试析数形结合思想在初中数学解题中的应用

龙莹莹

【摘要】数形结合是一种将数学问题通过几何图形进行辅助解决的方法.随着教育普及和数学教育的改革，数形结合思想在初中数学教学中已成为重要的内容，但在实际教学中，学生常会忽略几何图形与数学问题的联系，或者在具体操作上存在不足.本文旨在通过研究数形结合思想在初中数学解题中的应用，总结解决问题的方法和技巧，从而进一步提高学生的数学解题能力和实际应用能力.

【关键词】数形结合；初中数学；课堂教学

数学作为自然科学的一门重要学科，在现代社会中的应用已被广泛认可.而初中数学教学则是数学教学中的基础，对于培养学生的数学思维和实际应用能力有着至关重要的作用.在初中数学教学中，数形结合思想是一个重要的教学内容，它使得学生在解决数学问题时可以通过可视化和几何图形的帮助提高解题的效率和精度.但是，在实际教学中，学生对于数形结合的认识和应用还不够深入，往往存在操作不规范、不全面等问题.因此，探究数形结合思想在初中数学解题中的应用，总结相应的方法和技巧，可以帮助学生在实际解题中更加顺利和准确地运用数形结合思想，从而提高数学解题能力和实际应用能力.本文将试析数形结合思想在初中数学解题中的应用，旨在探讨数形结合思想在初中数学教学中的地位和作用，为教育教学提供新的思路和方法.

1 数形结合思想的理论基础

1.1 数形结合思想的定义和特点

数形结合思想是一种将数学问题与几何图形相结合的方法，通过可视化和几何图形的辅助，帮助学生更好地理解和解决数学问题.数形结合思想基于数学与几何之间的密切联系，通过将数学问题可视化为几何图形，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形形象，从而提供了更直观的解题方法.

数形结合思想的特点主要体现在以下几个方面：

（1）直观性.数形结合思想通过几何图形的可视化帮助学生直观地理解数学问题，使抽象的概念具体化，从而更容易理解和解决问题.

（2）全面性.几何图形的添加和分析可以使问题的各个方面得到全面考虑，帮助学生掌握问题的全貌.通过数形结合思想，学生可以综合考虑数学问题的各个要素，更好地把握问题的本质.

（3）形象性.通过几何图形的形象呈现，数形结合思想使抽象的数学概念变得更加具体和形象，使学生能够形象化地思考和解决问题，提高问题的可视化能力.

（4）深入性.数形结合思想可以帮助学生深入理解数学问题的内涵与规律，通过对几何图形的分析和推理，发现问题的更深层次的数学含义，培养学生的数学思维和推理能力.

1.2 数形结合思想在数学教育中的作用

数形结合思想在数学教育中具有重要的作用，主要表现在以下几个方面：

（1）提高学习兴趣.数形结合思想可以使学生对数学问题的解决更加直观和有趣，激发学生学习数学的兴趣和热情.

（2）增强理解和记忆.通过将数学问题可视化为几何图形，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和记忆数学概念和知识，提高学生对数学知识的掌握程度.

（3）发展创新思维.数形结合思想鼓励学生从多个角度思考问题，培养学生的创新思维和问题解决能力，促进学生思维的灵活性和创造性.

（4）提高解题效率和准确性.数形结合思想可以帮助学生以图形的方式解决数学问题，提高解题的效率和准确性，培养学生的解题技巧和策略.

由此可见，数形结合思想作为一种将数学问题与几何图形相结合的方法，在初中数学教育中具有重要的理论基础和实际应用价值.通过数形结合思想的引入和运用，可以提升学生的学习兴趣、增强对数学概念的理解、培养创新思维、提高解题效率和准确性，同时也能促进学生的实际应用能力的培养.因此，深入研究和应用数形结合思想，对于推动初中数学教育的改革和提高学生的数学解题能力具有重要的意义.

2 初中数学解题中的数形结合应用现状分析

数形结合思想在初中数学解题中具有重要的应用价值，然而，在实际教学中，数形结合应用存在一些问题，这些问题主要体现在三个方面.

2.1 学生对数形结合思想的理解欠缺

在初中数学教学中，学生对于数形结合思想的理解往往比较肤浅.他们往往只停留在几何图形的表面，无法将几何图形与数学问题建立起有效的联系.例如，在解决几何问题时，学生缺乏将问题中的数学概念与几何图形相结合的能力，导致解题思路不够清晰，无法准确把握问题的实质.

这一问题的产生主要是由于教师教学中对于数形结合思想的介绍不够充分和深入，以及学生在学习过程中缺乏实际操作和应用的机会.同时，学生对数学知识理解的片面性和局限性也是造成这一问题的原因之一.

2.2 数形结合应用缺乏全面性和深度性

在数学解题中，数形结合应用往往只停留在表面，缺乏全面性和深度性.学生在解题时，往往只停留在简单的数学运算和几何图形的观察上，缺乏将具体的几何图形与数学问题进行深入分析和综合应用的能力.例如，对于复杂的数学问题，学生往往只进行简单的图形绘制和观察，而缺乏对几何图形的进一步分析和推理.

这一问题的出现主要是由于教师在课堂教学中对于数形结合思想的引导和指导不够充分和深入，同时，学生在学习过程中缺乏对于复杂问题的拆解和思考的机会，导致解题存在局限性和表面性.

2.3 数形结合应用操作不规范

在数形结合应用过程中，学生的操作往往不规范，导致解题结果不准确.学生在进行图形绘制和变换时，常常缺乏准确的操作方法和规范的步骤，导致图形的绘制和问题的解答错误.例如，在进行图形相似的判断时，学生可能未能准确使用缩放操作，导致判断结果的错误.

这一问题主要是由于学生对于数形结合应用方法的训练不够充分和系统，缺乏对几何图形操作的规范训练和实践机会.同时，教师在教学中对于数形结合应用的操作规范性的要求和引导不够明确.

3 数形结合思想的解题思路和解题方法

数形结合思想在初中数学解题中具有重要的应用价值.为了有效运用数形结合思想解题，我们需要掌握一些基本的解题思路和解题方法.

3.1 基本解题思路：从数学问题到几何图形的转化

解题思路是数形结合思想的基础.从数学问题到几何图形的转化是数形结合思想的核心思路.

例如 在解决面积问题时，可以根据问题条件，将所给的图形转化为一些基本的几何图形（如矩形、三角形等），然后计算相应几何图形的面积，最后将结果进行求和或运算，得到问题的答案.这样的转化过程将抽象的数学问题转化为具体的几何图形，使问题更加直观和易于理解.

3.2 解题方法：设图法、画图法、等效替代法等

解题方法是实现数形结合思想的具体操作手段.在实际解题中，可以采用设图法、画图法、等效替代法等解题方法.设图法通过设定适当的几何图形和坐标系直观地表示问题.

例如 在解决勾股定理问题时，可以设定一个直角三角形，并规定其中一条边为不变量，通过改变另外两条边的长度，观察是否满足勾股定理的条件.

画图法通过绘制几何图形帮助分析和解决问题.

例如 在解决平行线性质问题时，可以通过画出相应的平行线，观察线之间的关系，进而推导出问题的解答.

等效替代法通过将问题转化为等效的几何图形推导解题思路.

例如 在解决面积比较问题时，可以将两个面积进行等效替代，比较等效后的面积大小，从而得到解答.

3.3 解题技巧和策略：包括缩放、旋转、平移、对称等操作

解题技巧和策略是实现数形结合思想的具体操作手段.缩放、旋转、平移、对称等操作是常用的解题技巧，它们能够帮助学生观察几何图形的特征和性质，发现问题的规律和关系，进而解决问题.

例如 在解决几何相似性质问题时，可以通过缩放操作，观察几何图形的大小比例关系，从而推导出问题的解决思路.这些技巧和策略通过操作几何图形，能够提供更多的解题线索和思路，帮助学生更好地理解和解决数学问题.

4 数形结合思想在数学解题中的应用实例分析

4.1 用“形”解“数”

例如 以七年级数学知识“数轴”为例，如比较两个有理数的大小，一旦学生能在头脑中形成数轴及这两个有理数的左右位置关系，那么根据“左小右大”的原则，数的大小判断易如反掌.

例1 有理数a，b在数轴上的对应的位置如图1所示，把-a，-b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（  ）

（A）-a<0<-b.   （B）0<-a<-b.

（C）-b<0<-a.   （D）0<-b<-a.

解析 先根据相反数的概念在数轴上标出，再根据数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，立即可以得出结论.得到答案（C）即-b<0<-a.

用数轴上的点的位置确定实数的大小，将抽象的数直观化，从而达到化简的目的.

4.2 用“数”解“形”

通过数字+图形分析的方式解决问题，强化学生的数学学习自信心.

例2 如图2所示，线段AB上有M，N两个点，AM∶MB=5∶11，AN∶NB=5∶7，求AB的长度.

分析 由5∶11与5∶7联想到比例问题，此时可用代数方法解几何计算题，则问题可迎刃而解.

解 设AM=5x，

则MB=11x，AB=16x.

因为AN∶NB=5∶7，

所以AN=512AB=512×16x=203x.

又因为AN-AM=MN，

所以203x-5x=1.5，解得x=0.9，

所以AB=16x=14.4.

对于一个几何问题，能否通过代数计算求解的关键在于几何问题中的数量关系能否方便地表示成适合进行代数计算的表达式.因此，在分析问题时，不仅要善于发现各个相关元素之间直接或间接存在的数量关系，还要能够从几何性质出发，将所发现的数量关系转化为代数表达式，通过代数计算来推理并得出问题的结论.

5 结语

综上所述，通过数形结合方法，学生可以将几何问题中的数量关系转化为适合代数计算的表达式，并利用代数计算的方法解决问题.这种方法不仅能提高问题解决的效率，还能培养学生的分析能力和逻辑思维.因此，在初中数学教学中，应注重培养学生运用数形结合思想解决几何问题的能力，从而提升学生的数学思维和解题能力.

参考文献：

［1］董家和.浅谈数形结合思想在初中数学中的应用［J］.新课程（教育学术），2016（02）：245.

［2］吴翠加.浅谈数形结合思想在初中数学解题中的应用［J］.教师，2019（13）：49.

［3］贾晶.浅谈数形结合思想在初中数学解题中的应用［J］.读写算：教育教学研究，2011（20）：122-123.

［4］曹海艳.浅谈如何在初中数学教学中妙用数形结合思想［J］.考试周刊，2020（89）：69-70.

［5］何映霞.借助数形结合解决数学难题［J］.数理化解题研究，2021（32）：30-31.