朱载堉的新法密率

说起朱载堉的成就，人们立刻会说，他发明了十二平均律（朱氏自称为“密率”）。这个发明不仅在音乐理论方面的首创， 而且被定位在世界科技史范畴：第一个用数学方式设计了十二平均律，为音乐实践方面的转调发展提供了音律规定性的解释， 这是一种十分重要的实用体系， 在今日的音乐实践中是常态化的运用。但是，虽然创建了如此精彩的学说，朱载堉却是孤独的。当他充满虔诚地将其毕生学术结晶《乐律全书》进献给朝廷，详细而全面地论述了他的新法密率①和音乐在礼制系统中的意义、功能，却只得到明神宗“留心乐律，深可嘉尚”的赞誉，宫廷只是将其“宣付史馆，以备稽考，未及施行”，《明史·乐志》也只字未提朱载堉的新法密率。《四库全书总目》对新法密率的评价也多有贬抑之意：“载堉云句股术者，饰词也……非句股法所能御，而亦以句股言之，未免过于秘惜以塗人耳目耳。”

一、乐律学的家学传统

朱载堉的世界性荣誉口碑来自于西方学者，李约瑟在《中国科学技术史》一书中高度赞扬了朱载堉在乐律学方面的贡献：“毫无疑问，首先从数学上系统阐述平均律的荣誉应归之中国。”③

朱载堉的“留心乐律”有其家学传承。他既得其父朱厚烷指导，又私淑于何瑭。在《进律书奏疏》中他述及：

……臣父恭王厚烷存日，颇好律历……昔年居凤阳时……亲写操缦谱稿，藏诸箧笥，还国出以示臣，且谕臣曰：“尔宜再润色之，为我著成一书，以便观览。”及有口授，指示甚详。臣既受教，乃于暇日采古今传记及先儒旧说，续以新闻，附以愚见，著成琴瑟《操缦》《旋宫》等谱启进。臣父览之，颇以为然。

在《进律书奏疏》开篇即说明其写作使命为“述家学，成父志”。⑤这充分证明《乐律全书》中的核心观点、理论是朱氏父子两代人的思想结晶。

《乐律全书》包含乐学、律学、算学、舞学、历学五大类共十四种书， 俨然百科全书式的写作成就。朱载堉在《乐律全书》之《算学新说》弁言中写道：“臣所撰《新说》凡四种：一曰《律学》，二曰《乐学》，三曰《算学》，四曰《韵学》。前二者其书之本原，后二者其书之支派，所以羽翼其书者也。”⑥从朱氏的自述来看，在他的认识中，律学为体，乐学为用，而算学、韵学这类小学则属工具。

《律学新说·序》作于万历十二年春（1584），故《律学新说》的成书时间当在1584 年以前。此序提到了《律吕精义》的内容，这为判断《律吕精义》的成书时间提供了新的依据。《律吕精义·序》虽作于1596年，但序中说：“兹奏明诏征取律书，谨将旧稿删润以献。”这表明郑世子响应诏书，献上故往的成稿，足见《律吕精义》早已成书。在这里格外强调《律吕精义》的成书时间，涉及十二平均律首创权的判断。因为在16 世纪末， 有荷兰人西蒙·斯台文（Simon3Stevin，1548－1620） 也计算出十二平均律。《律学新说》数次提及《律吕精义》⑦和《算学新说》，表明这两书在《律学新说》的写作过程中亦当为案头参考。有观点认为《律吕精义》甚至早于《律历融通》（成书于1581年之前）。这个观点的根据来自于《律历融通》附录《音义》篇中引用《律吕精义》的文字。朱载堉在1595年的《进历书疏》中提到；“为此具本，将臣昔年所撰《律历融通》四卷、《音义》一卷，并臣近年新撰《圣寿万年历》二卷，《万年历备考》三卷，共为十册，装潢成帙，暨表文一通。”这篇“昔年所撰”的《音义》是为注释《律历融通》而作，二者的前后关系不言自明，所以《音义》的著录时间与《律历融通序》相近或相同，即1581 年或之前不久。如此一来，《音义》的信息辗转加强了《律吕精义》成书于1581—1584 年间这个认识。笔者认为《律学新说》和《律吕精义》是互相发明，各有侧重的写作， 而且存在着在大致相同的时间段中同时并进的写作状态。有学者认为斯台文是受到朱载堉学说的启发而完成十二平均律的计算， 但通过仔细分析斯台文的思路和计算方法， 可以明确地说，斯台文是独立完成他的思考和计算，并且质量逊于朱载堉的数据。

总之，虽然《乐律全书》于1606 年全部刊刻完毕，但“新法密率”，即现代所称的十二平均律理论完形并完整陈述大致在1584 年以前，为清晰起见，将上述信息列表如下：

二、朱载堉乐律学成就

朱载堉最重要的乐律学著作是《律学新说》和《律吕精义》。这两部重要的乐律学著作，其律学思想、论辩主旨一以贯之，计算数据互相滲透，各有侧重，大体上是同时期成书的姊妹篇。

1.《律学新说》之意义

前文已述，《律学新说》是在《律学四物谱》基础上删冗汰繁，改写而成。从《律学四物谱》序言可见朱载堉在前后两稿的写作过程中，中心思想已经发生变化，所以不宜视为《律学四物谱》之删节版。列表比较如下：

朱载堉在《律学四物谱·序》中说：“声无形而乐有器，古之作乐者，知器之必有敝，而声不可以言传，惧器失而声遂亡也，乃多为之法以著之。故始求声者以律，而造律者以黍。”⑨意思是说，因为声音不可留，乐器也会坏损，所以要研究声音的内在属性，即“律”，需用黍来表达律的规定性。但他更认识到度、量、衡“是三物者，亦必有时而敝，则又总其法而著于数……以有数之法，求无形之声”。他也看到了黍是不可靠的，度量衡器也有坏损时，所以他力求使律建立在数度上，在《律学新说》中，黍谱已然消失而让位于“律数”（见表2）。

他在《律学新说序》中又说：“古之圣人推律以制器，因器以宣声，和声以成音，比音而为乐……以理论之，长短之形，律之本也。是故有定形而后有容受之积，有真积而后发中和之音，有正音而后感天地之气。”⑩这里是说，“律”是“文之以声”的法则，即旋律绵延中音和音之间连续有其内在运动的规律，这是音乐发展的力量来源；数度则是律吕的表达，这是说音律运动要通过数理关系来表达；推律制器而宣声。古人推律制器，二者的关系是：推演数度是律吕的表达，制器作乐得以宣声达情。在行周礼大乐时， 律度量衡是乐之根本。《周礼·春官宗伯》“大司乐”职乐官设置中有“大师”“典同”两个乐官职位，分别从乐、乐教和乐器掌管“六律六同合阴阳之声” 相关事宜。这可以看作是反映了当时礼乐制度在律度量衡方面的执行体系。

《尚书·舜典》强调：“协时月，正日；同律度量衡。” 这表明古人有关音律的学问是深入而全面的， 他们对发音振动体材料的数度把握已经有了全方位的论述。数度无外乎律器之长短、多少、轻重，这便是律、度、量、衡互为表里，相须而用的关系。这样就摆正了度、量、衡是对无形之声的有形表达，而非长期以来认为的度、量、衡出于律。朱载堉格外强调度、量、衡是对无形之声的有形表达，这个认识符合事物本質，也符合历史逻辑的关系。但在漫长的乐律学史中， 却长期存在一种颠倒的认识，以为度、量、衡出于律。朱载堉本来是以讨论律与器的数理问题为写作初衷的， 但在长年研究益穷求至的过程中，理出一个线索，认为在律学研究的过程中，自王莽、刘歆就已经偏离律吕之理，至宋胡瑗、范镇、蔡元定等，更加不识律亦不识嘉量，尤其蔡元定论律本，其失过甚，但却影响久远。认为其误论犹如紫夺朱，郑乱雅，不可不辨。他在《律学新说》序末感慨道：“蔡氏于律学，可谓功之首，罪之魁也。”所以写作的重点转为批判刘歆、蔡元定旧说，故名《新说》。

《律学新说》卷一中已经详细列出密率数据，略述如下：“密率律度相求第三”一节中列出横黍度数和纵黍律长，虽然没有给出计算方法，但十二个横黍度数是准确的密率数据，每相邻两律间的等比数为“密率求方积第四”列出十二律的体积数据，以立方分为单位。

下引片段是朱氏“求积实新法”：置黄钟横黍度长十寸，自乘得一百寸，倍之得二百寸为实，开平方法除之， 得一十四寸一四二一三五六二三七三○九五○四；进一位命作立方积一百四十一寸四百二十一分三百五十六厘二百三十七毫三百○九丝五百○四忽为实，别将律数十二自乘得一百四十四为法除之，得黄钟积实。

以上这段话可以转写为算式：

密率求圆幂第五”给出了径求周、周求径、周求积、径求积、积求径、积求周的方法，可以逐一转写成公式，然后给出十二律面幂数据（圆面积数据），等比数为1.0594630……

“密率求周径第六”，给出了十二律管长短广狭及内外周、内外径。分析其数据可知，十二律长度，每相邻两律比值为12根号下2；内外周、径，每相邻两律间比值为12根号下2。

《律学新说》虽然没有解释这些数据是怎么得出的，但长度、面积、方积、律管的内、外周长和内、外径，每单元的数据都呈等比关系。可见朱载堉在写作《律学新说》时已经有非常完善成熟的思考和计算。

2.《律吕精义》之意义

律吕精义》序：“《律吕精义》乃臣父之遗志，而臣愚所述也。分为内外二篇： 内篇主声数者为本；外篇主辨论者为末。虽则祖述前贤，师法往古，然非宋以来律家常谈也。”

此书的写作使命是朱载堉感慨于乐律之学的核心内容本是“夫乐也者，声音之学也；律也者，数度之学也”。但先儒前贤多不留心于此，以义解律，穿凿过甚。尤患“律吕之学，乖谬久矣”，将“埋管飞灰”“吹箫引凤” 这些乐律之末的虚说妄言神之为重，却诬蔑眼见之实理。朱载堉认为若任由此妄说泛滥，必使乐学绝传。是故，朱载堉强调：“论声调数术，矫史家之弊。”而他的核心观点是：“新法不用三分损益，不拘隔八相生，其义益精”。又说：“律由声制，非由度出，制律之初，未有度也。度尚未有，则何以知黄钟乃九寸哉！ 以黄钟为九寸，不过汉尺之九寸耳，周尺则不然也，商尺又不然也，虞夏之尺皆不然也，黄帝之尺亦不然也。”

此论破“黄钟九寸”之陈说。《律学新说》重在阐述乐律与度量衡的关系，首倡新说，而《律吕精义》则重在数理精详，分内、外篇。内篇讲述新法密率（十二平均律）的数学原理、计算方法及计算结果，并结合旋宫琴谱和乐器进行实证。这一点格外精彩。历代经学家宏论，多纸上谈兵，甚至闭门造车。而朱载堉则所有的大义高论，最终都会落实到具体的音乐实践。比如他谈六十调、八十四调，则以五音琴和七音琴详细陈述，并以之调称谓和为调称谓全面叙述五调十二律和七调十二律旋宫转调的实际操作。这与众儒仅是逻辑推衍有着天壤之别。他以《南风歌》和《股肱》曲作为实例，使形而上的论乐之道和形而下的弦诗笙歌结合一道，并具有独创性地发明了以图演绎旋律，以钟磬鼓拊、琴瑟笙歌若干声部构成的合乐谱，輥輲訛使学乐者可以如按图索骥般自行操练。

朱氏新法中最重要者是用珠算进行开方计算，并通过连续开方的方法求解一个等比级数，在世界数学史上也是第一次。他用一个超大算盘， 长81档，共567 子，方可算出精确度达25 位数的12 个律数。在《算学新说》中，他专门谈如何使用珠算做开方运算。他又书写了开平方、开立方口诀，可使初学者背诵记忆。写作设计以问答方式，详细求解蕤宾；夹钟、南吕；大吕、应钟，各自分别作为局部等比级数的中项， 求出几个具有逻辑节点意义的律位，其余可依次类推。总之，没有新的数学方法和数学工具，创建新法密率是极为困难的。朱载堉以句股术和大算盘，在16 世纪后期达到这样的高度，成就惊人。

《律吕精义》一书重实践，“援笙证琴”“援琴证律”，与书中所批评过的诸前儒相比，其优立见。历代谈律者，鲜有论《史记·律书·生钟分》，但朱载堉敏锐地看到“生钟分” 的内容直指乐音振动长度比，触及乐律之本，格外推崇，甚至认为《律书》中其他内容皆可删。虽然言重，但也不为过。对《汉书·律历志》用华丽辞藻解释五声、六律之名，持鲜明批评态度。指出五声之名、十二律名，犹如人名，方便识音之高下， 原无天地大义。明确指出这点，也凸显出朱载堉对乐律问题的基本态度，即坚持音乐本质。

内篇卷一“不宗黄钟九寸第二”中，朱载堉论证各代尺度不同，但黄钟律管长度不变。批评汉儒执着于九寸，却不思商尺黄钟过长，音过低；周尺过短，音过高。此论基于音乐规律。黄钟音高设定，对于人声歌唱、乐器张弦定律非常重要。汉儒仅仅机械于一个“九寸”而不论各代尺度有异，显然是另有所因。在“总论造律得失第一”一节中，引《宋书·律志》，指出汉儒强推九寸是为了附合刘歆“三统论”。这个观点很有见地。在乐律学史上，太多旧儒把音乐问题与天文历法牵强联系起来讨论，以至于音乐内在运动规律被忽略甚至被曲解。朱载堉强调音乐自身属性，并考镜源流，理出传统讹见产生的来龙去脉，有理有据地将造律得失问题阐释明白，实为第一人。

“不拘隔八相生第四”中详细叙述了四种相生方法， 每种生律法得出的数据都符合十二等比关系。卷二则详细论述异径管的倍律管、正律管和半律管共三十六律管的全部数据，朱载堉称为三十六异径律管“外周真数”“外徑真数”“内径真数”“内周真数”，所有的算式、数据都可以转写为现代公式，其逻辑缜密跃然纸上， 笔者对所有数据进行验算，不由佩服朱公学养深厚。他对所有算法的讲解，简明易懂，各个维度的数据也环环相扣，其密率周径图非常直观地将外周与内周、外径与内径的倍、半关系展示出来。这种图示手法对清代江永等学者有深刻影响。

朱载堉一生中的著述除了乐律学专著， 还有《毛诗韵府》《礼记类编》《算经》等，都属于“五经”的考订。明万历年间，《诗经》研究刚刚兴起，五经学问是当时的显学，在这个学术潮流中，朱载堉无疑是先驱式人物； 他的研究也体现出考镜源流的风格，穷尽资料的方法也呈现出清乾嘉学派所追求的朴学特征，这也可称为先驱式的实践。

最后必须强调的一点是， 朱载堉的学术态度，以我们今天所强调的遵守学术规范而言，绝对是模范中的模范。他每引必注出处，在笔者的研读中，根据朱载堉的说明，总能准确找到原文，与同时代其他儒士的著作相比，这一点是非常突出的。在这样一套庞大巨著中，偶有注错书名，仍不影响他严谨诚实的学术风范。

[本文为国家社科基金重大项目《音乐创作“中国性”研究》（项目批准号：22&ZD037）阶段性成果]

李玫中国艺术研究院音乐研究所研究员

（责任编辑 荣英涛）

第三届中国音协新兴音乐群体词曲作家深圳行采风创作活动圆满结束

[本刊讯]* 为深入贯彻落实习近平文化思想， 坚持以人民为中心的创作导向， 广泛开展“深入生活、扎根人民”主题实践活动，由中国音乐家协会、深圳市龙岗区文化广电旅游体育局主办，中国文联音乐艺术中心、深圳市龙岗区文化馆承办的第三届中国音协新兴音乐群体词曲作家深圳行采风创作活动， 于5 月11 日至16日成功举办。

此次活动采风团由中国文联副主席、中国音协主席、作曲家叶小钢和中国音协分党组书记、驻会副主席、秘书长韩新安领队。中国音协副秘书长、中国文联音乐艺术中心主任熊纬，知名中青年词曲作家刘新圈、皓天、韩葆、孟文豪、李凯稠、付广慧、陈维东、胡晋、袁晶、周洁颖、李嘉佳、张楚弦以及龙岗区文化馆馆长夏士康等参加了釆风活动。

5 月12 日， 活动启动仪式在国家级文化产业示范园———龙岗数字创意产业走廊展厅举行，韩新安为采风团授旗并作了发言。他鼓励团员们不断推出讴歌党、讴歌祖国、讴歌人民、讴歌英雄，礼赞新时代的优秀作品，展现新时代新兴音乐群体词曲作家的使命与担当。随后，采风团一行先后到达腾讯音乐总部、甘坑客家小镇、二十四史书院、 华为科技城示范项目———天安云谷、龙岗区文化馆、客家围屋建筑群———鹤湖新居等多地，通过座谈会、参观走访、创作研讨会、“非遗”民俗文化表演欣赏等丰富的形式，围绕数字音乐产业，创作者权益保障，新一代信息技术、智能制造、文化创意等战略新兴产业等话题展开深入的交流和研讨。大家纷纷表示，将用优秀的音乐作品助力粤港澳携手打造联通国内国际双循环、走出高质量发展之路、彰显中国式现代化特质的国际一流湾区。