做思共生：核心素养视角下的数学课堂教学

武文鑫

随着以核心素养为导向的新一轮课程改革的启动，初中数学教学经历了由“双基”到“三维”再到“核心素养”的嬗变.作为一线数学教师，我们应基于数学学科本质，从“做思共生”的教学理念出发，构建以具象认知为基础，以动作思维为支撑，以操作表象为纽带，以知行合一为外显的数学课堂教学新形态.

1 问题的提出

数学学科是一个富有生命力的学科，而每个学生都是生动活泼且富有个性的个体，倘若在数学教学中教师能巧妙设计动手操作的探究活动，并为学生的深度观察、深度思考、深度探究和深度合作留足时空，则可以让学生亲历观察、实践、猜想、推理等活动过程，形成做思共生的本然状态，进而无痕培养和发展数学思维，培养数学核心素养.

折叠问题是初中数学学习中较为重要的问题，因其涉及的数学知识和思想方法极为丰富，所以对学生的思维发展起到了十分重要的作用.基于此，在学生学习过特殊四边形后，笔者深入思考和研究，从整体化视角出发设计了“矩形折叠问题”的专题课教学，以期引导学生在做中思，在思中做，通过折叠与探索相结合的方式实现做思共生，培养和发展数学核心素养.

2 教学过程简析

环节1：情境导入，引发思考.

探究活动1：先回忆并思考矩形的基本要素，再取出事先准备好的A4纸，试着折出一个面积最大的正方形.（学生折出图1.）

追问1：四边形CDEF必定是正方形吗？可以具体说明吗？

追问2：观察顶点C与折痕DF的位置，有没有特殊之处？

追问3：根据矩形的基本要素，你觉得还能如何折叠，也使得折痕或顶点所落位置具有特殊之处呢？请自主尝试后小组交流想法.

经过探索，学生折出了多种作品，教师整理并展示了具有代表性的作品（图2～5）.接着，通过有序思考进行进一步的梳理和归纳，进而整理得出图6.

评析：以实践情境导入课堂，引领学生从复习旧知开始，进一步通过“做数学”的方式开启探究之旅.就这样，在活动的引领和追问的启发下，学生兴趣盎然，并实现有效生成，同时帮助学生养成有序思考的习惯.

环节2：深度探究，积累经验.

探究活动2：如图7，已知矩形ABCD，若沿BE翻折后使得顶点C落于AD边上的点F处，且AB=6，BC=10，试求出DE的长.

事实上，此活动是探究活动1的延伸，从而易让学生产生熟悉感.这里弱化了动手操作的活动，而是引导学生通过观察、思考和抽象理性审视图形，目的在于为后续的深度探究积累经验.在深入观察和分析后，学生不难得出如下结论：∠C=∠BFE=90°，BC=BF，EC=EF，△ECB≌△EFB，同时发现去掉重叠△EFB后的矩形余下了2个直角三角形.在Rt△AFB中，有AB=6，BC=BF=10，从而由勾股定理求得AF=8，则DF=AD-AF=10-8=2.而在Rt△DEF中，有EF=EC，DE+EC=6，不妨设DE=x，则EF=EC=6-x，再由DE2+DF2=EF2，可得x2+22=（6-x）2，求得x=83，则DE的长为83.问题探究到这里，似乎可以结束了，但探究性学习并未停止，学生在交流结论后自主自发地归纳得出了解决本题的关键在于“发现折叠后余下的两个直角三角形”，从而提炼得到了一类问题的解决策略，同时也无痕渗透了方程思想和转化思想.

进一步地，教师又抛出如下问题：

变式如图8所示，已知矩形ABCD，若沿EF翻折后使得顶点C落于点A处，且点D的对应点为D′，AB=6，BC=10，试求出DE的长.

评析：在活动中深度思考，在变式问题中再一次完整经历解题过程，以提升解题能力，达到触类旁通的效果，更重要的是为后续的问题解决积累经验.

环节3：有效拓展，思维进阶.

探究活动3：如图9，已知矩形ABCD，动点E，F分别在边CD和BC上运动，AB=6，BC=10，若沿EF翻折△CEF，使得顶点C的对应点C′落于边AD上，且点C′随着折痕EF的移动而移动，试求出AC′的取值范围.

问题1折叠问题的关键点在于折痕和顶点落下的位置，那么折叠过程中端点F由C向B移动的过程中，AC′的大小发生了什么变化？折叠过程中端点E由C向D移动的过程中，AC′的大小又发生了什么变化？

问题2随着折痕的变化，点C′是否存在特殊位置？请画出图形并尝试解决上述问题.

问题3通过这三个探究活动，你感悟到了什么数学思想？在未来的学习中，再遇到这类问题，你会如何思考并解决问题？

评析：为了让想象力较为薄弱的学生能在较短时间内解决问题，教师引导学生以问题为载体，以动手操作为方式，在“折”的过程中直观感知图形的变化，并在进一步的思考、探究、讨论中感悟图形变化规律，从而探寻到解决问题的策略，同时促进思维的深化.

环节4：自主提问，延展思维.

探究活动4：经过上述一系列探究，你能试着模仿提问吗？学生在思考后先模仿性地提出了如下问题：“一张A4纸可以折出一个菱形吗？”“试着求出探究活动2的变式问题中折痕EF的长.”……当然，上述问题源于模仿，从而在创新的角度还有所欠缺.此时教师可以进一步鼓励、点拨，引导学生多方位、多角度地思考并在小组合作的方式下尝试提出高质量问题，经过一段时间的探讨，形成了如下具有探究价值的问题：“如图8，试求出重叠部分的周长及面积.”

“如图10，已知矩形ABCD，AB=6，BC=10，若沿BE翻折△BCE，使得顶点C落于点F处，且折叠后的顶点C落在矩形内部，你能求出折痕BE长度的取值范围吗？”

评析：通过矩形翻折操作探究活动，学生逐步了解此类问题，通过教师的引导、鼓励和激励，学生能提出相关问题，深化了学生对矩形翻折问题本质的理解，更重要的是在发现、提出、分析和解决问题的过程中培养和发展了学生的问题意识，促进学生思维的深化.

3 反思与感悟

（1）自觉实践是实现做思共生的内在活力

实践活动的开展并非是学生“被实验”，而是学生自主自发地产生实验需求，从而在动手操作的过程中主动进行脑力思考，以实现做思共生.也就是说，学生思想上产生的实践需求才是激发学生深度思考、实现做思共生的内在活力.本课中，学生的每个动手实践都源于思考的需求，他们主动参与到问题的探究中，自主自发地在“做数学”的过程中发现和提出问题，以获得对翻折问题更加深刻的理解和认识.

（2）合作交流是深化做思共生的外在助力

合作交流是做思共生的有效纽带，以活动为平台，促进学生有效地操作、深入地思考、充分地交流，以“学做共同体”身份，不断调整和修正自身的数学思考，从而获得思维上的深入和视野上的敞亮.本课中，学生以学习主体者的角色将操作和思考展示出来，以便实施反思和审视，最终在经历“实践—思考—互动”的循环往复中实现做思共生.

总之，“做思共生”作为一种新型教学理念和教学策略，可以让做与思相互交融、彼此支撑、实现相长，无痕培养和发展学生的数学核心素养.