生物力学约束下的多孔结构鞋中底设计

朱粉英 程华钦 刘斌

摘要：提出一种由足底压力映射的三维维诺（Voronoi）支杆鞋中底结构设计方法。将足底压力信息作为鞋中底结构设计的数据驱动基础，采用加权随机采样策略构建Voronoi站点；通过裁剪算法，使三维Voronoi图适应鞋中底边界；以裁剪后的三维Voronoi边为骨架线，采用隐式曲面建模技术和隐式函数融合生成光滑连续的三维Voronoi支柱鞋中底。测试结果表明：三维Voronoi支柱鞋中底可以使足底压力分布更加均匀，并可有效地减轻跖骨和足跟区域的负荷，降低足底压力异常集中导致关节损伤的概率。

关键词：鞋中底；足底压力；多孔结构；维诺图；隐式曲面

中图分类号：TH 122；TP 391文献标志码：A

文章编号：1000-5013（2024）03-0314-10

Design of Porous Structure Midsole Under Biomechanical Constraints

ZHU Fenying¹，CHENG Huaqin²，LIU Bin²

（1. Huaqiao University Hospital，Huaqiao University，Xiamen 361021，China；2. College of Mechanical Engineering and Automation，Huaqiao University，Xiamen 361021，China）

Abstract：A 3D Voronoi strut midsole structure design method based on plantar pressure mapping is proposed. Using plantar pressure information as the data-driven basis for midsole structure design，a Voronoi site is constructed using a weighted random sampling strategy. The 3D Voronoi diagram is adapted to the midsole boundary through cropping algorithms. Using the trimmed 3D Voronoi edge as the skeleton line，implicit surface modeling technology and implicit function fusion are used to generate a smooth and continuous 3D Voronoi strut midsole. The test results show that the 3D Voronoi strut midsole can make the pressure distribution on the sole of the foot more uniform，effectively reduce the load on the metatarsal and heel areas，as a consequence，significantly reduce the probability of joint damage caused by abnormal concentration of plantar pressure.

Keywords：midsole；plantar pressure；porous structure；Voronoi diagram；implicit surface

隨着生活水平的显著提高，人们越来越关注鞋子穿着的健康问题。研究表明，足底压力峰值是前脚疼痛综合征的主要原因之一^[1-2]。足底压力高也会导致距骨痛、足跟损伤、软骨损伤和足底溃疡等疾病^[3-6]。此外，一些患者可能会无意识地改变缓解疼痛的姿势，这会抑制正常的行为活动，导致腿部、膝盖和背部的健康问题。运动鞋鞋中底具有吸能、减震、平衡支撑的作用，对分配脚底压力分布起着决定性作用，因此，设计与足底压力分布相适配的鞋中底对于鞋子穿着的健康性具有重要意义。

3D打印技术的快速进步颠覆了传统的制鞋技术，使鞋业朝着快速、高效、定制化、可持续的方向发展^[7]。利用维诺（Voronoi）多孔结构的优异性能进行面向3D打印的鞋中底设计方案，得到了相关领域专家和工程界的广泛关注^[8]。因此，本文利用足底压力数据对三维Voronoi图进行控制，提出一种在足底压力映射的三维Voronoi支杆鞋中底设计方法。

1 足底压力驱动的多孔结构鞋中底设计

1.1 设计思路与流程

为了设计与足底压力分布特征匹配的定制化多孔鞋中底，将足底压力数据作为输入，利用应力分布与相对密度分布的映射模型，实现对三维Voronoi胞元密度的调控。三维Voronoi支杆结构在形状尺寸上更易精确控制，从而更易调控其局部性能，实现定制化设计目标。

三维Voronoi支杆鞋中底的结构设计流程图，如图1所示。首先，使用足底压力测量系统采集足底压力分布数据；然后，根据有限元软件模拟获得鞋中底的应力分布，并将其作为鞋中底结构设计的驱动条件；再次，构建鞋中底的应力分布向Voronoi站点分布的映射，根据Voronoi站点加权随机采样策略，生成自适应的Voronoi图；通过Voronoi裁剪算法适配鞋中底模型，以Voronoi图的边为骨架线，结合隐式曲面造型技术生成光滑连续的Voronoi支杆结构；最后，以Voronoi支杆结构为鞋底模型的内部填充，生成集保护性、舒适性、功能性为一体的定制化鞋中底。

1.2 足底压力测量

使用F-Scan测量系统对足底压力进行测量，如图2所示。足底压力传感垫的实际有效测量面积约为48.77 cm×44.70 cm，采样频率为185 Hz。待测人员裸足站立在压力传感垫上，所采集压力数据实时显示在计算机屏幕上（图2（a））。

由于压力传感器获得的足底压力云图是实时变化的，考虑到测量的准确性，被测人员身姿需要保持挺直，放松稳定10 s后开始测量。在同一测量条件下进行4次重复实验，然后从300张压力图中筛选出峰值压力云图，导出足底压力分布数据作为后续鞋中底结构设计的依据。

将获得的足底压力数据作为输入信息，使用ABAQUS有限元分析软件进行数值仿真模拟。综合考虑鞋中底需具备的弹性和缓冲减震等性能，根据实验室的现有条件，选择具备较好弹性的聚氨酯作为打印材料，在ABAQUS中设置材料参数和初始条件、边界条件，计算得到静态站立时鞋中底的压力云图（图2（b））。结合生物力学特性，将足底模型划分成脚趾、跖骨、足弓和后跟4个区域，以便更加准确地评估足底压力分布情况。由图2（b）可以看出，两只鞋中底的应力分布并不完全一致，这与个体重心分布、脚型特征差异等因素有关。跖骨和后跟这两个区域应力较大，为了减轻这两个区域的受力负担，需要调整鞋中底的密度分布，重新分布足底压力，以减少足底压力过大给身体带来的伤害。

1.3 基于加权随机采样策略的3D Voronoi图构建

通过调整鞋中底的密度分布来控制其强度（弹性）分布。密度分布可以从材料和结构两个方面进行调整。采用多孔结构作为填充物来调整结构密度更具灵活性和可实现性。Voronoi图具有连续性好的特点，通过控制Voronoi站点的分布可以改变结构密度分布。因此，引入三维Voronoi图作为鞋中底结构设计的骨架。

二维Voronoi图是由连接两邻近站点线段的垂直平分线组成的连续多边形，它的构造顺序一般为先构建Delaunay三角形，再根据对偶生成Voronoi图。拓展到三维空间，表现为一系列平面垂直平分相邻站点所连接的线段，由这些平分面组成的多面体构成Voronoi胞元，相应地可以根据四面体对偶生成三维Voronoi图，这是划分三维Voronoi图的基本方法之一。依据Voro++开源库^[9]实现对三维Voronoi图的构建。给定一个有界开集Ω∈R³和一组点{P_i}ⁿ_i=1，Voronoi图定义为

V_i={x∈Ω|d（x，P_i）j），j={1，2，…，n}，j≠i}，  i=1，2，…，n。（1）

式（1）中：V_i表示第i个Voronoi胞元，集合{V_i}ⁿ_i=1构成Voronoi图。

根据初始随机站点生成的Voronoi胞元分布不均匀，在局部区域易出现胞元密集或稀疏的情况，对整体的性能有较大的影响，如图3（a）所示。

为了更好地调节空间中站点的分布，防止出现局部性能差异过大的情况，有必要对三维Voronoi图做重心迭代处理，使胞元的分布更均匀，胞元尺寸趋于一致。采用Lloyd重心迭代算法^[10]，使每個Voronoi站点向各自Voronoi胞元的重心位置移动，从而实现胞元均匀分布的效果，重心迭代后的Voronoi图，如图3（b）所示。

局部足底压力高是使穿着者感到不舒服的主要原因之一。实验设计的目标是减小足底压力的峰值压力和区域之间的压力差，将足底压力重新分布到尽可能多的区域。因此，对于高应力区，应增加Voronoi胞元的数量以提高局部密度；对于低应力区，应减少Voronoi胞元的数量以降低低应力区域的局部密度。提出基于应力的加权随机采样策略来控制Voronoi站点的分布，以提供适当的鞋中底弹性和刚度，满足定制化设计要求。加权随机采样策略的具体步骤如下。

1）对鞋中底模型的包围盒进行均匀栅格化，并将这些栅格顶点视为候选站点。候选站点与有限元分析获得的应力节点之间不是一一对应的。只有与候选站点相邻的有限元节点对站点有显著影响。采用k近邻算法，通过选择n个近邻有限元节点来计算候选站点的应力值。候选站点的应力值σ^j通过反向距离加权方法计算，即

式（2）中：σⁱ为第i个邻近节点的应力；u_i，j为权因子，定义为

式（3）中：d_i，j为候选站点到其邻近节点的欧式距离。

2）从所有候选站点中提取m个采样点作为Voronoi站点。这里，m要远小于候选站点总数。随机采样方法参考文献[11]中的蓄水池采样策略，即

式（4）中：R为采样产生的随机数，位于0～1之间；ω_i为第i个候选站点处的相对密度；S_i为第i个候选站点处的采样分数，对每个候选点计算出采样分数后，从大到小对采样分数进行排序，选取前m个样本点作为Voronoi站点。

根据前期工作，应力分布与相对密度之间的映射关系^[12]可以表示为

式（5）中：σⁱ_e表示等效应力，即第i节点的von Mises；σ_p表示基材的比例极限。

3）根据加权Voronoi站点构建三维Voronoi图。鞋中底模型边界框内的三维Voronoi图，如图4所示。由图4可知：通过加权随机采样计算的三维Voronoi图可以精确地匹配足底压力，并可以根据力学条件调节密度分布。Voronoi胞元在高应力区域（图2（b）中的跖骨和后跟区域）变得更密集；相反，Voronoi胞元在低应力区域（图2（b）中脚趾和足弓的区域）变得更稀疏。

三维Voronoi图在鞋中底的最小边界框内生成。为了使三维Voronoi图适配鞋中底外形，求长方体包围盒中生成的三维Voronoi图与鞋中底模型的交集。为简化三维Voronoi图和鞋中底模型间交叉点的计算，应先确定Voronoi单元和鞋中底模型的相对位置，只允许与模型有交叉点的Voronois单元参与剪切操作。Voronoi胞元裁剪与重构算法，如图5所示。

适配边界约束的三维Voronoi图，如图6所示。

1.4 随机采样对多孔结构力学性能的影响

为了为探究Voronoi站点随机分布对模型压缩力学性能的影响，在站点数量一致的前提下，生成相对密度（ω）分别为0.3，0.4，0.5，尺寸（长×宽×高）为36 mm×36 mm×36 mm的3组Voronoi支杆立方体模型，每组有5个模型，其相对密度保持一致。将设计好的支杆模型通过CREALITY CR-3040 Pro型熔融沉积成型（FDM）打印机进行打印，打印材料选择聚乳酸（PLA）丝材，通过拉伸实验测得材料的杨氏模量为 2 400 MPa，泊松比为0.35。3组Voronoi支杆立方体模型的打印结果，如图7所示。图7中：每排模型的质量均保持一致。

根据国家标准GB/T 1041-1992《塑料拉伸性能试验法》，在TSE504D型万能机械试验机上进行压缩实验，压缩速度为1 mm·min^-1。3组Voronoi支杆结构随机性实验结果，如图8所示。图8中：F为压力；D为位移。实验结果表明，相对密度相同的支杆模型在弹性阶段的力学性能基本一致，说明在弹性阶段随机性对模型力学性能的影响较小；当进入塑性变形阶段时，曲线的变化趋势仍相似，但数值的波动较大，相对密度为0.3，0.4，0.5的3组实验的最大相对误差分别为10.07%，9.61%，8.72%。这是因为在站点随机分布的情况下，有些地方支杆相对密集而有些位置较为稀疏，在变形乃至压溃过程中支杆提供的支持不一致，在塑性变形阶段支杆模型的力学性能受随机性影响较大。对于鞋中底来说，其变形都保持在弹性范围内，因而可以忽略随机采样的影响。

1.5 基于Voronoi边的隐式曲面建模

1.5.1 隐式曲面 在获得适配鞋中底模型边界的Voronoi图后，相当于获得了多孔结构的布局，接下來的工作是将其实体化，形成可3D打印的多孔结构鞋中底模型。为此，以Voronoi图的边作为骨架线，结合隐式曲面建模技术构建Voronoi支杆结构。在三维空间中隐式曲面的定义为

S_α={q∈R³|F（q）=α}。（6）

式（6）中：q为三维空间点；F（q）为势函数；α为等势值。

与参数曲面相比，隐式曲面虽然可控性差，但易于判断与空间点的相对位置。当F（q）>α时，q在闭合曲面外部；当F（q）<α时，q在闭合曲面内部；当F（q）=α时，q在曲面上。此外，隐式曲面具有很高的光滑性。隐式曲面造型的关键问题是构造势函数F（q），通过设计势函数能够得到复杂的曲面^[13]。

以Voronoi胞元的边为骨架线，根据空间点与骨架线的距离建立势函数。即

F_e（q）=（q-v_i）·n_i。（7）

式（7）中：v_i为Voronoi顶点；n_i为空间点q指向Voronoi边V_e垂直方向的单位法矢。

根据势函数的定义，等势值α相当于以Voronoi胞元的边（骨架线）为中心轴线构造半径为α的Voronoi圆柱支杆。当α =0时，点与骨架线的距离为0，所获得的支杆为骨架线本身。

1.5.2 隐式函数的调和 基于隐式曲面的3D Voronoi支杆结构，如图9所示。直接以Voronoi边为骨架结合隐式函数计算得到的Voronoi支杆在其顶点位置会产生干涉现象，即多个支杆间相互交叉（图9（a））。交叉位置容易出现应力集中现象，为了保证模型的力学性能及整体结构的连续性和美观性，需要对其做进一步的处理。传统的处理方法是在顶点处放置一球体，让球体分别与相连的支杆模型做布尔并运算。这种方法计算量巨大且依赖于网格质量，鲁棒性差。为此，采用势函数调和策略，将对三角网格模型的布尔操作问题转化为对数学函数的运算问题，克服因大量布尔运算带来的数值计算不稳定、计算量大、鲁棒性差等问题。

相邻Voronoi支杆间融合的具体实现如下。首先，构造空间点到Voronoi边的势函数F_e（q），根据式（7）实现。其次，构造空间点到Voronoi顶点（Voronoi边的端点）的势函数F_v（q），根据空间点q与Voronoi顶点v_i的距离建立势函数。即

式（8）中：（q_x，q_y，q_z）表示空间点q的三维坐标值；（v_i，x，v_i，y，v_i，z）表示顶点v_i的三维坐标值。

最后，将同一Voronoi胞元的顶点和其对应的Voronoi边相接处的势函数调和叠加进行势值融合操作。使用Ricci超椭圆融合算子实现相交处的平滑过渡^[14]，广义融合操作为

式（9）中：β表示调节因子，当β =1时，为狭义融合操作；当β→∞时，融合效果与布尔并操作相似；当β→-∞时，融合效果接近布尔交操作，文中β取值为2。经调和处理后的接头效果，如图9（b）所示。

由上述方法生成的与足底压力相适配的多孔结构鞋中底模型，如图10所示。由图10可知：鞋中底在密度上具有渐变和连续过渡。从局部放大图中可以看出，Voronoi胞元在跖骨和足跟区域更密集，而在脚趾和足弓区域，Voronoi胞元更稀疏。

2 鞋中底性能测试

多孔结构虽然具备非常好的性能，但其结构复杂，传统加工或成型方法都无法制造。3D打印技术的快速进步使多孔结构的快速制造成为可能。在众多的3D打印技术中，FDM工艺简单，设备便宜，因此选用FDM打印鞋中底。打印材料选用聚氨酯（TPU），该材料具有良好的弹性、柔韧性、耐磨性、耐用性，成本低廉。TPU的杨氏模量为26 MPa，泊松比为0.46。打印设置层厚为0.1 mm，打印速度为15 mm·s^-1。3D打印Voronoi支杆鞋中底模型，如图11所示。由图11可知：选择TPU打印材料的鞋中底具有较好的变形能力。

2.1 静态足底压力测试

静态足底压力实验是一种有效评估站立时足底表面压力分布的方法，该实验能够直观地提供用户足部生物力学有价值的信息，特别是矫形设计相关信息。检验所设计的Voronoi鞋中底性能最直接、有效的方式是对足底压力进行采集。使用F-Scan测量系统对静态的足底压力进行测量，将足底压力传感器贴合在鞋中底的上表面，被测人员双脚绑上固定绷带，将Cuff贴在绷带上以保证压力传感器稳定不受外界噪声干扰。体质量为75 kg的被测人员挺直站立于贴有鞋垫式压力传感器的鞋中底上，采集静态站立时的足底峰值压力，如图12所示。

在足部健康研究中，足底峰值压力是一个重要的评价指标。峰值压力越大或足底压力分布越集中，地面回弹力越大，足部舒适度越低，越容易出现疲劳或局部损伤，严重时可能导致关节损伤^[15]。当峰值压力较小且分布较均匀时，不仅可以提高穿着的舒适性，而且在一定程度上能够纠正特殊足型局部压力异常集中的问题。为了更准确地获取足底压力数据，分别对足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底和重心Voronoi支杆鞋中底进行5次重复性实验，记录后跟和跖骨的峰值压力，如表1所示。

静态站立时的足底峰值压力云图，如图13所示。由表1和图13可知：在静态站立时，左、右足的峰值压力略有偏差，但总体的趋势保持一致。

对5组实验数据取平均值，拟合得到沿腳长方向的足底压力曲线，如图14所示。图14中：P为足底压力；L为脚长；蓝色区域为跖骨区域；红色区域为后跟区域。由图14可知：足底受力区域主要集中在跖骨及后跟区域，双足足底压力曲线均呈现典型的双峰特征；跖骨区域，足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底的最大峰值压力为0.071 MPa，相比重心Voronoi支杆鞋中底的最大峰值压力（0.095 MPa）下降了25.3%；后跟区域，足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底的最大峰值压力为0.085 MPa，相比重心Voronoi支杆鞋中底的最大峰值压力（0.129 MPa）下降了34.1%。

中设计的鞋中底能够显著降低静态站立时跖骨和后跟区域的压力，同时使鞋中底的压力分布更加均匀，表明足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底可以有效调整足底压力分布，提供更舒适的穿着体验，减少足部支撑负担，降低足部及关节损伤的风险。

2.2 步态分析对比

步态是步行的行为特征，分析评估步行时的足底压力变化，对临床诊断、疗效评估和术后疗效评价均具有重要意义。看似简单的步行实际上是由一系列复杂的动作组成，一般来说，步行被定义为一系列连续的步态，一个步态周期是指同一脚跟2次触地之间的时间间隔。步态由支撑阶段和摆动阶段组成，其中，支撑阶段为足部接触地面的时间，约占步态周期的60%，主要为单足支撑。

研究穿着不同鞋中底的鞋在行走过程中足底的压力变化。动态足底压力测量，如图15所示。步态采集过程中，测试人员穿着文中设计的鞋中底以平常的步态自然行走，实时采集步行过程中的足部压力，获得整个行走过程中足底各处的压力、峰值压力等数据。行走过程中步态周期由两个单步组成，受试者在步行的支撑阶段单侧脚经历了后跟触地、整足触地、跖骨触地和脚趾触地4个阶段。

分别对足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底和重心Voronoi支杆鞋中底进行步态测试，相应的步态压力云图和足底压力-时间（t）曲线，如图16所示。由图16可知：在行走过程中，相较于重心Voronoi支杆鞋中底，足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底的压力值更低。

行走过程中鞋底不同区域的峰值压力，如表2所示。表2中：P₁为足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底的峰值压力；P₂为重心Voronoi支杆鞋中底的峰值压力。

对比一个步态周期（足底压力-时间曲线图中框出来的区域），支撑阶段的前期，即一侧足跟第1次接触地面到整个足底刚刚接触地面时，该时间约占整个步态周期的10%，足底触底时出现最大峰值压力；支撑阶段的中期，此时左足足底部完全接触地面支撑着身体全部质量，这个时间约占步态周期的30%，由于整只脚参与受力，足底压力降低；支撑阶段的后期，即支撑腿足跟离地到足尖离地时，该时间约占步态周期的20%，该阶段力从足跟传递到脚趾，在跖骨和地面接触时，出现次峰值。行走过程中，足跟与前掌跖骨是主要着地部位，承受着人体质量和行走负荷的绝大部分，从足跟着地到脚尖离地的过程中，足底所受的力也随之传递。

在足跟触地时，足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底的峰值压力比重心Voronoi支杆鞋中底的峰值压力降低了27.9%；在跖骨触地时，足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底的峰值压力比重心Voronoi支杆鞋中底的峰值压力降低了27.0%；足弓区域压力值大小基本一致。由此可以看出，足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底的足弓部分提供了更大支撑，能够显著减轻足跟和跖骨部位的负重，减少行走过程中的负荷，缓解行走过程中的疲劳。

3 結论

通过加权随机采样策略，构建应力分布向密度分布的映射关系，提出足底压力映射的多孔结构鞋中底设计方法。对所设计的鞋中底进行3D打印成型，并进行静态脚底压力测评和步态分析，得出以下3个结论。

1）根据扫描的实际足部模型和测量的实际足底压力分布，计算鞋中底的压力分布，从而驱动生成相应的变密度三维Voronoi图，可以实现应力场与密度分布的精确映射。

2）测试证明，所设计的鞋中底可以降低足底峰值压力，使足底压力分布更加均匀，有利于改善足部健康。在足跟触地时，足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底峰值压力比重心Voronoi支杆鞋中底峰值压力降低了27.9%；在跖骨触地时，足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底的峰值压力比重心Voronoi支杆鞋中底的峰值压力降低了27.0%；足弓区域压力值大小基本一致。足底压力映射的Voronoi支杆鞋中底的足弓部分提供了更大支撑，能够显著减轻足跟和跖骨部位的负重，减少行走过程中的负荷，缓解行走过程中的疲劳。

3）所提设计方法将多孔结构分布与多孔实体生成分开处理，有利于解决鞋底级放过程中多孔结构支杆半径与模型整体缩放比例不一致的矛盾，可以实现在鞋底级放过程中保持多孔结构支杆半径不变，具有实际应用价值。

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（责任编辑：黄晓楠  英文审校：吴跃勤）