用公式法解课初的两个方程，你会吗？（教师继续出示课初题目.）

（1）x2-2x-1=0；（2）2x2+7x-15=0.

设计意图：回归课初问题，让学生通过对比分析体会不同方法的优劣，以便在解题过程中可以根据方程的结构特征选择合适的解题方法，以此培养学生的最优意识，提高解题效率.

2.5 课堂小结，归纳升华

师：通过这节课的学习，你学到了什么知识、方法？你有哪些心得体会？

该环节教师先让学生以小组为单位进行归纳总结，然后呈现学生的交流成果，以通过互动交流丰富学生的认知结构，促进知识的升华.

设计意图：课堂小结是课堂教学的重要一环，该环节教师秉承以生为主、以师为辅的教学理念，让学生从知识、方法、思想等方面对本课内容进行梳理，帮助学生建构知识体系，提高数学应用水平.

3 教学思考

在本课教学中，教师坚持以生为本的教学理念，鼓励学生进行自主探究和合作交流，提倡解决问题策略的多样性，重视学生活动经验的积累.教学中，教师以知识的生成为明线，以数学思想方法的渗透为暗线，共同推进，这样既满足了学生知识层面的发展，又促进了学生数学核心素养的落实.例如，教学中，教师没有直接将公式教给学生让学生套用，而是以学生已有知识为基础，引导学生进行类比探究，通过方法的迁移完成了公式的推导.在展示学生交流成果时，学生化简的结果含有绝对值，通过对绝对值符号的“去”“留”问题进行深入的探究，学生得到了多样的推导方法，从而通过问题的解决将课堂推向高潮，帮助学生积累了丰富的活动经验.在探究过程中，学生充分感悟类比探究、特殊到一般、分类讨论等思想方法的价值，提升了数学能力，发展了数学素养.

总之，在课堂教学中，教师应为学生搭建一个自主探究的舞台，引导学生亲身经历知识形成与发展的过程，以此逐渐优化学生的认知结构，让学生的数学能力和数学素养得以稳步提升.