例析利用分类讨论思想解题的步骤和思路

杜菊梅

【摘要】在初中阶段的数学解题过程中，分类讨论思想是指根据题设中的多种可能和情况，将研究对象区分为不同种类，以此简化计算的一种数学思想.利用分类讨论思想可以快速解决数学问题.

【关键词】分类讨论；初中数学；解题技巧

初中阶段，如果被讨论的问题包含多种可能和预设情况，不能一概地进行讨论时，我们必须使用分类讨论思想将所有可能出现的情况全部分开进行讨论，并最后汇总成统一的答案和结论.分类讨论思想囊括了整个数学学习阶段和过程，它既是一种重要的指导思想，也是一种高效的解题策略.在解决初中函数、方程、不等式问题时，合理恰当地使用分类讨论思想可以让解题过程清晰、明了、简单，避免在解题过程中出现思路不清晰、漏解、错解等失分现象.基于此，笔者以自身经验为例讨论应用分类讨论思想解题时的步骤和思路，希望能给学生带来启示.

初中阶段使用分类讨论思想解决数学问题大致可以分为以下几步：（1）确定讨论对象、划分讨论范围；（2）明确分类依据和标准；（3）按照分类的标准进行分类并以各个标准进行差异化讨论，注意不要重复划分范围，不漏解、不错解；（4）将各个类别的结果汇总，得出最终结论.

按照上述思路和步骤，笔者以具体的例题分析分类讨论思想在初中数学解题过程中的具体应用思路和步骤.

例1 已知二次函数y=mx2+2mx+3，其中m≠0.

（1）若二次函数的图象经过（1，0），求二次函数的表达式；

（2）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1≤x2≤a+2时，总有y1>y2，求a的取值范围.

分析

本题第（1）小问比较简单，根据二次函数的性质，直接把已知点的坐标带入函数解析式即可求出m的值，进而求出二次函数的表达式.本题难点在于第（2）小问中需要根据二次函数的增减性分类讨论，存在m<0和m>0两种情况，并以此将函数分为开口方向向上和开口方向向下两种情况，进而合理地讨论a的取值范围.

解析

根据函数的开口方向，我们将m的取值范围以0作为分界点.

①当m>0时，函数开口向上，对称轴为x=－1，函数图象如图1.

由图象可知，当x≤－1时，y随x的增大而减小；当x>－1时，y随x的增大而增大.

因为当a≤x1≤x2≤a+2时，总有y1>y2，此时a+2≤－1，

所以a≤－3.

②当m<0时，函数开口向下，对称轴为x=－1，函数图象如图2.

由图象可知，当x≤－1时，y随x的增大而增大；当x>－1时，y随x的增大而减小.

因为当a≤x1≤x2≤a+2时，总有y1>y2，此时a≥－1.

综上所述，当m>0时a≤－3；当m<0时，a≥－1.

本题主要考查的是分类讨论思想在二次函数中的应用.学会通过合理选择含参变量的取值范围，确认二次函数的增减性，从而将较为复杂的问题简单化.分类讨论思想除了在函数中的应用较为广泛，在几何、绝对值当中的使用频次也非常高.下面这一道例题就是分类讨论思想在几何中的综合应用.

例2 如图3，分别以长方形OABC的边OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知OA=10，AB=6，点E在线段OC上，以直线AE为轴，把△OAE翻折，点O的对应点D恰好落在线段BC上.

（1）分别求点E和点D的坐标；

（2）若直线AD与x轴相交于点F，P是x轴负半轴上的一动点，是否存在△APF为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

分析

（1）根据折叠这一信息可以得出：AD=OA=10，OE=DE，再由勾股定理得BD的长，再根据矩形的性质可以得出点D的坐标.设OE=x，则在直角三角形CDE中，可得x的值，得点E的坐标.（2）根据等腰三角形的性质可以将点P分为三种情况，以此分类讨论可得点P的坐标.

解析

根据等腰三角形的性质，

①当AP=AF时，如图5中点P1的位置，此时，AP1=AF，我们只需求出点F的坐标即可.

设直线AD的解析式为：y=kx+b，

将A（0，10）和点D（6，2）代入得b=106k+b=2，

解之得k=－43b=10，

故直线AD的解析式为：y=－43x+10.

当y=0时，x=152，故点F的坐标为（152，0），

故点P1的坐标为（－152，0）.

②当AF=FP时，如图2中点P2的位置，

此时，AF2=FP2，△AFP2是等腰三角形，

由勾股定理得：AF=102+（152）2=252，

所以OP2=252－152=5，

所以P2（－5，0）.

③当AP3=FP3时，如图6，设P3（x，0），

所以x2+102=（x－152）2，

解之得x=－3512，

所以P（－3512，0）.

综上，点P的坐标为（－152，0）或（－5，0）或（－3512，0）.

结语

总的来说，分类讨论思想作为初中数学的重点指导思想，学生需要重点掌握.在日常的学习和解题过程中，要养成分类讨论的思维习惯，学会按照分类讨论思想应用的步骤将大问题分为若干个小问题，灵活求解，准确求解.