创新定义设置，数学思维发散

梁丽

摘  要：高考综合改革的不断推进与平稳过渡，是“三新”背景下高考改革的一个重要动向.本文结合2024年九省联考数学试卷中的一道最值求解的填空题，以创新定义的形式来设置，从不同思维来切入与发散，剖析问题的内涵与实质，探求问题的求解与突破，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：创新定义；思维；最值

由教育部命题考试中心于2024年1月命制的九省联考数学试卷填空题中，

压轴题是一道以创新定义为情境，结合三变量的不等关系来创设，进而确定代数式的最值问题，是集基础性、综合性、应用性、创新性等于一体的代数问题，值得深入研究.

1  问题呈现

^^（2024年九省联考高考数学适应性试卷·14）&&以maxM表示数集M中最大的数.设0

此题是考查涉及三个变量所对应的多个代数式间的最值问题，一直是高考命题中的一类热点与难点之一.此类问题的设置场景多样，本题通过新定义“maxM”来创设，同时结合两个并列的不等条件合理设置，优化问题场景，开拓创新性应用.

2  问题破解

2.1  平均值原理思维

方法1：（换元法）

解析：设m=a，n=b－a，p=c－b，q=1－c，则有m+n=b，p+q=1－b，此时max{b－a，c－b，1－c}=max{n，p，q}.

由b≥2a或a+b≤1可知，n≥m或2m+n≤1，

可得max{n，p，q}≥maxn，p+q2=maxn，1-b2=maxn，1-（m+n）2.

若n≥m，则有maxn，1-（m+n）2≥n+1-（m+n）22=1+n-m4≥14.

若2m+n≤1，由于n+4×1-（m+n）2=2－（2m+n）≥1，则有maxn，1-（m+n）2≥n+4×1-（m+n）25=2-（2m+n）5≥15.

综上分析，可知maxn，1-（m+n）2≥15，当且仅当2m+n=1且n=15，即a=25，b=35，c=45时，等号成立，所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值为15.

解后反思：合理消元是处理多变量代数式的最值问题中最为常用的一类技巧方法，而结合代数式的结构特征，有时通过换元可以给消元开拓一个全新的局面，也是处理问题的一种“通性通法”.本题中消元的基本工具就是利用平均值的性质max{a，b}≥a+b2加以合理放缩，借助巧妙的配凑与放缩，从而实现消元的目的.

方法2：（分類讨论法）

解析：设M=max{b－a，c－b，1－c}.

由平均值原理，可得M≥（b-a）+（c-b）+（1-c）3=1-a3，整理，得a≥1－3M.

又M≥（c-b）+（1-c）2=1-b2，整理，得b≥1－2M.

若b≥2a，结合b－a≤M，则知M≥b－a≥a≥1－3M，解得M≥14.

若a+b≤1，则知1－2M≤b≤1－a≤1－（1－3M）=3M，解得M≥15.

综上可知，M≥15，当且仅当a=1－3M=25，b=1－2M=35，c=45时，等号成立.

所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值为15.

解后反思：挖掘创新定义的内涵，结合题设条件加以合理推理与论证，往往是解决此类问题最为常见的基本思路.而本题中，结合两个并列的涉及参数取值的不等式条件，推理时需要加以分类讨论，当然在推理分析时离不开不等式的基本性质的灵活应用.而本题的主要解题思路就是多次利用平均值原理（即若干个数的平均值介于最大值和最小值之间）即可严格论证.

2024年第3期解题探索

解题探索2024年第3期

2.2  不等式性质思维

方法3：（不等式性质法）

解析：设M=max{b－a，c－b，1－c}，由创新定义知，M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c.

若b≥2a，则b－2a≥0，对不等式M≥b－a，M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c同向相加，可得4M≥1+b－2a≥1，从而M≥14.

若a+b≤1，对不等式M≥b－a，M≥c－b，M≥c－b，M≥1－c，M≥1－c同向相加，可得5M≥2－a－b=2－（a+b）≥1，从而M≥15.

综上可知，M≥15，当且仅当a+b=1且b－a=c－b=1－c，即a=25，b=35，c=45时，等号成立，所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值为15.

解后反思：回归创新问题的本质以及相应代数式的结构特征，利用不等式的基本性质来分析与处理，是问题考查的本质所在.而该解法中，通过不同条件下不等式的情形，合理构建与之相吻合的不等式个数，进行同向相加处理，达到巧妙化归与转化的目的，是该解法的关键所在.

2.3  数形结合思维

方法4：（数形结合法）

解析：设M=max{b－a，c－b，1－c}.

如图1所示，要确定M的最小值，即确定图中b－a，c－b，1－c所对应的三条线段中最长的线段长的最小值.

图1

首先，假设固定参数a所对应的点的位置，此时1－a为定值，此时所分析的b－a，c－b，1－c所对应的三条线段的总长度为定值1－a.

依创新定义知，b－a≤M，c－b≤M，1－c≤M，这三个不等式同向相加，可得1－a≤3M，即M≥1-a3，亦即M=max{b－a，c－b，1－c}≥1-a3.

而要求1-a3的最小值，只要求参数a的最大值即可，取b－a=1-a3，可得b=2a+13.

结合题设条件b≥2a或a+b≤1，则有2a+13≥2a或a+2a+13≤1，解得a≤14或a≤25.

所以参数a的最大值为25，此时M的最小值为1-a3=15.

所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值为15，当且仅当a=25，b=35，c=45时，等号成立.

解后反思：根据创新定义的内涵，化“代数”为“几何”，利用几何图形直观来辅助推理，有时也是解决此类问题中比较常用的一种基本思路.

3  教学启示

3.1  改革题量，引导备考

2024年九省联考數学试卷，测试卷减少了试题数量，增加了解答题的分数占比，对数学思维过程的考查有所加强.由于试题数量减少，考查知识内容的覆盖面受到一定影响，测试卷着重考查数学学科核心素养，充分体现基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，不受限于对某些具体知识内容的考查.

而测试卷改革的目的，其根本就是灵活改变试题顺序，防止猜题押题，鼓励考生注重素质教育，消除应试教育的弊端.可以说，2024年九省联考数学试卷对数学高考改革做了一次有益的探索，值得关注.总结它的经验和实践效果，让我们对今后的复习备考以及数学高考改革充满期待.

3.2  注重思维，发展素养

从以上问题（2024年九省联考数学试卷第14题）的设置与考查的知识，也可以看出，高考改革对高中数学教学的指导更加明确，注重数学思维品质的培养，发展学生的关键能力，全面培养学生的学科核心素养，引导育人本位，引导基础教育扎实实施素质教育.

3.3  总结思路，归纳技巧

一道有价值、优美的数学题，往往是困难的题目，但衡量一道数学题目的优美及难易程度却因人而异，比自身目前解题功力略高一筹，经过一段时间的思索，有了想法，有了思路，一番苦功做下来，一番苦汗流淌下来，困难问题的解答必定是优美的，而优美的解答必定助益于长时间思维的千锤百炼.

易见，其解题策略绝大部分并非全靠套路，而多是一题一术，就像好的木匠，因料施工；就像成熟的将军，因势施略、见招拆招，无招胜有招.思维如同历经了一番春雨、扎根、抽苗，排除万难，最终攻克这道难题，似是打通七经八脉，如感真气流贯全身，他强由他强，清风拂山岗，他横由他横，明月照大江.故而这种数学题目对能力提升有难以估计的巨大功用，可谓之，好的数学题.