2008年全国高考江苏卷物理试题さ8题的定量分析

李红伟 姜付锦

摘要：本文着重从电工学角度分析2008年全国高考江苏卷物理试题第8题中三个灯泡中电流的变化规律.先用定性的方法分析，接着用定量研究得到了电路中电流变化的规律，并纠正一种错误的认识，最后用数学软件Maple 13对其电流规律进行了数值模拟，最终证明了此题的科学性和严密性.

关键词：定量分析；Maple 13；数值模拟

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0103-03

数值模拟技术起源于西方发达资本主义国家，全世界主要有以下四个数学软件运用得最多，它们分别是Mathematica（美国）、Maple（加拿大）、Matlab（美国）、Mathcad（美国）.主要是用来做工程计算，普遍应用于机器制造、建筑设计等领域.当下高中物理中有一类试题，可以用定性或半定量的方法来分析它，但是总觉得分析得不是很到位.若要定量研究则需要解高阶微分方程或方程组，对一线物理老师来讲有一些困难，但是我们可以用上面提到的数值模拟软件来分析这些问题，还可以让结果与过程可视化.

1 题目

如图1所示的电路中，三个相同的灯泡a、b、c和电感L1、L2与直流电源连接，电感的电阻忽略不计.电键K从闭合状态突然断开时，下列判断正确的有（）.

A.a先变亮，然后逐渐变暗

B.b先变亮.然后逐渐变暗

C.c先变亮，然后逐渐变暗

D.b、c都逐渐变暗

1.1 定性分析

设电键S闭合时每个灯泡流过的电流为I，则流过电感L1的电流为2I，流过电感L2的电流为I.断开电键S的瞬间，通过电感上的电流不会发生突变，L1中的电流从2I减小到零，L2中的电流从I减小到零，b，c中的电流都从I减小到零，a中的电流从2I减小到零，故b，c逐漸变暗，a先亮一下后逐渐变暗，选项AD正确[1-2].

点评通电自感和断电自感是较常见的现象，判断在开关通、断的极短时间内的电流的变化是难点所在.关键是要掌握电流变化的一般规律：电感线圈中的电流不能突变，因为自感电动势总是在阻碍电流的变化，根据电流的变化规律，就可以顺利地解决灯泡亮度变化的问题.

1.2 一种错误的认识

假设电键S闭合时每个灯泡流过的电流为I，则流过电感L1的电流为2I，流过电感L2的电流为I，也就是断开电键S后两线圈感应电流的最大值.S断开瞬间，线圈L1、L2都产生自感电流，按照基尔霍夫定律来分析，流过a的电流最大值是5I/2，方向向上，流过b的电流最大值为I/2，方向向下，流过c的电流最大值为2I，方向向下，在此基础上，各灯泡的电流都减弱，则结果应是：a先变亮，然后逐渐变暗；b逐渐变暗；c先变亮，然后逐渐变暗，答案为AC.文中既没有相应的微分方程求解，也没有认识到电感线圈中的感应电流不能突变[3]，笔者认为这种观点是错误的，在下文会对其进行理论分析.

2 定量分析

设S断开后某时刻L1中的电流为I1，L2中的电流为I2，三个灯泡的电阻均为R，电感线圈的电感分别为L1、L2，则根据基尔霍夫定律可知[4]

L1dI1dt+L2dI2dt+（I1+I2）R=0

由部分电路欧姆定律可知

L2dI2dt+RI2=R（I1-I2）

电路的初始值状态为I1（0）=2I，I2（0）=I

2.1 利用Maple13解方程组

利用Maple13强大的符号运算能力来求解上述方程很方便，如图2所示.

方程组的解为

I1（t）=1L1［IL2（L2+L1+L22+L21-L1L2）e（-L2-L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2+IL1（L2+L1+L22+L21-L1L2）e（-L2-L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2+I2（L2+L1+L22+L21-L1L2）e（-L2-L1+L22+L21-L1L2）RtL1L2-IL2（-L2-L1+L22+L21-L1L2）e-（L2+L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2+IL2（-L2-L1+L22+L21-L1L2）e-（L2+L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2+IL1（-L2-L1+L22+L21-L1L2）e-（L2+L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2-I2（-L2-L1+L22+L21-L1L2）e-（L2+L1+L22+L21-L1L2）RtL1L2］

I2（t）=I（L2+L1+L22+L21-L1L2）e（-L2-L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2+IL2（-L2-L1+L22+L21-L1L2）e（-L2-L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2

I3（t）=I1（t）-I2（t）

2.2 数值模拟

令L1=2 H，L2=1 H，R=10 Ω，I=1 A，数值模拟如图3所示.

由图3可知a中的电流先变大后逐渐变小，b，c中电流逐渐变小，答案AD正确.还可以知道b中的电流比c中的大，这是因为当电流变化时c所在支路中的电感有感抗.

2.3 拓展研究

研究电键S闭合后的三个灯泡中电流的变化规律，设电源的电动势为E，内阻为r，三个灯泡中的电流分别为I1、I2、I3，根据基尔霍夫定律有

E=L1d（I2+I3）dt+L2dI3dt+I3R+r（I1+I2+I3）

L2dI3dt+I3R=RI2

L1d（I1+I3）dt+L2dI3dt+I3R=RI1

电路的初始状态为I3（0）=0，I2（0）=0，I1（0）=ER+r

令L1=L2=1H，R=r=1Ω，E=1V，利用Maple13解方程和数值模拟如图4所示.

由图4可知，a的电流逐渐变小，b，c的电流逐渐变大，最后三个灯泡一样亮.还可以知道b中的电流比c中的大，这是因为当电流变化时c所在支路中的电感有感抗.

2.4 电感、电阻和电容在电路中作用

只有电阻的单棒或双棒模型规律是以e为底的指数函数，达到稳定状态的时间理论是无穷大，在设定比较小的数据时，物理规律很可能不自洽，所以在命题时最好用字母来表示.电磁感应电路中电阻和电感是两种非常重要的元件，电阻的作用类似力学中摩擦力起耗散作用；电感的作用类似力学中的弹簧，起储存或释放能量的作用；若两者都没有，则题目容易出问题；若电路中只有电感，则电路中电流是简谐振动；若是电阻和电感组合，则电路中电流是阻尼振荡.电容器在电磁感应中的作用也类似弹簧，电容必须与电阻或电感搭配起来，否则电路不能工作，其本质类似一个质量为C（BL）2的物体与真实的物体通过轻绳连接后作用过程，电容器上的电场能类似这个物体上的动能；若电路中有电阻没有电感，则电容器充电完成或放电完成所需时间理论上是无穷大.

3 结束语

通过对这个问题的研究不难发现，由图3可知a中的电流先变大后逐渐变小，b，c中电流逐渐变小，最后三个灯泡一样亮.还可以知道b中的电流比c中的大，這是因为当电流变化时c所在支路中的电感有感抗.现在高考题的趋势是正在向大学物理题转型，所在平时的教学中我们可以先对其进行定性分析，然后借助专业软件对其进行数值模拟来验证上面的定性分析，这对提高学生分析问题的能力和研究能力是很有帮助的.

参考文献：

[1]何勇军.例谈含电感与电容类电路问题的解题策略[J].中学物理，2012（1）：58-60.

[2] 刘波.叠加原理在电磁感应中的应用举例[J].中学物理，2012（2）：30-31.

[3] 曹军利.一道高考题答案的商榷[J].中学物理，2014（10）：41.

[4] 张友学.对一个通电自感现象解释的理论分析[J].中学物理，2013（8）：35-36.

［责任编辑：李璟］