玩转体积测量之项目式学习教学模式探究

蒋鼎年

摘要：体积测量项目式学习之前，学生已经学习过“密度”“浮力”等计算体积的物理知识，具备完成体积测量项目学习任务的知识储备.通过计算及估算，引导学生发现祖暅原理，同时在此基础上，引导学生证明球体体积公式.学生在学习过程中，体验数学知识间环环相扣的逻辑关系，感受数学美和中华民族深厚的文化内涵，培养数学建模能力、逻辑推理能力和爱国情怀.

关键词：人体体积；祖暅原理；球体体积

1 学习内容分析

“体积的测量”建议作为人教版（2013年）九年级上册第二十四章“圆”的内容完成后的数学拓展课.本节课教学内容涉及到八年级物理中的“密度”“浮力”和八年级数学的“勾股定理”等基本知识，在此基础上螺旋上升到“祖暅原理”的发现和球体体积公式的证明，是一节多学科融合的数学项目式教学课，是以体积为基础玩转数学的深化和拓展.

2 教学目标分析

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，结合九年级学生的认知心理特征，本节课教学目标定为：

（1）学会调动多学科知识储备，经历多种方法探究自己身体体积的过程，感受学科知识间的融合应用，掌握利用所学知识解决身边问题的能力.

（2）通过小组合作，从估算自己身体体积的过程，探究发现并掌握祖暅原理，体会知识间的逻辑联系，感受中华民族深厚的文化内涵.

（3）通过小组合作探究或教师引导，在祖暅原理的基础上，经历球体体积的证明过程，感受数学的严密性和关联性，在此探究过程中学会勤于思考、乐于合作、善于发现、善于总结等数学品质.

3 教学过程设计

3.1 问题引入

用尽可能多的方式测量自己身体的体积（包括估算），并在小组内交流，谈谈自己的感受.

设计意图：通过课前设置的研学问题，引导学生调动自己的知识储备，寻找测量自己身体体积的方式方法，体验多学科知识融合运用的过程.不同层次的学生都会有自己的感受和发现，入手低，平台广，有充分的发挥空间.

3.2 测量自己身体体积的方法展示

方法1：结合物理知识，利用电子秤得到自身的质量为m kg，通过查阅资料得知人体的平均密度ρ=1.02 g/cm3，根据V=mρ，可准确计算出人体体积.

方法2：利用“当物体浸没或悬浮在液体中时，V排=V物”的物理知识，将人体浸没在容器中，并计算排出的水的体积，即可得到人体的体积.

方法3：以人体肚脐眼位置的横截面面积S为参照基准（如图1），乘人体身高h，以此估算人体体积V.

设计意图：以小组为代表，展示测量自己身体体积的多种方式方法，让学生感受同学之间的智慧以及学科知识的融合应用.

3.3 谈感受

某学生：我在小组成员的帮助下，利用方法1，计算到我的体积是54 dm2；利用方法2，计算到我的体积是50 dm2；而利用方法3的操作方式，测量了我肚脐眼位置的腰围和站立时相应高度的手臂的臂围，将腰围和臂围类比为圆的周长可计算出横截面面积，乘我的身高算出来的体积56 dm2.从中我发现与方法1的结果相比，方法2的计算结果误差较大，反思的原因是方法2的操作过程中，溢出来的水难以完全收集，导致误差较大；方法3的估算结果误差较小，说明此方法具有一定的科学性，有研究价值.

方法1和方法2的优点是能准确计算出人体体积.缺点是：方法1需要通过查阅资料得到人体平均密度数据，才能计算出人体体积；而方法2需要用到容器、水、刻度尺等多种辅助工具.方法3的优点是计算方便，缺点是存在一定误差.

设计意图：总结归纳，感受方法3的科学性，为下一个探究任务作铺垫.

3.4 观察与思考

如图2，两摞硬币都是40个规格一样的一元硬币，左边为不规则几何体，右边为圆柱体，二者的高度一样，每一个位置的横截面积一样，其体积也一样.

发现：两个同高的几何体，如在等高处的截面积相等，则二者体积相等［1］.

引申出祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等［2］.（如图3.）

设计意图：通过方法3的估算和硬币摆放的设计，引导学生探究发现祖暅原理，并介绍祖暅原理的历史背景，让学生感受中华民族深厚的文化内涵［3］，便于理解和接受“祖暅原理”，为下一个知识设计作铺垫.

3.5 总结与思考

已知V圆锥=πr2h3，V圆柱=πr2h.下面我们推导半径为R的球体的体积公式.

如图4所示，若圆柱半径为R，高度为R，根据与圆柱等底同高的圆锥（倒立放置）和半球同时在任意高度h位置横截面的关系，容易证明“球体的横截面面积+圆锥横截面面积=圆柱的横截面面积”［4］.

证明：

∵S球体横截面=πr2=π（R2－h2）=πR2－πh2，S圆锥横截面=πh2，S圆柱横截面=πR2，

∴S球体横截面+S圆锥横截面=S圆柱横截面.

∴S圆环横截面=S球体横截面.

根据祖暅原理，得

V半球=V圆柱-V圆锥=πR3－πR33=2πR33.

∴V球=2V半球=4πR33.

体积测量之项目式学习分成三个教学模块，模块一是测量学生自己的身体体积，通过小组合作探究和展示，引领学生经历多种测量方法的对比和验证，使学生感受项目式学习中，跨学科融合的特点，感悟不规则的图形计算可利用可视化的数学方法去精确计算.模块二是通过多个硬币的不同叠放方式，利用数学模型形象直观地引出“祖暅定理”，有效突破教学难点.模块三是通过圆锥和圆柱的体积公式，利用前面的教学知识成功推导出球体体积公式.整个教学过程经历了探究—猜想—发现—验证的过程，是对体积测量之项目式教学的升华.

设计意图：经历利用祖暅原理探究球体体积公式的过程，在体积测量教学中培养数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，感受数学美［5］.

4 教学反思

本节课以知识发展为基础，以测量自己身体体积为支点，利用小组合作探究出祖暅原理，在此基础上引导学生证明球体体积公式.将多学科知识融合应用，让简单问题螺旋上升，使得复杂的球体体积公式能在玩数学的过程中，层层递进而导出，过渡自然，环环紧扣，逻辑性强，学生接受良好.

本节课，以玩转数学之项目式教学形式展开，时间是最大的问题.要在课前布置研学问题，在课堂上引导学生进行小组展示和探究，最困难的是时间的把控.还有一点遗憾是圆锥的体积公式直接给出来了，若时间充足的话，先证明圆锥体积公式再升华到证明球体体积公式，逻辑性会更强.

数学分析贯穿整节课堂，逻辑性强，水平中下的学生会感到吃力，所以利用几何画板软件进行建模演示，希望利用数学模型尽量化解难度.

参考文献：

［1］张伟.祖暅原理的由来及证明［J］.重庆教育学院学报，2010（3）：113-115.

［2］袁志玲，陆书环.基于HPM的探究式数学教学设计——从祖暅原理与球体积谈起［J］.中学数学教学参考，2007（21）：57-60.

［3］张楚廷.数学文化［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［4］柳笛.高中“数学史选讲”的教学案例设计——古代数学瑰宝之求体积原理［J］.中学数学教学参考（上半月高中），2010（3）：16-18.

［5］卢军萍.巧用“问题串”活化高中数学课堂教学［J］.数学教学通讯，2017（36）：59-61.