从数列视角切入 妙解求值问题

李伊璐 高明

项目信息：西华师范大学纵向科研项目“基于核心素养下的南充市高中课堂教学研究——以数学学科为例”，项目编号为468020.

摘要：数学试题以发展能力为立意，以灵活运用为导向.数列经常与函数和其他版块的知识交汇融合.本文中通过对一些求函数最值、变量取值范围、代数式求值问题，根据a+b=c，ab=c的结构特征和代数式的递推关系，从数列视角切入，将原问题转化为数列相关问题，利用数列的特殊性，分析题设结构，构造数列模型，以达到突破解题常规、深化解题思维、开拓解题方法的目的.

关键词：数列视角；求值问题

1 构造等差数列妙解最值与取值范围问题

在解决结构形如“a+b=c”型的取值范围或最值问题时，从数列视角切入，引入公差d，找到公差d和所求参数之间的关系，利用其性质，可高效求解出相应问题.

例1

（2022年全国高中数学联赛重庆市初赛试题）

不等式x+y≤k5x+y，对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为.

分析与解答：本题涉及不等式问题，将条件变形为k≥x+y5x+y=x5x+y+y5x+y.

令x5x+y+y5x+y=2t，具有“a+b=c”结构形式.

视x5x+y，t，y5x+y为等差数列，引入公差d，令

x5x+y=t-d，①

y5x+y=t+d，②

且满足|d|≤t.

①2×5+②2，得

1=5（t-d）2+（t+d）2=6d-23t2+103t2.

易得103t2≤1，故t≤3010.

所以k≥x5x+y+y5x+ymax=（2t）max=305.

因此，实数k的最小值为305.

例2

（2020年全国高中数学联赛四川赛区预赛）

已知正实数x，y满足1x+3y+12x+y=1，则x+y的最小值为.

分析与解答：本题具有“a+b=c”结构形式，视1x+3y，12，12x+y为等差数列，引入公差d.

令1x+3y=12-d，12x+y=12+d，|d|≤12，则

x+3y=21-2d，2x+y=21+2d.

解得x=154-16d1-4d2，y=152+12d1-4d2.

于是x+y=156-4d1-4d2.

令6-4d1-4d2=t，将其转化为关于d的一元二次方程，又|d|≤12，利用判别式Δ≥0，可得t≥3+22.

故x+y=156-4d1-4d2≥3+225.

因此，x+y的最小值为3+225.

评注：求解不等式最值问题、函数值域问题，可以用换元、分离常数等方法，但易忽略不等式成立的条件.题设中具有a+b=c的形式，以数列的视角切入，深化数列和函数、不等式的关系，使得求解函数最值、值域问题更加高效和直观.

2 构造等比数列妙解多元最值与范围问题

在解决条件中具有形如“ab=c（c为常数）”型的多元变量的取值范围或最值问题时，通过构建数列模型，可将问题转化为公比（单元）的函数形式，求解出最值.

例3

（2022年全国高中数学联赛江苏赛区苏州市选拔赛试题）

已知正实数a，b，c满足2（a+b）=ab，且a+b+c=abc，则c的最大值为.

分析与解答：本题抓住条件2（a+b）=ab，可变形为（a-2）（b-2）=4，具有“ab=c（c为常数）”型特征.

构造等比数列模型：a-2=2q，b-2=2q（q>0）.

将c转化为q的函数形式，由a+b+c=abc，得4+2q+2q+c=（2+2q）2+2qc，

可得

c=4+2q+2q4q+4q+7=2q2+4q+24q2+7q+4

=124q2+8q+44q2+7q+4=121+q4q2+7q+4

=121+17+4q+1q≤121+17+8=815，

当且仅当q=1时，等号成立.

因此，c的最大值为815.

例4  （2021年上海市高三数学竞赛试题）已知正实数a，b满足a（a+b）=27，求a2b的最大值.

分析与解答：此题可采用不等式放缩的方式进行解答，但难度大，不易找到切入点.若以a（a+b）=27具有“ab=c（c为常数）”型特征为突破口，问题则比较容易求解.

构造等比数列模型：

a=33q，a+b=33q（q>0）.

解得b=33q-1q，

则

a2b=27q2·33q-1q=8131q-1q3.

令函数f（x）=x-x3（x>0），则f′（x）=1-3x2，

易知f（x）在x=33时取得最大值，因此a2b=8131q-1q3≤81333-333=54，

此时q=3.

故a2b的最大值为54.

评注：例3、例4对2（a+b）=ab，a（a+b）=27变形，构造符合等比数列模型的形式，从数列视角切入，引入公比q，用含q的表达式来表示题设所求，再利用函数、不等式的性质等求解出最值问题.

3 构造数列递推关系妙解代数式求值问题

在一些代数式求值问题的解题过程中，将其转化为一般形式，使其具有“数列”结构，利用数列的性质求解，进而将问题化繁为简，化难为易，以达到解决问题的目的.

例5

（2021年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题）设x1，x2，x3是方程x3-x+1=0的三个根，则x51+x52+x53=.

分析与解答：本题可以将问题一般化，构造数列递推式来解答.

记an=xn1+xn2+xn3.

利用方程根与系数的关系，可得x1+x2+x3=0，

x1x2+x2x3+x3x1=-1，x1x2x3=-1.

易得a1=x1+x2+x3=0，a2=x21+x22+x23=2，

a3=x31+x32+x33=3x1x2x3=-3.下求a5的值.

利用an的定义及关系式，可得an+3=an+1-an.

由a1=0，a2=2，a3=-3，

得

a4=a2-a1=2，a5=a3-a2=-5.

因此x51+x52+x53=a=-5.

例6

（2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试题）

设x，y为两个不同的实数，且x2=2x+1，y2=2y+1，则x6+y6的值为.

分析与解答：此题可以将问题一般化，构造数列递推式来解答.

记an=xn+yn.

易知a1=x+y=2，a2=x2+y2=6，则xy=-1.

利用an的定义及关系式，可得

an+1=xn+1+yn+1=（x+y）（xn+yn）-（xyn+yxn）

=（x+y）an-xyan-1.

递推得an+2=5an+2an-1.由a1=2，a2=6，

可得a3=14，a4=34，a5=82，a6=198.

评注：求解此类问题，利用方程的根与系数的关系求出变量的值，计算量繁杂.因此可建立数列模型，把要求的代数式x51+x52+x53，x6+y6与数列中具体的某一项对等起来，将问题一般化，建立数列模型，这样可以简化运算步骤，减少运算量.

解决数列与其他知识融合的问题，是“打草惊蛇”的过程，把“草”看作是数列，那么“蛇”就是不等式、函数等知识，知识点之间相互独立又彼此联系.抓住结构特征，从数列视角切入，以数列模型为牵引，建立同其他知识点的联系，能够提升学生的解题能力，减轻学生学习压力，有利于构建全面的知识体系，增强解题思维的完整性，从而进一步提升学生的核心素养.