例析几道“隐形圆”问题

罗泳欣

圆具有丰富的几何性质，当利用圆的性质进行解题时可以起到事半功倍的效果.利用解析几何的思想可知，通过圆的定义可以获得圆的轨迹方程，利用阿波罗尼斯定理或托勒密定理等等也可以获得圆的方程.但在某些板块里面却没有明显的“圆”的方程，这就需要我们用创造性的思维构造出“圆”来进行解题.本文梳理了部分使用“圆”的轨迹来解题的案例，以供大家参考.

1.隐藏在三角形中的“圆”

析解：本题以三角形为背景，考察向量的相关知识.常规解法是利用平面向量基本定理，表示出所求角，再利用不等式等相关手段进行求解.本文将通过巧妙的建系来发掘出“圆”，利用圆的几何性质求解.如图1，以点E为原点，EC为x轴，过点E作

评注：本题若选择向量或正、余弦定理求解，对应的运算难度很大.本题通过思考点A的轨迹，巧妙的构造出“圆”有效地提升了解题效率.分析上述解题过程可知，当点D，B为对应线段的其他等分点时，对应点A的轨迹也是“圆”.借助上述“圆”的模型，我们还可以探讨ΔABC面积以及周长的最值问题.

例2 （2021年新课标Ⅰ卷第19题）记ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC．（1）证明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC．

析解：本题以几何平均三角形为背景，结合三等分线考察正、余弦定理的应用.本题可选择的三角形较多，需要构建的方程也较多，思维难度较大.本文尝试构造出“圆”来进行求解.

由第（1）问可知BD=b为定值，由此可考虑构造点B的轨迹进行求解.如图2，以点D为原点，CA为x轴，过点D作CA的垂线为y轴建立平面直角坐标系.

设点A的坐标为（2，0），C的坐标为（－1，0），

评注：上述四个例题获得圆的方式都不一样，例1利用向量的运算，例2利用圆的定义，例3借助了正弦定理的性质，例4借助了中线公式以及圆的定义.

2.隐藏在三角函数中的“圆”

例5 已知cos（α+β）=cosα+cosβ，求cosα的最值.

评析：在本题的解题过程中，构造了一条直线与一个圆.将原来的代数问题，转化为图形的相交问题.高效地实现了参數的化简，充分地体现了数形结合思想.

析解：因为α，β是方程acosθ+bsinθ=c的两个根，即有acosα+bsinα=c，以及acosβ+bsinβ=c，如图5，为此构造直线l：ax+by=c，显然可得点A（cosα，sinα）∈l，B（cosβ，sinβ）∈l.其中点A，B显然属于单位圆⊙O：x2+

3.隐藏在不等式中的“圆”