一种基于AK-MCS-K的失效概率函数估计方法

宋海征 周长聪 李磊 林华刚 岳珠峰

摘要：

针对可靠性优化设计中失效概率函数求解复杂、计算量大等问题，提出一种求解失效概率函数的高效方法。所提方法的基本思路是利用自主学习Kriging方法构造输入变量全空间在失效边界处的局部代理模型，进而通过该局部代理模型结合Monte Carlo模拟法计算在指定分布参数样本下结构的失效概率，然后基于Kriging方法拟合分布参数样本点与对应结构失效概率之间的函数关系，最终建立用Kriging模型表达的失效概率函数的隐式函数。为了检验所提方法的精度和效率，给出了两个算例，对比了所提方法与已有的求解失效概率函数方法的计算结果。算例结果表明，所提方法适用于求解复杂的功能函数问题，并在满足精度要求的基础上显著降低了计算量。

关键词：结构可靠性；失效概率函数；自主学习Kriging方法；代理模型

中图分类号：TB114.3

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.05.003

开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

An Estimation Method of Failure Probability Function Based on AK-MCS-K

SONG Haizheng1，2  ZHOU Changcong1，2  LI Lei1，2  LIN Huagang1，2  YUE Zhufeng1，2

1.School of Mechanics，Civil Engineering and Architecture，Northwestern Polytechnical University，

Xian，710072

2.State Key Laboratory of Clean and Efficient Turbomachinery Power Equipment，

Northwestern Polytechnical University，Xian，710072

Abstract： An efficient method for solving the failure probability function was proposed to address the difficulties of solving the failure probability function in reliability optimization design， such as complexity and large amount of computation. The basic idea of the proposed method was to utilize the adaptive Kriging method to construct a local surrogate model of the full space of input variables at the failure boundary. The local surrogate model was then combined with the Monte Carlo simulation method to calculate the failure probability of the structures under the specified distribution parameter samples. The functional relationship between the sample points of the distribution parameters and the structural failure probability was then fitted by the Kriging method. Finalization of the implicit function of the failure probability function expressed in terms of the Kriging model. In order to test the accuracy and efficiency of the proposed method， two examples were given to compare the computational results of the proposed method with those of the existing methods for solving failure probability functions. The results of examples show that the proposed method is suitable for solving complicated functional function problems and significantly reduces the amount of computation while satisfying the accuracy requirements.

Key words： structural reliability; failure probability function; adaptive Kriging method; surrogate model

收稿日期：20231229

基金項目：航空科学基金（20220015053005） ，陕西省自然科学基金（2021JQ-072）

0  引言

工程实际中往往存在着大量由于加工制造误差、外部载荷差异以及人为因素而导致的结构的不确定性，基于可靠性的优化设计逐渐成为一种有效的分析手段［1-2］。工程中，一般输入随机变量的分布形式是已知的，但其分布参数通常是未知的。结构失效概率与分布参数之间的函数关系式被称为失效概率函数［3-5］。在可靠性优化设计中，通常需要计算结构在不同分布参数下的结构失效概率值。求得结构失效概率函数后，可将结构可靠性优化问题转化为一般确定性优化问题，从而显著提高优化的效率［6-8］。

然而，失效概率函数的求解是非常不易的。最直接的策略是在不同的分布参数值下进行多次可靠性分析，得到逐点的失效概率，该方法被称为双循环Monte Carlo模拟（double-loop Monte Carlo simulation，DLMCS）法［3］。然而，在复杂的工程背景下，DLMCS需要重复多次对功能函数进行评估，其计算量往往是不能接受的，一般将DLMCS法计算结果作为测试其他新方法的参考。AU［9］提出了一种单循环Monte Carlo模拟（single-loop Monte Carlo simulation，SLMCS）法，基于贝叶斯规则和扩展可靠性思想，将失效概率函数的求解转化为扩展失效概率和分布参数的条件联合概率密度函数的求解问题，提高了失效概率函数的求解效率。CHING等［10］对AU［9］提出的方法进行了扩展，核心思想是利用最大熵原理估计设计参数的后验分布，进而估计失效概率函数。YUAN［4］提出了一种“加权方法”，其基本思想是用一次可靠性分析中所产生样本的显示函数表示为失效概率函数。SONG等［11］提出了一种基于一次线抽样信息就能得到失效概率函数的局部近似方法。此外，基于代理模型的方法也被用于失效概率函数的估计，该类方法的基本思想是在设计参数空间中选择一些預定义的插值点，并利用代理模型构建近似值，从而逼近失效概率函数［12］。KAYMAZ［13］提出采用Kriging法、支持向量机法等去逼近失效概率函数。JENSEN［14］提出采用线性多项式逼近失效概率函数的对数，并进一步求解失效概率函数。LING等［3］基于贝叶斯规则和扩展可靠性理论提出一种自主学习Kriging结合Monte Carlo模拟（MCS）法估计失效概率函数的方法。

一种基于AK-MCS-K的失效概率函数估计方法——宋海征  周长聪  李  磊等

中国机械工程 第35卷 第5期 2024年5月

为了解决已有方法存在的计算量较大、计算效率低下及计算精度较差等问题，本文提出了一种基于自主学习Kriging结合Monte Carlo模拟法和Kriging（adaptive Kriging and Monte Carlo simulation and Kriging， AK-MCS-K）的失效概率函数估计法。该方法首先在输入变量全空间内通过自主学习Kriging方法构造靠近失效域边界处的局部Kriging模型，然后将该模型作为功能函数的粗略估计并结合Monte Carlo 模拟法计算分布参数样本点的结构失效概率，最后利用Kriging法拟合分布参数样本点与结构失效概率之间的函数关系，此时将得到的Kriging模型视为失效概率函数的隐式表达。

1  失效概率函数

1.1  失效概率函数的表达

在工程设计问题中，假定某结构的功能函数为Y=g（X），其n维输入变量表示为X=（X1，X2，…，Xn）T，通常输入变量的分布形式已知，但是其分布参数（如均值和方差）需要设计。假设n维输入变量的分布参数为θ=（θ1，θ2，…，θd）T（d为分布参数的个数），考虑θ为不确定性变量。当分布参数θ固定时，其条件联合概率密度函数为fX（x|θ）（x为当分布参数θ取固定值时的样本，每个样本均有多维元素），结构的失效域定义为F={x∶g（x）≤0}，此时系统的失效概率可表示为

Pf（θ）=P（F|θ）=∫…∫RnIF（x）fX（x|θ）dx（1）

其中，IF（x）表示失效域内指示函数，当x∈F时，IF（x）=1，否则IF（x）=0。可以看到，结构的失效概率随着分布参数θ的变化而变化，也即失效概率可看作分布参数θ的函数，此时Pf（θ）被认为是失效概率函数。

以失效概率为约束条件的优化问题可以表示为

min f（θ）

s.t.Pfi{gi（θ）≤0}≤P*fi   i=1，2，…，p1

hj（θ）≤0j=1，2，…，p2

gk（θ）=0k=1，2，…，p3

θL≤θ≤θUθ∈Rn（2）

式（2）被称为可靠性优化问题。其中，θ为未知的分布参数向量（即优化模型中的设计变量）；f（θ）表示目标函数；Pfi为第i个失效概率约束，P*fi为第i个失效概率阈值；p1为失效概率约束的个数；hj、gk分别为确定性的不等式约束和等式约束；p2、p3分别为不等式约束和等式约束的个数；θL、θU分别为θ的下限和上限。如果在优化前求得结构的失效概率函数Pf（θ），则上述可靠性优化问题可以转化为一般的确定性优化问题，这无疑可以显著提高优化的效率。

1.2  失效概率函数的求解

1.2.1  DLMCS法

双循环Monte Carlo模拟（DLMCS）法是求解失效概率函数最直接的方法，其基本思想是：首先将输入变量的分布参数离散化，然后针对每个分布参数样本点求解对应的失效概率，最后利用插值法求解结构的失效概率函数。求解步骤如下：

（1）在分布参数空间中抽取N个分布参数样本。

（2）针对每个样本点θi（i=1，2，…，N），根据其条件概率密度函数fX（x|θi）生成M个输入变量样本（x（i）1，x（i）2，…，x（i）M）T，其中，θi为分布参数θ的一组固定值。

（3）计算M个输入变量的功能函数值g（x（i）j）（i=1，2，…，N;j=1，2，…，M）。

（4）计算逐点的失效概率函数估计值，其表达式如下：

P^f（θi）=1M∑Mj=1IF（x（i）j）（3）

利用DLMCS法只是得到了失效概率函数在某些分布参数样本点处的离散值，并不是显示的失效概率函数表达式。该方法计算失效概率函数的计算量为NDLMCS=N×M。在实际工程应用中，DLMCS法的计算量很大，往往难以接受，但其计算结果准确，通常用作检验其他新方法的标准解。

1.2.2  SLMCS法

单循环Monte Carlo模拟（SLMCS）法的出现是为了解决DLMCS法计算量过大的问题的。基于贝叶斯规则，SLMCS法将失效概率函数Pf（θ）转换成如下式所示：

Pf（θ）=Pθ（θ|F（x，θ））×P{F（x，θ）}fΘ（θ）（4）

其中，F（x，θ）表示当x和θ同时为随机变量时组成的空间（x，θ）上的失效域；fΘ（θ）表示分布参数的联合概率密度函数；Pθ（θ|F（x，θ））表示分布参数θ的条件概率密度函数；P{F（x，θ）}表示当x和θ同时为随机变量时的扩展失效概率，可由下式表示为

P{F（x，θ）}=∫F（x，θ）fX（x|θ）dxdθ（5）

由式（4）可知，通过求得Pθ（θ|F（x，θ））和P{F（x，θ）}后，很容易得到失效概率函数Pf（θ）。基于贝叶斯规则和扩展可靠性思想，求解失效概率函数Pf（θ）的计算量仅存在于计算扩展失效概率P{F（x，θ）}中，因此SLMCS法能够显著降低失效概率函数求解时的计算量。但在工程实际中，SLMCS法仍然需要多次调用功能函数以保证扩展失效概率P{F（x，θ）}的准确性，在复雜工程问题上，其计算量依然很难接受。

针对SLMCS方法计算量依然较大的问题，采用自主学习Kriging结合Monte Carlo模拟法（AK-MCS）对其进行了改进。AK-MCS法通过采用自主学习Kriging法构造一个收敛的Kriging模型，替代SLMCS法中分布参数的离散过程，减少扩展失效概率的计算量，并最终降低了失效概率函数求解时的计算量。由于构造Kriging模型所需要的样本点数目远小于样本池中样本的数目，因此AK-MCS方法的高效性可以得到保证。

2  基于AK-MCS-K的失效概率函数估计

2.1  基本原理

本文提出了一种基于AK-MCS-K方法估计失效概率函数的新方法。利用Monte Carlo模拟法构造分布参数的大容量样本池S（θ），针对S（θ）中每个分布参数样本进行抽样，进而构造输入变量的全空间样本池S。在诸多代理模型中，Kriging模型是一种估计方差最小的无偏估计模型，具有全局近似与局部随机误差相结合的特点，因此本文利用样本池S中的部分样本构造收敛的Kriging模型。Kriging近似表达为多项式与高斯过程之和，其表达式如下：

gk（X）=pT（X）β+z（X）（6）

其中，gk（X）表示未知的Kriging模型；pT（X）为回归函数向量；β为未知系数向量；z（X）表示高斯过程，其均值为零，协方差为

Cov（z（xi），z（xj））=σ2R［R（xi，xj）］（7）

其中，σ2为过程方差；R为相关矩阵；R（xi，xj）表示任意两个样本点的相关函数，i，j=1，2，…，m，m为训练样本点个数，其中高斯函数为常用的相关函数，如下式所示：

R（xi，xj）=∏nk=1exp（－θk（x（k）i－x（k）j）2）（8）

其中，n为输入变量的维数；θk（k=1，2，…n）为未知的相关参数；x（k）i、x（k）j分别为xi和xj的第k个元素。

超参数{β，σ2，θ}的估计表示为{β^，σ^2，θ^}，可通过最大似然估计获得，因此对于全空间样本池S中的每一个样本x，其均值和方差分别由下式计算：

g^k（x）=pT（x）β^+rT（x）R－1（g－Pβ^）（9）

σgk（x）=σ^2［1－rT（x）R－1r（x）+（r（x）R－1P－

p（x））T（PTR－1P）－1（r（x）R－1P－p（x））］（10）

rT（x）=（R（x，x1），R（x，x2），…，R（x，xm））T

其中，rT（x）为x与训练样本点之间的相关函数向量；g为训练样本点的响应值组成的列向量；P为单位列向量。

相对于其他代理模型，Kriging法一个显著的优势是在给出预测值的同时能够给出预测的方差，因此本文建立了一种自主学习的Kriging模型。首先通过少量的训练样本集训练粗糙的模型，然后将剩余样本作为候选样本集，通过自主学习函数选择候选样本集中符合要求的样本点加入到训练样本集中，最后更新Kriging模型，直到模型精度达到要求。

失效概率的计算过程中，判断极限状态函数的正负极为重要。准确计算失效概率的关键是利用代理模型精确逼近失效面，即g（x）=0。本文的自主学习Kriging法中，在候选样本集中筛选样本点时需满足以下条件：到失效面的距离越近，符号误判的风险越大，即要求|g^k（x）|较小或σgk（x）较大，或者两者均较大。在本文中采用了U学习函数作为自主学习Kriging法的学习函数，如下式所示：

U（x）=|g^k（x）σgk（x）|（11）

U学习函数综合考虑了Kriging模型的预测值到失效面的距离和预测值的标准差。由式（11）可看出应该选择使U学习函数值最小的样本点及对应的真实函数值加入到训练样本集中，以更新当前Kriging模型。ECHARD等［15］提出，通常情况下可选择min（U（x））≥2作为Kriging模型自主学习更新过程的收敛条件。

利用样本池S中的部分样本构造收敛的Kriging模型，命名为Kriging-Ⅰ。以Kriging-Ⅰ替代原功能函数判断极限状态函数的正负。在Kriging-Ⅱ的构建中，首先在样本池S（θ）中抽取Nθ个分布参数样本，利用Kriging-Ⅰ计算Nθ个分布参数样本处的结构失效概率，得到Nθ组（θi，P^fi）（i=1，2，…，Nθ），然后利用该Nθ组数据构造符合精度要求的Kriging-Ⅱ。Kriging-Ⅱ即为结构失效概率函数的隐式表达式。

由于构造Kriging-Ⅰ时所需要的训练样本点的数目远小于样本池中的样本数目，构造Kriging-Ⅱ时的训练样本点的响应仅是Kriging-Ⅰ模型的仿真结果，因此AK-MCS-K法的高效性可以保证。

2.2  基本步驟

基于AK-MCS-K法估计失效概率函数的计算步骤如下：

（1）给定每个分布参数的概率密度函数fΘs（θs）（s=1，2，…，d）。理论上fΘs（θs）的选择不影响失效概率函数Pf（θ）的计算结果，因此可以假设θ服从某一简单分布，在本文中假定其服从均匀分布。

（2）由联合概率密度函数fΘ（θ）生成nθ个分布参数样本（θ1，θ2，…，θnθ）T。

（3）针对每个分布参数θi，根据fX（x|θi）生成n个输入变量xij（j=1，2，…，n），并组合成输入变量全空间样本池S={x1，x2，…，xnθ}，将其用矩阵形式可表示为

S=x1x2xnθ=x11x12…x1nx21x22…x2nxnθ1xnθ2…xnθn（12）

（4）从候选样本池S中选出输入变量X的m个初始训练样本Xt=（xt1，xt2，…，xtm）T，计算相应的功能函数值gt={g（xt1），g（xt2），…，g（xtm）}。

（5）由（Xt，gt）构造（或更新）Kriging-Ⅰ模型，记为gk1（X）。

（6）利用gk1（X）对候选样本池S中所有样本的功能函数值进行预测，得到预测值{gk1（x1），gk1（x2），…，gk1（xnθn）}和标准差{σgk1（x1），σgk1（x2），…，σgk1（xnθn）}

（7）计算样本池S中所有样本点的U学习函数值，即

Uxj=|gk1（xj）|σgk1（xj）（13）

（8）满足停止条件minj=1，2，…，nθnUxj≥2时停止更新Kriging-Ⅰ模型，执行步骤（9）；否则，加入新的训练样本点xu=argminj=1，2，…，nθnU（xj），令Xt←Xt∪xu，gt←gt∪g（xu），m←m+1，并返回步骤（5）。

（9）由联合概率密度函数fΘ（θ）生成Nθ个分布参数样本（θ1，θ2，…，θNθ）T，并利用步骤（8）中的Kriging-Ⅰ模型替代原功能函数并结合MCS法进行可靠性分析，计算每个分布参数样本点θi处的结构失效概率PfΘ（θi）。

（10）根据步骤（9）生成的Nθ组（θi，PfΘ（θi））（i=1，2，…，N）构造符合要求的Kriging-Ⅱ模型，记为gk2。此时，gk2即为失效概率函数fΘ（θ）的隐式表达式。

3  算例

本节中，采用极限状态函数的非线性程度、随机变量的维度和复杂程度不同的结构作为算例进行失效概率函数的估计。为验证AK-MCS-K的精度及效率，分别采用本文方法和DLMCS、SLMCS、AK-MCS法求解失效概率函数。SLMCS法和AK-MCS法结合一阶最大熵（first-order maximum entropy，F-MaxEnt）法拟合失效概率函数，以下分别记为SLMCS+F-MaxEnt和AK-MCS+F-MaxEnt。将DLMCS法的计算结果视为精确解。本文选取的算例均假设均值是变化的，即将均值作为未知的分布参数。为对比各种方法的优劣，本文定义了逐点相对误差（point-by-point relative error，PPRE）EPPRE和平均相对误差（mean relative error，MRE）EMRE，其表达式分别如下：

EPPRE=P^f（θj）－Pf（θj）Pf（θj）  j=1，2，…，M（14）

EMRE=1M∑Mj=1P^f（θj）－Pf（θj）Pf（θj）（15）

其中，M为计算EPPRE和EMRE时分布参数θ中采样点的个数； Pf（θj）表示将分布参数θ固定在θj时用DLMCS法估计的失效概率；P^f（θj）表示将分布参数θ固定在θj时用其他方法估计的失效概率。逐点相对误差EPPRE和平均相对误差EMRE越小时，表明计算结果越精确。

3.1  高非线性振子系统

高非线性振子系统是一个六变量算例，该系统如图1所示。

该系统的功能函数为

g（c1，c2，mo，r，t1，Fa）=3r－2Famoω20sin（ωot12）（16）

ωo=（c1+c2）/mo

式中，c1、c2为两个弹簧的刚度；mo为振子的质量；r为初始位置；t1、Fa分别为冲击时长和冲击幅值；ωo为该振子系统的频率。

上述6个输入变量均服从正态分布，且变量间相互独立，其分布参数信息如表1所示。

（1）假设刚度的均值μc1为设计变量（即θ1=μc1），其中μc1∈［0.8，1.2］，μc2=0.1。首先从分布参数空间中均匀抽取10个采样点，利用DLMCS法计算逐点的失效概率，每个采样点处生成105个样本进行失效概率的计算，此时DLMCS法的计算量为10×105=106。随后利用SLMCS+F-MaxEnt法生成5×104个分布参数样本估计失效概率函数，然后利用AK-MCS+F-MaxEnt法和AK-MCS-K法对失效概率函数进行估计。其中，AF-MCS+F-MaxEnt法中候选样本池大小为5×104，初始训练点为50个；AK-MCS-K法的样本池大小为105，初始训练样本为50个。利用四种方法求得的失效概率函数如图2所示，分布参数采样点处误差如图3所示。采样点处失效概率均值、平均相对误差和功能函数调用次数结果如表2所示。

由图2和图3可看出，相对于SLMCS+F-MaxEnt法和AK-MCS+F-MaxEnt法，AK-MCS-K法在求解失效概率函数时误差更小，对失效概率函数的拟合效果更佳。从表2中计算结果可看出，AK-MCS-K法和AK-MCS+F-MaxEnt法的计算量相当，相对于DLMCS法和SLMCS+F-MaxEnt法均显著降低了计算量。

（2）假设刚度的均值μc1和μc2均为设计参数（即θ1=μc1，θ2=μc2），其中μc1∈［0.8，1.2］，μc1∈［0.08，0.12］。首先在两个设计参数空间中分别抽取10个采样点，则初始采样点为N=10×10=100个，利用DLMCS法计算了逐点的失效概率。对于每个采样点，生成了105个样本点进行失效概率的计算，此时DLMCS法的总计算量为100×105=107。然后利用SLMCS+F-MaxEnt法对失效概率函数进行了估计，生成的总样本量为5×104。最后利用AF-MCS+F-MaxEnt法和AK-MCS-K法对失效概率函数进行了估计。其中，AK-MCS+F-MaxEnt法中候选样本池大小为5×104，AK-MCS-K法的样本池大小为106，初始训练样本均为50个。利用DLMCS法和本文所提出的AK-MCS-K法求得的失效概率函数分别如图4和图5所示，利用四种方法在采样点处失效概率均值、平均相对误差和功能函数调用次数的计算结果如表3所示。

由图4和图5的对比可看出，AK-MCS-K法对失效概率函数的拟合情况较好，从表3中的计算结果可以直观看出虽然AK-MCS-K法相比于

DLMCS3.4129×10-2106

SLMCS+F-MaxEnt3.3596×10-26.3654×10-45×104

AK-MCS+F-MaxEnt3.4250×10-25.8080×10-420+52

AK-MCS-K3.3699×10-28.7223×10-420+49

AK-MCS+F-MaxEnt法和SLMCS+F-MaxEnt法的误差稍大，但在所能接受的范围内，且AK-MCS-K法和AK-MCS+F-MaxEnt法均在满足精度要求的同时显著降低了计算量。

综上，根据高非线性振子系统算例结果可看出，AK-MCS-K法拟合失效概率函数时误差较小，且显著降低了计算量。

3.2  十杆桁架结构

十杆铝桁架结构如图6所示，所有水平杆和竖直杆的长度为L，点载荷分别为F1、F2、F3，每根杆的弹性模量均为E，截面面积为Ai（i=1，2，…，10），15个输入变量服从正态分布且相互独立。输入变量的分布参数信息如表4所示，其有限元分析结果如图7所示。根据有限元的分析结果，该结构的功能函数可定义为

g=0.0032－|Δ2|（17）

其中，Δ2=Δ（L，Ai，E，F1，F2，F3）（i=1，2，…，10）為节点2处的位移（单位为m），该位移是输入变量的隐式函数，可以通过有限元模拟获得。

（1）假设长度L的均值为设计参数（即θ1=μL），且μL∈［0.8，1.0］。横截面积A1的均值为μA1=0.001。四种方法求得的失效概率函数如图8所示，分布参数采样点处误差如图9所示，采样点处失效概率均值、均值相对误差和功能函数调用次数如表5所示。由图8和图9可看出AK-MCS-K法拟合失效概率函数的误差较小，拟合效果更佳。从表5中的计算结果来看，AK-MCS-K法和AK-MCS+F-MaxEnt法的计算量相当，但拟合误差相比AK-MCS+F-MaxEnt法和SLMCS+

F-MaxEnt法都较小，表明AK-MCS-K法具有优越性。

（2）假设长度L的均值μL和横截面积A1的均值μA1均为设计参数（即θ1=μL，θ2=μA1），其中μL∈［0.8，1.0］，μA1∈［0.0005，0.0015］。双变量情况下DLMCS法和AK-MCS-K法估计失效概率函数分别如图10和图11所示，四种方法计算的失效概率函数结果如表6所示。由图10

和图11可看出，AK-MCS-K法对失效概率函数的拟合情况较好，从表6中的计算结果可直观看出，AK-MCS-K法相对于SLMCS+F-MaxEnt法和AK-MCS+F-MaxEnt法的误差均较小，同时AK-MCS-K法与AK-MCS+F-MaxEnt法的计算量相当，这两种方法均显著降低了失效概率函数求解时的计算量。

综上，根据十杆桁架算例结果可看出，AK-MCS-K法对失效概率函数的拟合效果更好，且计算量较小，表明AK-MCS-K法适用于求解复杂功能函数的失效概率函数问题。

4  结论

针对可靠性优化设计中失效概率函数的求解难题，本文提出了一种基于自主学习Kriging方法结合Monte Carlo模拟法（MCS）和Kriging高效求解失效概率函数的新方法（AK-MCS-K法）。通过自主学习Kriging方法在输入变量全空间内拟合失效边界，并替代原模型判断极限状态函数的正负。通过MCS法计算分布参数空间中各采样点的失效概率，最后再次利用Kriging方法进行失效概率函数的拟合。从算例结果中可以看出，AK-MCS-K法在保证精度的基础上，其计算效率相比于DLMCS法和SLMCS+F-MaxEnt法均有大幅提高。AK-MCS-K法在估计复杂非线性功能函数的失效概率函数时有较好表现，为失效概率函数的求解提供了新思路，也为可靠性优化效率的提升打下了坚实基础。

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（編辑  胡佳慧）

作者简介：

宋海征，男，1996年生，博士研究生。研究方向为结构可靠性优化、灵敏度分析等。E-mail：haizhengsong@mail.nwpu.edu.cn。

林华刚（通信作者），男，副教授。研究方向为结构动力学分析、可靠性优化设计。E-mail：huagangl@126.com。