韩乙飞
(福建师范大学 数学与统计学院,福建 福州 350007 )
群之间的同态个数是研究群结构的一个重要的研究问题,研究群同态是刻画群结构的一个重要工具,目前已经有许多研究成果。Frobinous[1]得出n 阶循环群Cn到有限群C 的同态个数是gcd(n,)的整数倍,其中gcd(n,)表示n 与的最大公因数;Yosida[2]把文献[1]的结果进行推广,得出当Cn为n 阶可交换群时,Cn到C 的同态个数也是的整数倍。对于有限循环群之间的同态也存在一些有趣的结论。屈寅春[3]给出了两个有限循环群之间所有同态映射的总数计算公式;冯克勤等[4]证明无限循环群的自同构群阶数为2,n 阶有限循环群的自同构群同构于φ(n)阶阿贝尔群,其中φ(n)为欧拉函数.这些表明群与群之间的群同态和群同构个数与数论有着密切的关系。对于循环群之间的同态个数的研究并不多见,而且还没有文献研究恒等态射的k次方根态射。
先根据有限循环群上k 次方根态射的定义,把k次方根态射个数转化为同余式xk≡1(mod m) 的解的个数,再根据初等数论知识,求出当k 为奇素数时,xk≡1(mod m) 的解的个数。记号如下:f(x)是整系数多项式,f′(x)是f(x)的导函数,gcd(k,n)表示整数k 与n的最大公因数。
定义1设G 为m 阶有限循环群,m>1,φ:G→G 为群同态。若φk=1G,1G,为恒等态射,k 为正整数,称φ 为G的k 次方根态射。
定义2对正整数m,小于或等于m 的数中与m互质的正整数的个数称为欧拉函数,记作φ(m)。当m=1,φ(1)=1;当m>1,令m 的标准质数分解式为
定义3设m 是大于1 的整数,f(x)=anxn+…+a1x+a0是n 次整系数多项式,若对于整数a,有f(a)≡0(mod m),则称x≡a(mod m) 为f(x)的一个解。
引理1阶循环群上次方根态射的个数与同余式
的解数相等。
引理2[5]设gcd(m1,m2)=1,那么同余式f(x)≡0(mod m1m2) 解的个数为f(x)≡0(mod m1) 与f(x)≡0(mod m2) 解数之积。
解数为同余式组
解数之积。设(2)式的解数为T,同余式组(3)式中的解数Ti,于是T=T1T2…Ts。
引理3[5]若p 为素数,则同余式xk≡1(mod p) 的解数为gcd(k,p-1)。
引理4[5]设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,l 为正整数。若同余式 f(x)≡0(mod p)与f′(x)≡0(mod p)无公共解,那么同余式f(x)≡0(mod p)与f(x)≡0(mod pl)的解数相等。
引理5设整数p,r 都大于1,a∈{0,1,2,…,pr-1-1}。若x≡a(mod pr) 为同余式
的解,则x≡a+tpr-1(mod pr) 都为同余式(4)的解,对任意的t=0,1,2,…,p-1;若x≡a(mod pr) 不为同余式(4)的解,则x≡a+tpr-1(mod pr) 都不为同余式(4)的解,对任意的t=0,1,2,…,p-1。
进一步,若知道(4)式在{x≡0,1,2,…,pr-1-1(mod pr)}中的解集为,其中s 为正整数,则(4)式的解集为≤i≤s,0≤t≤p-1 },个数为sp 个。
证明设t=0,1,2,…,p-1。
因此(4)式的解集为
解的个数为sp 个。
定理设为奇素数的标准质数分解式,φ 为欧拉函数,m 阶循环群上k 次方根态射个数为
证明由引理1,m 阶循环群上次方根态射个数等于
的解数。根据引理2,(5)式的的解数为同余式组
解数之积。设(5)式的解数为T,同余式组(6)式中的解数Ti,则T=T1T2…Ts。当k 为奇素数时,下面证明Ti=gcd(k,φ(pi)),1≤i≤s。
情形1 ri=1。
此时(6)式为
由引理3,(7)式的解数为
情形2 ri>1。
注:当k=2,上述定理不成立。理由如下:设m=2a,a为大于2 的整数,当k=2,设同余式x2≡1(mod 2a)解数为T。根据文献[6],得T=22≠gcd(2,φ(2a))=2。故k=2,上述定理不成立。