主题统领创情境，体系构建释全景

姜文霞

【摘要】基于大概念的整体性大单元教学设计旨在创设真实情境，通过问题链设计引导学生思维发展，借助知识关联力求体系构建，在问题解决中激发兴趣、创新思维，发展学生的核心素养.

【关键词】情境教学；初中数学；课堂教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）指出，数学课程内容是实现课程目标的重要载体，课程内容组织方面重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径.基于大概念的整体性大单元教学设计指向对教材内容的整合优化，通过系统整合诠释数学全景，通过主题统领创设真实情境，指向核心素养的落地达成.近期，笔者有幸观摩了所在地区的优质课评选活动，其中二次函数单元总结课给人留下了深刻印象，本文将对比展示两节课例的部分教学设计和一些个人思考，与同行交流.

1 案例呈现

案例1 由形观变化，由数得精确

课前准备：边长为16cm的正方形硬纸片2张、剪刀.

将准备好的正方形硬纸片（如图1）折成一个长方体盒子.如图2，在正方形硬纸片的四角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），将剩余部分沿虚线折起，可折成如图3的长方体盒子.

问题1：若剪去的小正方形的边长为2cm，那么长方体盒子的底面积为多少？

问题2：若剪去的小正方形的边长为xcm，那么长方体盒子的底面积如何表示？设底面积为ycm2，y是x的函数吗？如果是，请指出是什么类型的函数；如果不是，请说明理由.

追问1：若2≤x≤4，随着x的变化，变量y是如何变化的？你能画图说明吗？

追问2：你还能说出该函数的哪些性质？请小组内互相说一说.

问题3：设侧面积为zcm2，请写出z与x之间的函数表达式，并思考：侧面积是否存在最大值，如果存在，当x取何值时侧面积最大，并求出该最大值；若不存在，请说明理由.

追问1：画出上述函数的草图，罗列出此函数的几条性质.

追问2：当x取何值时，该长方体的侧面积等于32cm2呢？你是如何得到的？

问题4：能否剪掉边长为整数的小正方形，使得折成的无盖长方体盒子的侧面积不小于32cm2？

问题5：如何裁剪才能使得无盖长方体盒子的体积不小于64cm3？关于这个问题，你认为该如何研究？

案例2 养鸡场中的数学

活动1 生活情境现数学

小明的父亲计划用长80m的栅栏，借助长50m的房屋外墙围成一个矩形鸡舍.

问题1：小明父亲想把50m的房屋外墙全部利用上作为鸡舍的一边，如图4，那这个矩形鸡舍的长和宽分别是多少？面积是多少？

追问1：为保证鸡的成长及收益，计划平均每平方米鸡的数量为8只，若打算在鸡舍中养6300只鸡，小明父亲的设计可以满足条件吗？

活动2 数学知识助生活

追问2：为保证鸡的成长及收益，计划平均每平方米鸡的数量为8只，若打算在鸡舍中养6300只鸡，你可以用已学知识给出设计方案吗？

追问3：此实际问题中抽象出的数学研究对象“鸡舍的一边长”与“鸡舍的面积”存在函数关系吗？请说明.

追问4：请表示出“鸡舍垂直于墙的边长x”与“鸡舍面积y”之间的函数关系.

追问5：还有其他表示方式吗？

问题2：小明的父亲好奇地问道：“可否设计出面积更大的矩形？”矩形的最大面积为多少？此时与外墙平行、与外墙垂直的两条边长分别为多少呢？

追问1：请结合图象解释“矩形鸡舍面积为787.5m2时，为何可以求得两个垂直于墙面的边长”.

追问2：养6300只鸡，若平均每平方米鸡的数量不超过8只，除了上述方案，还有其他方案吗？

2 案例评析

2.1 创设情境，学习主题统领

函数是研究现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的模型.三个案例都从实际生活出发，抽象出数学问题，构建二次函数模型，将二次函数性质的复习回顾有机融合到精心设计的情境中.比如，案例1通过研究长方体的侧面积和底面积在不同情况下的最值，自然复习了二次函数的开口方向、顶点坐标、对称性、增减性、最值等知识；案例2设计精心巧妙，从常量到变量，从鸡舍的面积到鸡的数量，将图象变换、二次函数最优化问题和建立平面直角坐标系利用待定系数法求抛物线的表达式等问题全然置于养鸡场主题背景下；

2.2 问题引导，注重思维发展

问题是知识的源泉，是智慧的摇篮.问题的价值在于引导，问题链的价值在于内在联系.因此，问题之间应该是存在数学知识内部联系的，而不是生硬的，学生知识的获取过程则是由问题引发思考、自然而然地生长建构的过程.比如，案例2中的问题1通过设置5个追问问题，引导学生感受从常量到变量的变化，其中追问2引导学生自然而然想到设未知量，“鸡舍垂直于墙的边长x”与“鸡舍面积y”之间的函数关系是自然得到的，数学抽象能力和模型观念在问题解决中得到提升和发展.

3 教学思考

《课标（2022年版）》强调数学课程要培养学生的核心素养，引导学生会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界.课标明确指出学生要借助现实情境了解代数式；根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；结合具体问题，了解不等式的意义；探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；结合具体情境体会一次函数的意义；通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；结合具体情境体会反比例函数的意义，能用反比例函数解决简单实际问题；等等.作为二次函数的单元总结课，教学过程中应让学生亲身经历从日常生活、现实世界到数学世界的过程，将实际问题抽象成数学模型的过程.通过大情境主题的设定，引导学生感受函数的应用性，激发数学学习兴趣，提升问题解决能力.

参考文献：

［1］姜伟.整体构建：单元起始课的实践与思考——以“相等关系和不等关系”为例［J］.中学数学教学参考，2023（07）：24-27.

［2］王保瑾.核心素养视域下的二次函数单元教学研究［D］.石河子：石河子大学，2023.

［3］汤展潘.思维导图在二次函数复习教学中的应用［J］.数理化解题研究，2023，（17）：38-40.