容差粗糙集的结构化近似

张海娣，万仁霞，卢彦君，刘伟

（1.北方民族大学 数学与信息科学学院，宁夏 银川 750021；2.宁夏智能信息与大数据处理重点实验室，宁夏 银川 750021）

粗糙集理论是Pawlak[1-2]在1982 年提出的一种处理不精确的、不确定性的和不完备数据的分析理论与方法，其主要思想是用一对上、下近似算子对给定的某种概念进行近似表示。对Pawlak 粗糙集进行扩展，提出概率粗糙集、变精度粗糙集及多粒度粗糙集等模型，并在模式识别、机器学习、图像处理、决策分析、数据挖掘等众多领域取得到了广泛的应用。Pawlak 粗糙集理论建立在不可分辨关系(indiscernibility relation)基础上，这种关系满足自反性、对称性、传递性,其本质是等价关系。这种关系对于许多实际问题来说，要求近于苛刻，且对数据的精度要求也非常的高，如果粗糙集的上、下近似发生变化，就会导致模型无法将它们归为一类，从而造成部分数据的分类错误[3]。为克服上述问题，一些学者利用偏序关系[4]、优势关系[5]、邻域关系[6]等对不可分辨关系进行拓展。

Skowron 基于对象间的自反性和对称性提出容差粗糙集模型[7]，容差粗糙集模型的提出，为粗糙集模型的研究提供了新的思路。文献[8]将变精度粗糙集模型和容差粗糙集模型结合起来，提出两种变精度容差粗糙集模型，并给出两种模型之间以及与其他模型之间的关系。文献[9]在容差粗糙集模型中利用最大容差类对偶地定义了两类新的上、下近似概念，并研究它们的相关性质。文献[10]提出变精度概率容差粗糙集模型，并研究其上、下近似的性质。文献[11]将相容关系运用到集值信息系统中，处理在经典粗糙集中那些不能被处理的数据，提出基于相容关系的局部粗糙集模型，并在属性约简方面进行探讨。Yao 等[12]在Bryniarski 定义的基础上，使用一组联合可定义集和描述语言，提出了结构化粗糙集模型[13]。与之前模型相比，该模型可以很好地保留结构信息。文献[14]应用粗粒化空间中的结构化颗粒，在原空间的幂集与粗粒化空间的幂集之间引入结构化概率粗集，并利用放大算子和结构化概率粗糙集近似算子研究不同空间上的概率粗糙集上、下近似及其相关性质和相互关系。文献[15]在变精度的背景下研究经典粗糙集的结构化问题，提出结构化变精度粗糙集模型，通过改变精度较好地展现上下近似中对象类的结构化信息。

容差粗糙集模型是对Pawlak 经典粗糙集理论的重要扩展，在粗糙集理论研究中占有重要位置。本文探讨容差关系下的粗糙集结构化问题，提出结构化容差粗糙集模型。

2 基本概念

2.1 粗糙集的结构化

在一个非空有限的空间U 中，E⊆U×U 表示一个等价关系，表示包含x 的等价类。由等价关系E 导出的划分U/E=｛E1,E2,E3,…,En｝包含所有的等价类，这些等价类是构造粗糙集的基础，关于等价关系E 来定义粗糙集的上近似、下近似为[13]：

可以看出,上、下近似都是U 的子集。

Bryniarski 通过除去粗糙集中的并提出一种新定义[12]：

这里的等价类[x]是U/E 的一个元素，它被视为U/E 中的一个整体，因此，这里的上、下近似为等价类族，即有关系：

2.2 容差粗糙集

定义2.1[8]设为有限非空论域，T 为论域U 上的二元关系，若T 满足以下条件：

(1)自反性，即∀x∈U，有xTx，

(2)对称性，即∀x,y∈U，若xTy，则yTx 称T 为容差关系。

定义2.2[7]设容差逼近空间（U,T），U 为论域，T⊆U×U 为U 上的容差关系，对于任意x∈U，关于容差关系T 的上、下近似定义为：

控制预测[6]系统是超导磁场储能型微网预测控制模型的核心部分,并且是最复杂与关键的板块,能够划分为两个板块:外环控制和内环控制。

3 结构化容差粗糙集

3.1 容差粗糙集的结构化

定义3.1 设（U,T）为粗粒化空间，T 为容差关系，对任意x∈U，结构化容差粗糙集上、下近似定义为：

结构化容差粗糙集以元素为代表元，构建其对应的容差类，其上、下近似不同元素的容差类都保留其信息。因而，结构化容差粗糙集的上、下近似是以容差类为元素的多重集。

例3.1 设论域U=｛x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7｝且T=｛（x1,x1）,（x1,x7）,（x2,x2）,（x2,x6）,（x3,x3）,（x3,x5）,（x4,x4）,（x4,x6）,（x5,x5）,（x5,x3）,（x6,x6）,（x6,x4）,（x6,x2）,（x7,x7）,（x7,x1）｝

所以结构化颗粒分别为：

考察X=｛x1,x2,x6,x7｝ 的非结构化与结构化意义下的容差上、下近似。

(1)非结构化容差粗糙集上、下近似为：

(2)结构化容差粗糙集上、下近似为：

设U 上的容差关系T，可以得到一个粗粒度空间U/T。容差关系T 表示U 到2U的映射，其中2U是U 的幂集，2U/T为U/T 的幂集，即映射:[]T:U→2U，[x]T={y∈}。

容差类[x]T在U 和U/T 中有不同的作用，在U中，[x]T表示U 的子集，而在U/T 中，[x]T表示U/T 的元素，参考Dubois 等[14,16]学者的命名方法，用Name（[x]T）(有时也写成N（[x]T）)表示U/T 中的元素。则N（[x]T）表示为粗粒化空间中的结构化颗粒。对于U/T 和U 之间有如下映射[17]φ：U/T→U，从而φ（Name（[x]T））＝[x]T。

对于任意X,Y⊆U，结构化容差粗糙集上、下近似满足以下属性：

性质3.1

3.2 近似精度与粗糙度

因为边界域的存在导致集合的不精确性或数据的不完备性，集合的边界域越大则集合的精确性越低[1]。近似精度和粗糙度是刻画粗糙集不精确性和不完备性的两个重要指标[1,10]。结合结构化粗糙集的特点，有以下关于结构化容差粗糙集的近似精度和粗糙度定义。

定义3.2 给定一个粗粒化空间U/T，对于任意，X∈U/T，则集合X 的近似精度和粗糙度为：

例3.1 中，非结构化容差粗糙集的近似精度、粗糙度为：

结构化容差粗糙集的近似精度、粗糙度为：

可以看出，结构化容差粗糙集与非结构化容差粗糙集的近似精度、粗糙度具有明显的区别。

4 结束语

粗糙集的结构化可以很好地保留上下近似中的对象的类信息，探讨容差粗糙集的结构化问题，提出了结构化容差粗糙集模型，并对新模型的相关性质和模型的精确程度开展研究，是粗糙集模型的一种推广。新模型融合容差粗糙集模型和结构化粗糙集模型的一些优点。因此，具有一定的理论研究价值。后续研究中，我们将考虑在不完备信息系统中对该模型进一步扩展。