非交换剩余格上的广义余区间值模糊滤子

左卫兵，蔡德印

（华北水利水电大学 数学与统计学院，河南 郑州450046）

L.A.Zadeh［1］提出模糊集以后，模糊集及相关理论得到了迅速发展。M.Ward 等［2］建立了非交换剩余格理论，研究了非交换剩余格的滤子。郝加兴等［3］研究了非交换剩余格上模糊滤子的性质和刻画。后来，L.A.Zadeh［4］又将模糊集进行了推广，给出了具有区间值隶属函数的模糊集。PU P.M.等［5］给出了属于和拟一致于概念。ZHAN J.M.等［6］在BL-代 数上引入了区间值(∈,∈∨q)-模糊滤子。在模糊代数研究中，余模糊理想发挥着重要作用，S.H.Asaad 等［7］建立了正规半群上余模糊理想的相关理论。在以上研究工作的基础上，我们在非交换剩余格上引入(∈,∈∨q)-余区间值模糊滤子和余区间值模糊滤子，研究了它们的性质和等价条件，得到了它们之间的关系。

1 预备知识

定义1［2］：设(L,∨,∧,⊗,→,,0,1)是(2,2,2,2,2,0,0)型代数，其中(L,∨,∧,0,1)为有界格，(L,⊗,1)为非交换幺半群，对于任意的x∈L,y∈L,z∈L,若x⊗y≤z成立当且仅当x≤y→z成立，进而当且仅当y≤xz成立，则称L为非交换剩余格。

定义2［2］：设L是非交换剩余格，非空集合F⊆L,如果对于任意的x∈L,y∈L,有（1）x∈F,x≤y⇒y∈F,（2）x∈F,y∈F⇒x⊗y∈F,则称F 为L 的滤子。

定义3［6］：设L 是非交换剩余格，是从L 到D[0,1]的映射，令f={(x,µf(x))|x∈L},则称f 为L上的区间值模糊集。由全体区间值模糊集组成的集合记为IFS[L]。

2 (∈,∈∨q)-余区间值模糊滤子

若对于非交换剩余格L 上的区间值模糊集f，有

在本文中，我们做以下假设：对于任意的x∈L,(x)与[0.5,0.5]是可比较的。

定义4 ：设L 是非交换剩余格，f∈IFS(L),称f 为L 上的余区间值模糊滤子要求以下结论成立：

（1）对于任意的x∈L,y∈L,有

（2）对于任意的x∈L,y∈L,若x≤y,则有

设f∈IFS(L),对于任意的t^∈D[0,1],称集合={x∈L|(x)≤}为f 在上的下水平集。

例1：设L={0,a,b,c,d,1},0

定理2：若f∈IFS(L),则以下结论等价：

（1）f 为L 上的(∈,∈∨q)-余区间值模糊滤子；

（2）对于任意的x∈L,y∈L,有

（3）对于任意的x∈L,y∈L,有

用类似的方法可以得出结论（1）和结论（3）等价。

证明：证明与定理2 类似，证明从略。

4 结论

在本文中，我们给出了几类余区间值模糊滤子定义，并得到了如下结论。

若L 是非交换剩余格，f∈IFS(L),令T=∈D[0,0.5]∪D[0.5,1][1,1],为空集或L的滤子，则有以下结论：

（1）当T=D[0,0.5]∪D[0.5,1][1,1]时，f 是L 上的余区间值模糊滤子。

（2）当T=D[0,0.5][0.5,0.5]时，f 是L 上 的(∈,∈∨q)-余区间值模糊滤子。

（3）当T=D[0.5,1][1,1]时，f 是 L 上 的余区间值模糊滤子。