构建物理模型，突破带电粒子在匀强电场中的偏转问题

陈若辉

【摘要】模型建构是科学思维的重要构成要素，教学中可以根据教学内容合理选择素材，对学生适时渗透模型建构和科学推理能力的培养.带电粒子在匀强电场中的运动，由于不同带电粒子比荷的差异性、粒子入射电场初速度的差异性、平行板间电压和板间距离的差异性，使得带电粒子的运动轨迹成为比较复杂的物理情境，学生在做相应的习题时，对习题中设置的物理情境比较迷惑，往往很难快速找到解决问题的突破口.笔者通过归纳总结，发现四种情境类型：同种带电粒子，运动轨迹不同；同种带电粒子，运动轨迹相同；不同的带电粒子，运动轨迹不同；不同的带电粒子，运动轨迹相同.文章通过建立物理模型，从粒子的运动轨迹方程入手，分析这四种情境类型产生的原因，帮助学生迅速找到解决问题的突破口.

【关键词】带电粒子；匀强电场；物理模型

1 问题的提出

习题教学是物理教育的重要组成部分，通过教师的讲解和学生的实践，可以帮助学生更深入地理解知识的内涵，促进知识的内化，培养学生运用知识解决问题的能力，激发学习兴趣［1］.在运用数学解决物理问题时，必须做好两个转化，即先将物理问题根据物理规律转化成数学问题，再将数学问题按表达式各量的物理意义转化为物理问题［2］.学生在将物理问题转化为数学问题与将数学问题转化为物理问题时，都离不开对题目情境的分析和物理模型的建立，培养学生具备根据题目情境建立物理模型的能力尤为重要.带电粒子在匀强电场中的偏转，虽然从知识上来讲并不困难，无非就是类平抛运动规律的应用，但由于带电粒子比荷的差异性、粒子入射电场初速度的差异性、匀强电场强弱的差异性，就会出现如下运动情况：①同种带电粒子，运动轨迹不同；②同种带电粒子，运动轨迹相同；③不同的带电粒子，运动轨迹不同；④不同的带电粒子，运动轨迹相同.使得带电粒子在匀强电场中的偏转问题似乎繁杂而无规律，很多学生碰到这类的题目不知从何入手.拿到这样的题目，该如何思考才能帮助学生迅速找到解决问题的突破口？下面用4道例题加以说明.

1.1 同种带电粒子，轨迹不同

例1 如图1所示，有一带电粒子贴着A板沿水平方向射入匀强电场，当偏转电压为U1时，粒子沿①轨迹从两板正中间飞出；当偏转电压为U2时，带电粒子沿②轨迹落到B板中间；设粒子两次射入电场的水平速度相同，则两次偏转电压之比为（  ）

（A）U1∶U2=1∶8.  （B）U1∶U2=1∶4.

（C）U1∶U2=1∶2.  （D）U1∶U2=1∶1.

1.2 同种带电粒子，轨迹相同

例2 如图2所示，一质量为m，带电量为q的微粒，从两平行金属板正中央沿与匀强电场垂直方向射入，不计重力，当入射速度为v时，它恰好穿过电场而不碰金属板，现使微粒入射速度变为v2，仍恰好穿过电场，保持其他量不变，可行的方法是（  ）

（A）使粒子带电量变为原来的12.

（B）使两板间的电压减为原来的12.

（C）使两板间距离增为原来的2倍.

（D）使两板间距离增为原来的4倍.

1.3 不同的带电粒子，轨迹不同

例3 如图3所示，a，b两个带正电的粒子，以相同的速度先后垂直于电场线从同一点进入平行板间的匀强电场后，a粒子打在B板的a  ′点，b粒子打在B板的b  ′点，若不计重力，则（  ）

（A）a的电荷量一定大于b的电荷量.

（B）b的质量一定大于a的质量.

（C）a的比荷一定大于b的比荷.

（D）b的比荷一定大于a的比荷.

1.4 不同的带电粒子，轨迹相同

例4 如图4所示，带电量相等，质量不同的带电粒子a和b从带电平行板M的边缘沿平行板的方向进入M，N两极板间的匀强电场中，都恰好能从N板的右边缘飞出，不计重力作用，则（  ）

（A）两粒子进入电场时的动能一定相等.

（B）两粒子进入电场时的初速度的大小一定相等.

（C）两粒子飞出电场时的动能一定相等.

（D）两粒子飞出电场时的速度大小一定相等.

这4道例题均为带电粒子在匀强磁场中的偏转问题，通过对习题物理情境的分析，就会发现4种情况：同种带电粒子，运动轨迹不同；同种带电粒子，运动轨迹相同；不同的带电粒子，运动轨迹不同；不同的带电粒子，运动轨迹相同.那么面对这样看似杂乱的题目情境，能否找到其中所蕴藏的规律性和一般性，从而为解决问题提供突破口呢？通过笔者的分析，可以从粒子的运动轨迹方程出发，寻找解决问题的突破口.

2 带电粒子在匀强电场中运动的一般规律

通过物理习题的讲练，培养学生运用数学工具解决物理问题的能力［2］.带电粒子在匀强电场中的运动，可以建立这样一个物理模型：设带电粒子的电荷量为q，质量为m，初速度为v0，初速度方向平行于极板，两极板间的电压为U，两极板间的距离为d；沿初速度方向建立x轴，沿电场力方向建立y轴；则根据类平抛运动规律有x=v0t，y=12·qUmd·t2，根据这两个关系很容易得到粒子运动的轨迹方程y=qU2mdv20x2，其中x，y可以是运动轨迹上任意一点的坐标值，而影响粒子运动轨迹的是轨迹方程的二次项系数qU2mdv20，其中包含q，U，m，d，v0这些物理量，题目中之所以出现如此看似凌乱的题目情境，也只是这些物理量的不同设置而已.从这个角度入手，可以迅速理解题意，找到解决问题的突破口.

3 问题的分析

带电粒子在匀强电场中会出现以上四种运动情境，可以从轨迹方程上找到原因；

（1）如果q和m一定，而Udv20不同，那么运动轨迹就不相同，就会出现带电粒子相同，轨迹不同的情况，比如例1.

（2）如果q和m一定，而Udv20也相同，那么运动轨迹相同，就会出现带电粒子相同，轨迹也相同的情况，比如例2.

（3）如果qm不同，而qUmdv20也不同，那么运动轨迹也不同，就会出现带电粒子不同，运动轨迹也不同的情况，比如例3.

（4）如果qm不同，而qUmdv20相同，那么运动轨迹就相同，就会出现带电粒子不同，运动轨迹相同的情况，比如例4.

教师引导学生经历这样的分析过程，就可以理解为什么带电粒子在匀强电场中会出现①同种粒子，轨迹不同、②同种粒子，轨迹相同、③不同粒子，轨迹不同、④不同粒子，轨迹相同这样四种物理情境，有效帮助学生根据题目条件分析解决问题.解物理题是根据题目所提供的条件，结合所学的物理知识，寻求未知量的过程，仔细分析习题中的条件是解题的关键［3］.结合题目中的已知条件，可以将具体问题看得更加清晰.比如例1中d和v0是相同的，因此是U的不同导致同种带电粒子，轨迹不同，而问题求解的就是电压U的关系，找到了解决问题的突破口；在例2中，v0减小为原来的12，因此要使Udv20整体不变，只能从U或d入手；在例3中，U，d，v0都是相同的，因此是qm这个整体的不同导致不同带电粒子，轨迹不同，因此可以找到比荷之间的关系；在例4中，q，U，d是相同的，因此要使qUmdv20相同，只能让mv20不变，使关注点转移到动能这个角度，从而抓住解决问题的关键.

4 结论

带电粒子在匀强电场中的运动，由于不同带电粒子比荷的差异性、粒子入射电场出速度的差异性、平行板间电压和板间距离的差异性，使得带电粒子在匀强电场电场中的运动轨迹情境复杂，学生往往不能及时有效找到解决问题的突破口.通过分析对比与归纳总结，对于带电粒子在匀强电场中的偏转问题，可以从轨迹方程角度入手，通过建立带电粒子在匀强电场中做类平抛运动这一物理模型，得到粒子的运动轨迹方程是y=qU2mdv20x2，而影响运动轨迹的是方程的二次项系数qU2mdv20，其中包含q，U，m，d，v0这些物理量，结合题目中的已知条件弄清楚是哪些物理变量导致题目中所出现的运动情境，从而有效理解题意，找到突破口，达到迅速有效地解决相关问题的效果.

参考文献：

［1］苏比耶姆·木再帕尔.高中物理习题教学中培养解题反思能力的实践研究［D］.伊宁：伊犁师范大学，2023.

［2］苏明义.从课程目标的角度谈谈物理习题的讲练［J］.中学物理教学参考，2005（12）：1-3.

［3］陈士林，马德峰.浅析物理习题中的条件［J］.中学物理，2005，23（08）：43-44.

［4］王思齐.中学物理教师习题课教学反思现状调查研究［D］.重庆：西南大学，2023.

［5］田凯莉.中学物理习题教学非参与式观察与分析［D］.重庆：西南大学，2023.