问题引领，整体建构，挖掘本质

陆青

【摘要】“问题是数学的心脏”，问题也是将零碎知识联系在一起的桥梁与纽带.本文围绕“问题引领，整体建构，挖掘本质”这一主题，就苏教版九年级上册第五章“二次函数”的起始课为例，谈一些认识和思考.

【关键词】初中数学；课堂教学；二次函数

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在教学建议中提出，要“整体把握教学内容之间的关联”“注重教学内容的结构化”“强化对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构”.也就是说在教学过程中应避免碎片化教学，要注重教学内容的结构化，在对新的章节开展教学时可以通过适当的方式让学生对全章有一个整体的感知，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的数学知识体系.

1 学科内容分析

本课时内容为苏教版九年级上册第五章“二次函数”的第一课时，但这节课不是按课时内容进行的第一课时，而是作为一章的起始课，在整体观念下打破教材的限制，站在全章整体的视角，在整个二次函数学习过程中起着引导和铺垫的作用.第一节课就基于整章的核心问题、内容对象、逻辑关系、研究思路、思想方法等让学生有初步的整体感知，理解整章内容，明白“为什么学，学什么，怎么学”.“二次函数”是初中阶段有关函数知识的重点内容之一，是描述现实生活中变量之间关系的重要的数学模型，是继一次函数、反比例函数之后对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学习其他初等函数的基础.本章知识点主要有二次函数的定义、二次函数的图象和性质、用待定系数法确定二次函数的表达式、二次函数与一元二次方程和用二次函数解决问题.

2 教学设计

2.1 情境引入，生成概念

师：（PPT1）投影情境.

（1）水滴激起的波纹不断向外扩展，所形成圆的面积S与半径r之间有怎样的关系？

（2）用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？

（3）一面长与宽之比为2∶1的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元．总费用y（元）与镜面宽x（米）之间有怎样的关系？

师：请同学们探究生活中的这三个问题.

思考后，一位学生板书.

师：上述三个问题中的两个变量是函数关系吗？

生：是，满足函数的定义.

复习函数的定义.

师：你认为它们是什么函数？说说你的想法.

生：二次函数.

师：你能给二次函数下个定义吗？说说你的想法.

生：形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c是常数）的函数叫做二次函数.

二次函数的概念形成：

设计意图 通过把生活中的三个问题抽象为二次函数的数学问题，将抽象的概念转化为具体的实例，激发学生的学习兴趣，让其感受二次函数模型解决实际问题的必要性，即而感受学习二次函数的必要性.类比一次函数的定义，在三个问题的追问下生成二次函数的概念.

2.2 类比探究，形成研究路径

师：我们从实际问题中抽象出二次函数模型，研究了二次函数的概念，同学们想想下面该研究什么？

生：概念—图象—性质—应用.

师：你们认为如何研究二次函数图象呢？（讨论）

生1：列表、标点、连线.

生2：从特殊到一般.

……

设计意图 学生回忆研究函数的“概念—图象—性质—应用”的一般路径，通过将二次函数与一次函数进行比较和联系，将已有的知识和技能迁移到新的学习情境中，再次从知识结构上加深对研究函数方法的结构性理解.通过唤醒旧知让学生运用一般到特殊的思维方式探究二次函数的研究顺序，优化研究路径，感受数学知识的连贯性和内在联系.

2.3 合作探究，制定研究策略

师：我们明确了研究方向，理清了二次函数的研究路径，下面该做什么呢？

师：请你画出y=x2的图象，说出这个函数的性质（以形思数）.

生：增减性、对称性、最值……

师：如何画y＝ax2  的图象呢？

生：列表、标点、连线.

师：可以，今天我们换种玩法，我们一起来由数想形（讨论）.

师：你能通过函数表达式得到关于函数图象的哪些结论？（由数想形）

生1：关于y轴对称的抛物线.

生2：过原点.

生3：a>0时，除顶点，图象在x轴上方，a<0时，除顶点，图象在x轴上方.

生4：……

师：你能说出他们得到的结论依据是什么吗？

生：……

师：如何画y＝ax2＋bx＋c的图象呢？

生1：列表、标点、连线.

生2：由数想形，得到图形特征后利用关键点作图.

师：思考a的取值范围对其图象会产生什么影响.

师：除了y＝ax2  的图象，你还能大致画出哪些函数图象呢？

生：从数的角度推理形的关系.

师：你能画出y＝ax2＋bx＋c 的大致图象吗？

学生操作作图，数形结合讨论系数对图象的影响.

师：看到y＝ax2＋bx＋c，你想到了什么？

生：一元二次方程、不等式……

师：那么我们在这章对二次函数研究的过程中就可以结合这些知识解决相关问题，你能提出相关的一些问题吗？

生：……

师：在后面的几节课中我们一起陆续解决这些问题.

设计意图 引导学生主动探索、思考和解决问题，提出的问题具有挑战性和启发性，学生经历以形思数、由数想形、数形结合，对本章常用的思想方法有了一定的认识，感受解决二次函数问题时数形结合发挥的作用，引导学生进行深入的思考和探索.通过制定研究策略，帮助学生理清学习思路，明确学习目标、学习内容和学习方法，培养自主学习能力，从而更好地组织和规划学习过程.小组讨论促进学生的交流和合作能力的发展，激发学生的学习兴趣.

2.4 应用实践，归纳巩固

师：你能来解决开头生物园问题吗？

生1：数的角度，配方法求最值.

生2：形的角度，图象找最值.

师：你能归纳二次函数解决实际问题的基本步骤吗？

设计意图 回归问题情境，将所学知识应用到实际问题中，提高学生的实践能力和解决问题的能力.制定二次函数解决实际问题的策略，分析问题，找出问题的关键点和难点，提高学习效果，渗透数形结合思想.帮助学生巩固所学知识，感受建模、数形结合等思想方法，培养他们的实践能力.

2.5 总结提升

师：预测一下如何研究一个三次函数？

生：类比一次函数、二次函数.

师：我们学习了二次函数，那什么是三次函数？该如何研究呢？

生：从概念—图象—性质—应用这几方面研究.

师：我们这节课学习了什么？

生：二次函数.

师：你有哪些收获？

生：……

设计意图 反思学习方法和策略，总结经验教训，对所学知识进行梳理和整合，加强理解，从不同角度进行思考和分析，在掌握知识和技能的基础上，进行拓展和创新，培养学生的创新能力.

3 教学启示与反思

本节课从情境创设到概念生成，从特殊二次函数研究路径到二次函数研究路径的普遍性，逐步分类构建，课堂知识结构清晰可见，函数、方程等核心概念、教学难点也被逐一突破.建构结构化的知识体系帮助学生形成知识的整体性，也能让学生掌握知识间的区别和联系，增强整体思维和全局意识.通过问题引领整体建构激发学生的好奇心和求知欲，培养学生的创新能力，鼓励学生独立思考，提高学生的思维能力和批判性思维，同时培养学生的自主学习能力，通过对问题的深入研究和解决，形成对知识的整体理解，这样的教学更加贴近学生的实际需求，有助于提高教学效果.

3.1 以问题为导向引领教学实施

以问题为导向引领教学实施强调通过提出问题来引导学生主动思考和探究，本节课的教学主要由七个问题形成纽带贯穿教学的实施.

问题1：二次函数的概念.

问题2：如何研究二次函数呢？说说你的想法.

问题3：如何画y＝ax2  的图象呢？

问题4：如何画y＝ax2＋bx＋c 的图象呢？

问题5：解决生物园问题.

问题6：预测一下如何研究一个三次函数？

问题7：谈谈本节课你有哪些收获？

通过这几个问题生成概念，类比已学函数自主设计全章的研究路径，初步建构出了全章的知识结构.形成解题策略、归纳总结思想方法，并且在问题探究过程中不断发现新的问题，借助问题驱动学生自主发现本章的研究对象与核心问题，在独立思考和合作交流中探究全章的主要研究对象、研究内容、研究方法及其内在联系，初步做出全章的结构框架，从而实现整体教学.通过以问题为导向引领教学实施，可以培养学生的创新思维、实践能力和团队合作精神.

3.2 以学生为主体，在自主探究中整体建构

本节课内容对学生来说是一个新的学习内容，也是一个新的挑战.这个挑战一定是建立在学生已有的知识基础和学习经验之上的.教学中要注意运用最近发展区理论，学生经历自主探究、自主发现，并且在这样的过程中得到知识的生长、经验的生长、生命的成长.在整个教学实施过程中要发挥学生的主体作用，教师扮演好引导者和协助者的角色.

在某种意义上说，整体建构的目的就是明白应该怎么学.教学活动是为了让学生学会学习，也就是让学生知道怎么学，所以说章起始课更要在知识结构性方面做好文章.这种结构上的东西，是由学生的悟性決定的.学生将所学的知识和经验进行整合和组织，形成一个完整的知识体系和思维方式.本课例让学生借鉴一次函数与反比例函数的学习过程与经验，这就让学生找到了二次函数的生长源；研究二次函数的概念、图象、性质、应用等知识环节，学生找到了知识的源头，进而形成生长节，最终长成知识树.这是个由内往外的自然进发的过程，具备了生长的本质特征.

3.3 挖掘本质，提升核心素养

这个片段教学既要注意探究知识结构，又要注意探究解决问题过程中所用到的思想方法及问题的数学本质.本课例设计中一开始通过生活中的三个情境，让学生感受研究二次函数的必要性，然后根据学生的学习经验值入主题，研究二次函数的概念、图象等.这些策略的研究一是基本经验，二是基于创新，而又重在创新，而不是将学习的重点放在碎片化的技能训练上面，而在以形思数，由数想形的过程中让学生深刻感受到数形结合思想对问题解决的重要作用，在解决问题的过程中，运用和整合所学知识，实现知识的迁移和应用.这样的经验都让学生发现、提出、分析、解决问题的能力都得到了提高，数学学科的核心素养也在经历这样的过程中有所提升.

【南京市教育科学“十四五”规划课题“指向核心素养的初中数学问题教学实践研究”（编号JZ/2021/058）的阶段性研究成果】

参考文献：

［1］吴晓，侯懂艳.初中数学大单元教学起始课设计——《二次函数》起始课实例［J］.当代家庭教育，2023（12）：152-154.

［2］张东.基于问题的整体教学探索——以“整式乘法与因式分解”起始课为例［J］.数学通报，2023，62（05）：17-20+25.

［3］张蕾萍.单元整体建构：促进数学核心素养的培养［J］.基础教育研究，2022（02）：76-78.