2023年高考全国Ⅰ卷第22题的解法探究

万祺 徐羽

1.试题呈现

2.解法探究

分析：本题第一问是个简单的轨迹方程求解问题，第二问则是以一个传统解析几何中的周长问题为依托，考查多元绝对值函数最值问题的求解.本文主要探究第二问的解法，其中弦长AB及BC的表示并不难，难点在于设点或设线的选取，以及对表达式的减元处理过程.下面给出笔者认为最贴近问题本质的解法.

解：设直线AB方程，以AB斜率k及B点横坐标x0为参变量.

结合上述绝对值不等式的放缩及取等条件，我们对解法1进行优化，得到如下解法：

3.回归本质

上述三种方法分别从设线、设点等不同角度入手，对目标式进行合理变形、转化，但放缩的本质相近，下面我们试图将本题中的不等关系抽离出来，探其究竟.

4.追本溯源

（1998年上海市高中数学竞赛题）已知在抛物线y=x2上有一个正方形的三个顶点A，B，C，求这种正方形面积的最小值.

评注： 本题与高考真题相似度极高，解题的操作手法也雷同，“正方形”的条件更强一些，因此相当于多给了一个约束条件，最后求的目标式也只是一个线段AB，而非两个线段的和，因此在难度上，高考真题更大一些.

结语 解决数学问题往往需要对问题的条件进行多角度地转化、探究，这样才能一步一步接近问题的本质规律，进而在分析过程中发现更优的解法.事实上，若将高考题中的“求周长”改为“求面積”，不难发现，目标式AB×BC下界为0，且无上界，这样在难度上构不成压轴的分量，结论上也不够美观，因此“求周长”确实是一个更好的选择.从知识层面上，即考查了解析几何中设点、设线的传统解法，也考查了多元含绝对值的条件极值问题；从方法层面上，既落实了基础知识、基本技能的考查，又涉及了代数恒等变形，减元降次，转化、化归等较高的数学思想，起到了充分的选拔功能，是一道十足的好题.

参考文献

［1］单墫.解题研究［M］.上海：上海教育出版社，2016.

［2］万祺.构造局部不等式处理n元条件极值问题［J］.数学通讯.2022（04）：51-53.