初中数学解题教学中“三角形”相关定理的解题策略研究

于欣

【摘要】本文围绕初中数学解题教学中“三角形”相关定理展开，提出一系列教学策略和相关理论.强调通过组织实践活动和讨论的方式，将理论知识与实际问题相结合，培养学生解决实际问题的能力.论述问题分析在学生解题过程中的关键作用，包括理清问题背景、识别问题类型、构建数学模型等步骤.最后，通过糅合实例展示如何运用这些理论和策略，解决涉及“三角形”相关定理的实际问题，强调培养学生数学思维和解决问题的综合能力.

【关键词】初中数学；三角形；解题教学

1 引言

在初中数学解题教学中，深入探讨“三角形”相关定理是学生建立坚实数学基础的关键.问题分析作为解题的核心步骤，通过理清问题背景、识别问题类型、运用已学知识、构建数学模型、推理和证明等环节，能够培养学生深刻的数学思维和问题解决能力.通过组织实践活动、小组讨论、案例分析等形式，将理论知识与实际情境相结合，能够提升学生对三角形相关定理的理解和应用水平.这一综合的教学策略旨在通过实际问题的解决、合作学习、案例分析等多层次手段，培养学生深入理解和运用三角形相关定理的能力.通过这样的教学方法，学生不仅能在理论层面有所掌握，更能在实际情境中熟练应用，为数学学科的深入学习打下坚实基础.

2 初中数学解题教学中“三角形”相关定理的问题分析

在初中数学解题教学中，问题分析是学生培养解题能力的关键步骤，尤其在涉及“三角形”相关定理的情境下.学生应理清问题的背景，包括角度、边长等基本信息，以建立清晰的问题认知.学生需识别问题类型，明确所属的定理范畴，为选择合适的解题策略奠定基础.在运用已学知识时，学生需要灵活运用相关定理，将问题信息与数学概念有机结合，形成解题思路.构建数学模型是问题分析的关键一环，将实际问题抽象为数学表达式，为后续的计算提供方向.推理和证明的运用则有助于确保所得结论的准确性，培养学生的逻辑推理能力.此外，学生在问题分析时应特别关注可能存在的特殊情况，以深入理解定理的适用范围.通过全面深入的问题分析，学生能够更有针对性地运用三角形相关定理，提高解题效率，同时培养学生的数学思维和问题分析能力［1］.

3 一些初中数学解题中“三角形”相关例题

3.1 三角形的基本性质题型

这类题型通常涉及三角形的内角和、边长关系、等腰三角形和等边三角形的特性等，考查学生对三角形性质的掌握程度［2］.

例1 如图1所示，在直角△ABC中，AB=AC.点D在边BC上，BD=2DC.点E在延长线上，使得DE=AD.求BE和CE的长度关系.

解析

由题可知，△ABC是一个等腰直角三角形，而BD=2DC，利用赋值法，令BC=6，

得BD=4，DC=2.

作垂线AF和EG分别交BC于F，G两点，由等腰直角三角形的性质可以得到AF=3，

而DE=AD，∠CDE=∠ADB，

∠AFD=∠EGD=90°，

故△AFD≌△EGD，

AF=EG=3，FD=DG=GC=1.

已知了这些边的长度，根据勾股定理，

可得BE=BG2+GE2CE=CG2+GE2，

解得BE=52+32=34CE=12+32=10.

最终可以得到BE和CE的长度关系为

BECE=175.

3.2 三角形的相似与全等题型

这类题目要求学生理解和应用三角形全等的判定条件（SSS、SAS、SAS、AAS）和相似的判定条件（AA、SSS）.

例2 如图2所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC上一点，BD⊥AC，求证：△ABC与△BDC相似.

解析

分析已知条件：△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°.

D点在AC上，BD⊥AC.

令△ABC中的∠BAC为α，由于△ABC是直角三角形，因此∠ACB=90°－α.

在△BDC中，由于BD⊥AC，

所以∠BDC=90°.

证明相似性

在△ABC中，已知∠BAC=α，∠ABC=90°，∠ACB=90°－α.在△BDC中，我们知道∠BDC=90°，∠DBC=α（因为它是∠BCA的余角）.因此，∠BAC与∠DBC相等.

应用相似三角形的原则：根据角角角相似（AA）原则，当两个三角形的两对角分别相等时，这两个三角形相似.在此情况下，∠BAC=∠DBC和∠ABC=∠BCD，因此△ABC与△BDC相似.

3.3 三角形的面积和高度题型

此类题目涉及计算三角形的面积、高度，以及应用海伦公式和其他相关公式［3］.

例3 如图3所示，在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm.点D在边AC上，使得AD=3cm.求△ABD的面积.

解析

先使用海伦公式计算△ABC的面积.

首先计算半周长s：s=12+9+152=18cm.

然后，应用海伦公式：

S△ABC=ss－12s－9s－15，代入s，

解得：S△ABC=2916=54cm2.

作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F.

由于共用∠CAB，且∠CEA=∠DFA=90°，故△CEA与△DFA相似，

而AC=3AD，得CE=3DF.

根据三角形面积公式，△ABD和△ABC以AB为底时，△ABC的高是△ABD的高的3倍，

故S△ABD=13S△ABC=18cm2.

4 结语

在初中数学解题教学中，以“三角形”相关定理为核心的问题分析策略显得至关重要.通过理清问题背景、识别问题类型、运用已学知识、构建数学模型以及推理和证明等步骤，学生能够更深入、更灵活地运用相关定理解决各类问题.实践活动和讨论的引入，如实际问题解决活动、小组讨论和数学游戏，不仅培养了学生的团队协作和交流能力，也增加了解题的趣味性.通过这一教学模式，学生在问题分析中能够更全面、深刻地理解三角形相关定理，提高解题效率，同时培养了数学思维和问题分析能力.

参考文献：

［1］罗志山.利用数形结合思想巧思妙解几何问题［J］.数理化解题研究，2023（26）：29-31.

［2］唐丽.基于数学核心素养之“数学抽象”下的初中数学解题教学策略——以“探索三角形全等条件”为例［J］.数理化解题研究，2023（26）：32-34.

［3］刘晓晴.初中二次函数动点问题的解题策略与教学研究［D］.广州：广州大学，2023.