一题多解 探究推广 题目溯源

解析几何中的定点定值定线问题，以其呈现形式多样，理论背景深刻，解题思路灵活而深受命题人、解题人及其研究者喜欢. 此类题目对培养学生逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力有突出价值.教学中此类题有注重罗列解法，忽视背景整合；注重机械刷题，忽视高考真题与教材等现象.本文以一个模拟题为例谈对这类题目的一题多解、探究推广、题目溯源，供参考.

1.题目呈现

⑴求曲线C的方程；

⑵设不同于顶点的M，N在双曲线右支上，直线AM，BN在y轴上的截距比为1：3.试问直线MN是否过定点，若是，求出坐标；若不是，说出理由.

2.解法探究

此结构不具有韦达定理对称形式，下面给出解决方法.

此为对称形式韦达定理，后续略.

3. 探究推广

教师在教学中，不能就题讲题，更应该做完题后，“品尝”题目.新高考评价体系要求“设置新颖的试题呈现方式，促使学生主动思考，发现新问题、找到新规律、得出新结论”［1］，基于此，做完此题，不难有以下“品尝”.

（1）任意双曲线中，比值为常数，直线MN是否过定点？

（2）任意椭圆中， 比值为常数，直线MN是否过定点？

（3）反之直线MN过定点，截距比值是否为定值呢？

下面把题目参数一般化，研究双曲线更一般的情况.

4.題目溯源

题目深刻背景揭示完成后，可再进行思考：见过类似题目吗？

⑴求曲线C的方程；

⑵记C的左右顶点为A1，A2，过T（－4，0）的直线l与C 交于M，N两点，点M在第二象限，记MA1，NA2的交点为P，证明：点P在定直线上.

在文献［2-3］中对此高考题一般背景作了解答并有结论：

由此可知此题背景回到23年Ⅱ卷新高考21题上来，本质背景为：

截距之比正切比斜率比定点及其定直线.题目最后甚至回归到极点极线的理论背景.

一般地，解题教学走到这一步，学生更会重视教材，重视真题.同时经过探究推广，也容易编制新颖的变式题，例如：

参考文献

［1］教育部考试中心.中国高考评价体系［M］.北京：人民教育出 版社，2019.

［2］晏炳刚，刘燕.2023年新高考全国Ⅱ卷21题的解法与溯源［J］.中学数学研究（江西师大），2023（08）：41-44.

［3］唐洵.落花时节又逢君 多法齐出似腾云—谈2023年高考新课标Ⅱ卷第21题的深度探究［J］.中学数学研究（华南师大），2023（15）：20-23.