利用几何法妙解最值问题

张源

［摘 要］文章结合例题，探讨几何法在最值问题中的运用，旨在拓宽学生的解题路径，培养学生思维的灵活性和深刻性。

［关键词］几何法；最值问题；截距；斜率

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）11-0034-03

最值问题的解法颇多，如配方法、图象法、函数单调性法、基本不等式法等，而几何法是一种不可忽视的重要方法。深挖目标代数式的几何意义，利用几何法求最值，往往能取得“四两拨千斤”的效果。

一、截距型问题

形如 [t=ax+by]的最值问题，通常可转化为动直线截距的最值问题，最常见的方法是把原问题转化为动直线与定圆有交点的问题。

［例1］若实数[x]，[y]满足[x2+y2-4x-2y-4=0]，那么[x-y]的最大值为           。

分析：整理出圆的方程，设[x-y=k]，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可求解。

解：由[x2+y2-4x-2y-4=0]可得[（x-2）2+（y-1）2=9]，半径为3。设[x-y=k]，则圆心到直线[x-y=k]的距离[d=2-1-k2≤3]，解得[1-32≤k≤1+32]，故[x-y]的最大值为[1+32]。

点评：本题还有其他解法，如令[x-y=k]，利用判别式法求解。还可以通过整理原方程得[（x-2）2+（y-1）2=9]，利用三角换元法将原问题转化为求三角函数最值的问题，但本解法最直观。

变式：已知实数[x]，[y]满足方程[x2+y2-4x-2y+4=0]，则[x+y]的最大值为           。

解析：因为实数[x]，[y]满足方程[x2+y2-4x-2y+4=0]，所以[（x-2）2+（y-1）2=1]，得圆心为[（2，1）]，半径为1。设[x+y=a]，则直线[x+y=a]与圆有公共点，所以[2+1-a2≤1]，解得[3-2≤a≤3+2]，故[x+y]的最大值为[3+2]。

二、斜率型问题

形如 [u=y-bx-a]的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，通过数形结合求解。

［例2］已知实数[x]，[y]满足[（x-1）2+（y-2）2=2]，则[3x+2y+74x+2y+8]的最小值为              。

分析：根据斜率公式理解[y+2x+1]，利用直线与圆的位置关系求[y+2x+1]的取值范围，进而求[3x+2y+74x+2y+8=11+13+2×y+2x+1]的最小值。

解：[（x-1）2+（y-2）2=2]表示圆心为（1，2），半径为[2]的圆，注意到[1-2≤x≤1+2]，故[2-2≤x+1≤2+2]，即[x+1≠0]，则[y+2x+1=y-（-2）x-（-1）]表示圆[（x-1）2+（y-2）2=2]上一点[（x，y）]与定点（-1，-2）连线的斜率，令[y+2x+1=k]，则[y+2=k（x+1）]，即[kx-y+（k-2）=0]，则直线[kx-y+（k-2）=0]与圆[（x-1）2+（y-2）2=2]有公共点，则[d=k-2+（k-2）k2+1=2k-4k2+1≤2]，整理得[k2-8k+7≤0]，解得[1≤k≤7]，即[1≤y+2x+1≤7]，注意到[x+1≠0]，[3+2×y+2x+1≠0]，故[3x+2y+74x+2y+8=3（x+1）+2（y+2）4（x+1）+2（y+2）=3+2×y+2x+11+3+2×y+2x+1=11+13+2×y+2x+1]，所以求[3x+2y+74x+2y+8]的最小值转化为求[y+2x+1]的最小值。因为[y+2x+1]的最小值为1，所以[3x+2y+74x+2y+8]的最小值为[11+13+2×1=56]。

点评：将已知式子[3x+2y+74x+2y+8]变形为[11+13+2×y+2x+1]，即将所需解决的问题转化为求[y+2x+1]的最小值，这一转化是解答本题的关键。

变式：已知[a>0]，[b>0]，且[a+b2=1]，则[ab-2]的最小值为            。

解析：因为[a>0]，[b>0]，且[a+b2=1]，所以令[a=sin2θ]，[b=cosθ]，其中[θ∈0，π2 ]。设[P（cosθ，sinθ）]，则动点[P]在单位圆（第一象限弧[MN]）上，[A（2，0）]，如图1所示。[ab-2=sinθcosθ-2]表示[P]、[A]两点连线的斜率，由图可知，当连线[PA]与[MN]相切时，斜率最小，此时[PA]的倾斜角为[5π6]，其斜率为[tan5π6=-33]，即[ab-2]的最小值为[-33]。

三、距离型问题

（一）两点之间的距离

形如[m=（x-a）2+（y-b）2]的最值问题，通常可转化为已知曲线上的点[（x，y）]到点[（a，b）] 的距离平方的最值问题，或位于两条曲线上的两个动点距离的平方的最值问题。

［例3］已知实数[a]，[b]，[c]，[d]满足[a2-ab+4=0]，[c2+d2=1]，则当[（a-c）2+（b-d）2]取得最小值时，[abcd=]          。

分析：将[（a-c）2+（b-d）2]转化为[（a，b）]与[（c，d）]两点间距离的平方，进而转化为[（a，b）]与圆心（0，0）的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可。

解：可将[（a-c）2+（b-d）2]转化为[（a，b）]与（c，d）两点间距离的平方，由[a2-ab+4=0]，得[b=a+4a]，而[c2+d2=1]表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆，（c，d）为圆上一点（如图2），则（a，b）与圆心（0，0）的距离为[a2+b2=a2+a+4a2=2a2+16a2+8≥22a2·16a2+8=82+8]，当且仅当[2a2=16a2]，即[a=±84]时等号成立，此时（a，b）与圆心（0，0）的距离最小，即（a，b）与（c，d）两点间距离的平方最小，即[（a-c）2+（b-d）2]取得最小值。当[a=84]时，[ab=a2+4=4+22]，因为[dc=ba=aba2=4+2222=2+1]，即[d=（2+1）c]，所以[cd=cdc2+d2=dc1+dc2=2+11+（2+1）2=2+14+22]，所以[abcd=（4+22）×2+14+22=2+1]。同理，根据对称性可得，当[a=-84]时，[ab=a2+4=4+22]，[cd=2+14+22]，即[abcd=2+1]。

点评：本题的解题关键是能够将问题转化为求圆[c2+d2=1]上的点到[b=a+4a]上的点的距离的最小值。

变式：若[a>0]，[b>0]，则[（a-2b）2+（lna-b）2+b]的最小值是               。

解：记[T=（a-2b）2+（lna-b）2+b]，[P（a，lna）]，[Q（2b，b）]，[H（2b，0）]，[F（0，1）]，G（[2b]，-1），则[T=PQ+QH=PQ+QG-1=PQ+QF-1]，即原问题转化为求抛物线[x2=4y]上点[Q]到定点[F（0，1）]与[y=lnx]上点[P]（如图3）的距离之和的最小值，[PQ+QF-1≥PF-1]，当且仅当[P]、[Q]、[F]共线时等号成立。令[f（a）=PF2=a2+（lna-1）2] [（a>0）]，则  [f（a）=2a+2（lna-1）a=2a（a2+lna-1）]，由于[y=a2+lna-1]单调递增，则[a=1]是[f（a）]的唯一零点，即有[f（a）]在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则[f（a）≥f（1）=2]，即[PF]的最小值为[2]，则[T≥PF-1≥2-1]，所以原式的最小值为[2]-1。

（二）点到直线之间的距离

当目标函数带有绝对值符号，且绝对值内的表达式是关于两个变量的一次型代数式时，可以尝试将它“改装”成点到直线之间的距离公式的形式，然后求出最值。

［例4］已知实数[x1]，[x2]，[y1]，[y2]满足[x21+y21=4]，[x22+y22=9]，[x1x2+y1y2=0]，则[x1+y1-4+x2+y2-9]的最大值是             。

分析：利用数形结合法，将所求问题转化为[A]、[B]两点到直线[x+y-4=0]和[x+y-9=0]的距离和的[2]倍，再利用三角函数求出其最大值即可。

解：由[x21+y21=4]，[x22+y22=9]可知，点[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]分别在圆[x2+y2=4]和圆[x2+y2=9]上，如图4所示，作直线[l：y=-x]，过[B]作[BD⊥l]于[D]，过[A]作[AE⊥l]于[E]，而[x1+y1-4+x2+y2-9=2x1+y1-42+x2+y2-92]，其中[x1+y1-42]表示点[A]到直线[x+y-4=0]的距离[d1]，[x2+y2-92]表示点[B]到直线[x+y-9=0]的距离[d2]，因为直线[y=-x]与直线[x+y-4=0]、直线[x+y-9=0]平行，直线[y=-x]与直线[x+y-4=0]的距离为[d3=0-412+12=22]，直线[y=-x]与直线[x+y-9=0]的距离为[d4=0-912+12=922]，要使[x1+y1-4+x2+y2-9]取最大值，则点[A、B]需在第三象限，所以[d1=AE+22]，[d2=BD+922]，由[x1x2+y1y2=0]得[OA⊥OB]，设[∠DOB=θ]，[θ∈0 ，π2]，因为[OA⊥OB]，所以[∠AOE=π2-θ]，从而[BD=BO·sinθ=3sinθ]，[AE=AO·sinπ2-θ=2cosθ]，故[BD+AE=3sinθ+2cosθ=13313sinθ+213cosθ=13sin（θ+φ）]，其中[φ∈0 ，π2]，[tanφ=23]，故当[θ=π2-φ]时，[BD+AE]取最大值[13]，从而[x1+y1-4+x2+y2-9=2（d1+d2）=2AE+BD+1322≤26+13]，即[x1+y1-4+x2+y2-9] 的最大值为[26+13]。

点评：本题的解答关键是将代数问题转化为几何问题，将所求代数式的值表示成两个点到直线的距离之和的[2]倍，数形结合，再借助三角函数的性质求出最值。

变式：已知实数[x1]，[x2]，[y1]，[y2]满足[x21+y21=3]，[x22+y22=3]，[x1x2+y1y2=32]，则[3x1+4y1-10+3x2+4y2-10]的最大值为             。

解：设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，则[OA=（x1，y1）]，[OB=（x2，y2）]。因为实数[x1]，[x2]，[y1]，[y2]满足[x21+y21=3]，[x22+y22=3]，[x1x2+y1y2=32]，所以[A、B]两点在圆[x2+y2=3]上，且[OA·OB=3×3×cos∠AOB]。又[OA·OB=x1x2+y1y2=32]，所以[cos∠AOB=12]，所以[∠AOB=60°]，所以[△AOB]为等边三角形，[AB=3]。点[A]到直线[3x+4y-10=0]的距离[d1=3x1+4y1-105]，点[B]到直线[3x+4y-10=0]的距离[d2=3x2+4y2-105]，所以[3x1+4y1-10+3x2+4y2-10=5（d1+d2）]。要使[5（d1+d2）]最大，只需点[A]、[B]在第三象限。设直线[3x+4y-10=0]为直线[l]，过[A]作[AD⊥l]于[D]，过[B]作[BE⊥l]于[E]，取[AB]的中点[F]，过[F]作[FG⊥l]于[G]（如图5）。由梯形的中位线性质可知：[AD+BE=2FG]，即[d1+d2=2FG]，所以只需[F]到直线[l]的距离最大，即直线[AB]与直线[3x+4y-10=0]平行。设直线[AB的方程为3x+4y+t=0（t>0）]，由圆心到直线[AB]的距离为[d=t5=t5]，可得[d2+322=3]，即[t52+322=3]，解得[t=152]，所以两平行线间的距离为[152-（-10）32+42=72]，所以[d1+d2=3x1+4y1-105+3x2+4y2-105≤72+72=7]，所以[3x1+4y1-10+3x2+4y2-10=5（d1+d2）≤5×7=35]。

综上所述，当遇到多元最值问题时，我们要善于挖掘题目中隐含的几何意义，把原最值问题转化为解析几何最值问题，让数形结合思想“大放异彩”。

（责任编辑 黄桂坚）