GeoGebra视角下一类中点弦斜率和积关系的拓展

陈伟流 钟颖 金保源

圆锥曲线的中点弦问题源于教材，兴于高考，向来是专家学者青睐有佳的命题阵地，如经典的中点弦轨迹问题，点差法问题，斜率和积与中点弦过定点问题等，既传承经典，又常考常新，富有典型代表性与示范引领性.基于此，笔者以一道市统考的解析几何试题为研究对象，通过探析试题的一般命制背景，在现代信息技术GeoGebra的引领下，进一步对试题背景升华总结，归纳出圆锥曲线中顶点三角形的一个优美通性结论，并以斜率和积定值问题为逻辑主线，浅尝些许备考必得，以期抛砖引玉，与同行交流.

1 试题呈现，提出问题

评析：试题以中点弦为切入条件，考查椭圆方程、点、线、斜率等基本知识，注重点差法，同构法等解析几何基本思想方法的应用性，对数学运算，逻辑推理等核心素养有较高的要求.试题打破“斜率和积为定值，中点弦过定点”传统命题套路，富有创新性和引领性，同时也具备一定的命题高度，拓展空间及选拔属性，是一道优质的模拟试题.

回顾试题情境，发现三直线斜率和积的定值结果与点P的具体坐标无关，仅与点P的位置有关；同时，若将点O推广为x轴上任一定点（异于P），其斜率和积是否仍为定值？进一步推廣到圆锥曲线体系，在双曲线和抛物线中，是否仍有类似的结论？基于此，笔者对试题的一般背景展开探讨.

2 背景探源，揭示本质

改变点P，Q在椭圆对称轴上的位置，易得如下的一个对偶结论：

将探究背景进一步推广到圆锥曲线体系，在双曲线和抛物线中，有

注：结论2，3，4的证明与结论1类似，故在此省略；经历上述试题背景的探索知：两弦中点（动点）G，H及坐标轴上的定点P是决定斜率和积为定值的关键因素，那么这三点是否有其内在的必然联系呢？能否立足新视角，重新解读斜率和积为定值的结论？

3 技术探路，引申问题

在现代信息技术GeoGebra的软件平台中，依次做出圆锥曲线：椭圆（如图1），双曲线（如图2），抛物线（如图3）及x轴上的定点P（异于O），过点P两相交弦CD，EF，取两弦中点为G，H，追踪动点G，H并观察G，H与点P，O的关系，不难得出：

类比到双曲线及抛物线中，可得

引理3 已知抛物线x2=2py（p>0）及抛物线的内定点P（x0，0）（x0≠0），过P作抛物线的两相交弦CD及EF，G，H为两弦中点，则两动点G，H所在轨迹是以点P为顶点的抛物线，且其轨迹方程为x（x－x0）=py.

注：引理2，3的证明与引理1类似，故从略；立足于引理视角，上述的试题背景可升华解读为圆锥曲线中的内接顶点三角形的一个优美结论，其内容如下

4 升华总结，返璞归真

注：结论6，结论7，结论8的证明在此省略.

5 逆向思索，完善认知

从结论5到结论8的探索知：曲线的顶点，定点，过顶点的垂线三大条件是三直线斜率和积为定值的决定因素，若是改变其在条件与结论上的逻辑关系，相应的逆命题是否仍成立？以结论5为例，经笔者探究，有

6 立足课标，展望思考

《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）》在教学内容的设计上强调了三个关注的理念：即关注同一主线内容的逻辑关系，关注不同主线内容间的逻辑关系，关注不同数学知识所蕴含的通性通法，数学思想［1］.以中点弦问题的逻辑主线为例，其内容涵盖圆锥曲线的第三定义、斜率和积与定值定点的“手电筒模型”、圆锥曲线顶点三角形定值问题等内容，渗透了点差法，斜率同构法，齐次式法等数学思想，可谓是在中点弦主线的统领下，各支线熠熠生辉般绽放别样的风采.所以在一线教学中，教师要以知识统领的视角审视教学内容，厘清不同模块知识在底层逻辑的区别与联系，如此才能为学生带来层次分明，亮出突出，联系紧密的课堂内容，以培养数学抽象的高阶思维和整体认知的数学观，促进高考备考的提质增效.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.