关注尺规作图 发展核心素养

陈文胜 杨娜

［摘 要］《义务教育数学课程标准（2022年版）》（文章简称《课程标准》）在图形与几何领域增加了尺规作图的内容。然而，部分教师对尺规作图的教学价值认识不够，只重视让学生掌握具体的画法，忽视了其育人价值。教师关注《课程标准》中对尺规作图的教学要求，研究其蕴含的育人价值，对实现素养导向的课程目标具有重要意义。

［关键词］小学数学；尺规作图；核心素养

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2024）11-0048-04

尺规作图是指运用无刻度直尺和圆规，在有限的使用次数下解决平面几何问题的操作方法。尺规作图是古希腊数学研究的重要课题之一，数学家欧几里得在《几何原本》中进行了系统性的研究。从《几何原本》中的几何命题到古希腊著名的“三等分任意角”“立方倍积”“化圆为方”三大作图难题，尺规作图有着悠久的历史，能提高学生的几何直观、数学量感、推理意识、创新意识与应用意识，并深刻影响着他们核心素养的发展。

一、概念可视化，凸显几何直观

《课程标准》从第二学段开始，便在图形与几何领域呈现与尺规作图有关的学习内容，具体为“会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段”和“用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上”，学业要求分别是“感知线段长度与两点间距离的关系”与“感知线段长度的可加性，理解三角形的周长”。到了第三学段，与尺规作图相关的内容是“基于给定线段用直尺和圆规画三角形”“探索并说明三角形任意两边之和大于第三边的道理”。从学业要求中的“感知”“直观感受”“感悟”等行为动词，可以看出尺规作图的教学必须凸显几何直观。尺规作图中直尺的主要功能是画线段、直线和射线，圆规的主要功能是画圆或圆弧，以及截取等长的线段。通过尺规作图，可以将一些抽象的、枯燥的数学概念及性质以具象的形式展现出来，如周长、平行、垂直、角度、比例等，帮助学生更好地理解与掌握知识。

例如，有教师通过尺规作图教学“三角形的周长”时，在学生初步感知三角形的周长，即三角形三条边的长度和之后，教师便逐步引导学生运用尺规作图的方法解决“三角形的周长”问题。具体操作步骤为：用圆规分别取三角形的三边长度，并将其长度顺次刻画在一条直线上，再用直尺测量对应线段的长度，即可得到三角形的周长。在整个测量过程中，学生能够清晰、准确、直观地感受到三角形三边与通过尺规作图得到的线段之间的关系。

通过上述教学，既能让学生了解尺规作图测量的精确性，将三角形的周长概念可视化，又能让学生厘清周长的概念，将周长的概念内化于心、外化于行，为后续深入探究其他图形的周长奠定基础。通过绘制几何图形，可以增强学生对几何关系和性质的直观感受，帮助他们逐渐形成几何直觉。通过这样的教学，学生可以更深入地思考和研究不同图形之间的关系，感知几何图形的特点和变化，从而在抽象的数学内容与具体图式之间建立密切联系。

二、問题具象化，发展数学量感

问题具象化是将抽象的问题或概念转化为具体、可操作的形式或表达方式的过程。它可以将复杂或抽象的问题分解成更简单、更明确的子问题，或将抽象的概念转化为具体的图像、实例或实际情况，将问题对象分解，使问题更易于解决。通过问题具象化，教师可以更加清楚地定义问题的范围和要求，并找到解决方案的途径。数学量感指的是将个体置身于具体学习探究活动中，注重身体的虚实感知，从而结合已有经验表达主体对于客体的感觉的过程。可见，量感的获得和发展与学生个体的体验密切相关。培养学生的量感就需要学生个体积极参与到这个持续、螺旋上升的学习探究之中，从而达到逐步解决问题的目的。

例如，有教师教学“比长短——初识尺规”时，将教学分为三个环节——众说尺规、比较长短、应用尺规。课堂一开始，教师便出示直尺与圆规的图示，引导学生积极思考两个工具的作用，使学生在和同伴的交流中激发对直尺与圆规的认识兴趣。紧接着，教师出示不同位置的两条线段的长度，并让学生进行观察、猜想、验证，引导学生借助直尺与圆规将问题具象化。学生通过测量比较了两条线段的长短后，便总结出：①线段长短的比较可以通过直尺与圆规完成；②运用圆规定点、半径定长比较线段长度的结果更为精确。最后，教师通过设置“运用尺规比长短”的练习挑战，帮助学生巩固课堂收获，让学生在猜想与验证线段长短关系的过程中，积累尺规作图的基本活动经验和逐步发展量感。

量感的培养有利于学生养成用定量的方法认识和解决问题的习惯，同时也是他们形成抽象能力和应用意识的经验基础，促进他们数学建模思想的形成与建模能力的提升。在上述教学过程中，对于学生量感的培养主要表现为：①明白度量的客体是长度而非面积；②能够选用合适的度量单位进行长短比较；③能够正确地选择测量工具和方法，从而较为精确地比较两条线段的长短。在整个教学过程中，教师通过让学生观察、猜测、验证、推理等活动，借助直尺与圆规将抽象的问题具体化，使问题的解决具有可操作性。活动期间，学生通过动手实践对问题进行了深入探讨，激发了主观能动性，发展了量感。

三、思维外显化，发展推理意识

思维外显化是指将内在的思维过程和概念借助尺规作图清晰地呈现出来，帮助学生思考、理解，并进一步展开推理。在进行尺规作图的过程中，根据已知条件进行分析，选择对应的构图方法与步骤表达数学关系与性质，这个过程可令学生将抽象的思维过程转换为具体的操作，通过观察和实践来验证他们的推理。思维过程的外显化，突出了思维的可视化，使学生可以更清晰地观察及分析问题，辅助他们解决实际问题，并逐步发展推理意识。

例如，有教师在教学“任意三条线段能围成一个三角形吗”时，先让学生用手中1 cm～9 cm长的小棒围一围三角形。学生动手操作并展示成果后，教师给出4组数据（3 cm、4 cm、8 cm）（3 cm、5 cm、8 cm）（4 cm、5 cm、8 cm）（3 cm、4 cm、5 cm），让学生借助直尺以每组最大的数据画线段，并以线段两端点为圆心，运用圆规以剩余2个数据的长度为半径画2个圆弧。学生观察图形的变化（如图1-1、图1-2、图1-3、图1-4），并借助外显的思维过程总结出：三角形的两边之和大于第三边。

在教学这一内容时，教师让学生借助尺规作图感知三角形的三边关系，从而保留作图痕迹，连续呈现整个构图过程的变化，突出思维过程的外显化。借助直观图示进行推理活动，通过思维过程外显化，学生可以观察和比较不同的构图方法，形成初步的推理意识；通过对推理过程的观察和分析，学生可以逐步形成自己的推理习惯和策略；通过手脑并用的推理探究活动，将“做中学、做中用、做中求进步”的理念落到实处，有助于学生核心素养的发展，为终身学习打下坚实的基础。

四、解法多样化，开拓创新意识

问题没有唯一解，却有最优解，正所谓思路千变万化，解题百般方法。尺规作图亦是如此，同一个图形可以有多种不同的呈现方式。学生可以通过选择不同的作图步骤和顺序来完成目标图形，而不同的方法和顺序会产生不同的图形效果。在尺规作图时，通过多样化的解题方式可以使学生感受不同的思维方式和解题策略，有利于他们开拓创造性思维与意识，提升问题解决的能力。

例如，有教师在教学“测量三角形的周长”时，给定任意三角形、无刻度的直尺与圆规，让学生借助给定的用具以及身边的学具测量三角形的周长。学生自主动手操作后分享成果。

①先借助无刻度的直尺画1条直线，再通过圆规确定三角形每两个点之间的距离，最后在直线上做标记（如图2-1）。

②利用圆规分别取三角形的三边为半径画半圆（如图2-2）。

③先用铅笔在直尺上做一个标记（视为0刻度），用直尺测量三角形每边的长度后，在直尺上用铅笔进行标记（视为终点刻度），再通过直尺上的标记将线段移到直线上，从而测得三角形的周长（如图2-3）。

④借助结绳记事的方法测量三角形的周长。先在绳子一端打结，然后将绳子打结的位置与点A重合，再将绳子绕三角形一周，当绳子与三角形的顶点重合时就打一个结。绳子的第一个结到第四个结之间的长度即为三角形的周长（如图2-4）。

从上述学生的測量方法来看，学生的思维并不局限于某一种固定模式，而是发散的，学生能尽可能地借助身边可使用的物品，探究出不同的测量三角形周长的方法。操作过程不仅体现了学生对于解决问题的灵活变通，也表明学生突破了传统思维的束缚，打开了问题解决的新视角——学会从多角度出发、创造性地解决问题。上述尺规作图教学过程中，通过多样化的解题方式使学生尝试不同的构图思路、探索多途径的解决办法，开拓了学生的创造性思维、发散性思维，培养了学生灵活运用知识的能力，使学生在未来的学习道路中能够主动采用不同的解题思路、尝试创新，以求更加高效地解决更为复杂的数学问题。

五、图形趣味化，落实应用意识

要激发学生的学习动力，培养他们自主探究的意识和能力，兴趣就是他们保持学习持久的内在驱动力。学生对于感兴趣的内容会主动花费时间和精力去深入学习。在数学活动中，通过尺规作图，可以将抽象的数学知识转化为有趣的具体图示，使学生能够轻松理解。而在解决实际问题的过程中，通过尺规作图，学生能够准确地建构简洁有趣的数学模型，灵活地运用数学知识，并逐渐形成应用意识，发展应用能力。

在大多数人的眼中，圆规和直尺只能画简单的圆和直线，实际上并非如此。生活中许许多多的建筑设计、平面展示与广告宣传中都巧妙地运用了尺规作图。在教学中，教师可以引导学生利用尺规完成一些图案，如风车、瓷砖花纹、八卦图（如图3）。为了让学生进一步感受尺规作图的应用价值，可将数学与美术相融合，即教师给学生提供相应的绘画“支架”，引导学生运用尺规作图感悟数学图形之美；在综合实践课中，结合实际情况，针对爱护动物的主题，引导学生运用尺规作图绘制动物保护标识；在生活中，教师、家长积极引导学生将尺规作图的相关知识加以实践，如为餐厅的桌布绘制图案、设计花园的外墙瓷砖花纹等。

尺规作图能够在学生绘制具体的几何图形时提供一种准确、系统的方法，使他们能够将抽象的数学概念转化为有趣且直观的图示，以解决实际问题。同时，趣味化的图示有利于激发学生的学习兴趣，吸引他们主动探索相关的数学知识。上述列举的操作活动，不仅可以激发学生的学习兴趣，充分调动学生的自主性，还可以让学生在具体绘制图形过程中感悟尺规作图与实际生活之间的联系，使学生持续将学到的数学技能加以实践与巩固，逐步养成理论结合实践的习惯，并对数学始终保持兴趣与热爱，从而促进应用意识的不断发展和应用能力的不断提升。

综上所述，小学阶段学生的思维范式基本上是从形象思维逐步过渡到抽象思维，是持续发展、螺旋上升的过程。而尺规作图是这一过程中的“助力器”，不仅能够将抽象问题具象化，帮助学生进行初步的思维判断，还可以将思维结果图示化，辅助学生更加直观、轻松地解决实际问题。

在使用尺规作图过程中，学生可能会出现把玩圆规、不跟随课堂节奏走等影响课堂质量的情况。另外，也存在部分教师忽视尺规作图真正的育人价值的现象。这些都会使课堂出现“为了教而教”的状况，影响尺规作图育人价值的发挥。在实际教学中，数学教师要针对学生核心素养的培养与发展给学生提供多样性、融合性、创新性的教学资源，以兴趣引导为主，提供示范与指导，鼓励学生主动实践应用尺规作图的相关知识。课后，数学教师还要及时反馈学生的学习表现与反思自身的不足，及时做出策略调整，辅助学生牢固尺规作图的基础，并为后续深入学习提供经验。

［ 参 考 文 献 ］

［1］ 骆文娟.从《原本》与“课标”谈尺规作图教学［J］.数学通报，2022，61（12）：17-21.

［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］ 林丹，翟羽佳，古德英，等.大单元结构化背景下量感的培养策略：以北师大版三年级上册“什么是周长”为例［J］.教育科学论坛，2023（5）：28-31.

［4］ 李雪峰，朱春雷.融入尺规作图  发展数学思维：“三角形三边的关系”教学片断与思考［J］.小学数学教育，2023（10）：43-45.

【本文系福建省教育科学“十四五”规划2022年度课题“‘双减背景下教师教学决策能力培养研究”研究成果（课题编号：FJJKBK22-020）。】

（责编 覃小慧）