速度矢量场二阶滑模无人艇引导律

温锦元 黄宴委

摘要：针对航速和航道未知扰动等因素，提出一种速度矢量场二阶滑模无人水面艇（USV）引导律。首先，建立无人艇运动学和航向角动力学模型；其次构造路径误差（y_e）模型，设计基于航速（V_g）的路径误差矢量场，速度越大，航向角变化越小；再结合二阶滑模面设计一种速度矢量场二阶滑模无人艇引导律，并考虑未知扰动因素Δ分析速度矢量场二阶滑模无人艇引导律的稳定性。仿真结果表明：相比于经典矢量场，速度矢量场有效实现航速V_g越快，航向角变化率越小，矢量场越平缓，提高了USV航行安全性和稳定性；基于速度矢量场二阶滑模无人艇引导律的路径跟踪控制系统鲁棒性更强，路径跟踪准确度更高，能够较好地完成路径跟踪。

关键词：无人水面艇；矢量场引导律；路径跟踪；滑模控制

中圖分类号：TP 273文献标志码：A

文章编号：1000-5013（2024）03-0324-08

Second-Order Sliding Mode Guidance Law in Velocity Vector Field for Unmanned Surface Vessel

WEN Jinyuan，HUANG Yanwei

（College of Electrical Engineering and Automation，Fuzhou University，Fuzhou 350116，China）

Abstract：Aiming at factors such as unknown disturbances of course speed and course path，a second-order sliding mode guidance law in velocity vector field fof unmanned surface vessel （ USV） is proposed in the paper. Firstly，kinematics and course angle dynamics models of USV are established. Secondly，the path error （y_e）model is constructed，and the path error vector field based on course speed （V_g）is designed. The greater the speed，the smaller the change of course angle. Recombined with the second-order sliding mode surface，a velocity vector field second-order sliding mode USV guidance law is designed，and the stability of velocity vector field second-order sliding mode USV guidance law is analyzed considering the unknown disturbance factor Δ. The simulation results show that compared with the classical vector field，the velocity vector field achieves faster course speed V_gwith smaller course angle change rate and smoother vector field，which improves the navigation safety and stability of USV. The path tracking control system based on the second-order sliding mode guidance law in a velocity vector field exhibits enhanced robustness and higher accuracy in path following， which achieves path tracking with remarkable precision.

Keywords：unmanned surface vessel；vector field guidance law；path following；sliding mode control

无人水面艇（unmanned surface vessel，USV）是一种用于水上的独立可控的无人驾驶平台^[1]。 路径跟踪问题是实现USV高精度控制的重中之重，而导引算法是完成路径跟踪任务的关键。 现阶段导引算法种类繁多，例如，纯跟踪算法^[2]、视线导引算法^[3-4]、矢量场导引（vector field guidance，VFG）算法^[5-7]。纯跟踪算法可以缩小位置误差，但无法缩小角度误差；视线导引算法对前视距离依赖大，变化敏感。VFG分为矢量场（vector field，VF）设计和引导律设计两部分，对比纯追踪算法和视线导引算法，矢量场算法^[8-10]设计简单且控制性能优秀。

然而，VF主要考虑路径误差设计跟踪轨迹。针对三维路径跟踪问题，文献[11]扩展二维全局路径误差VF，使机器人能够实现三维路径跟踪。文献[12]提出一种利用亥姆霍兹定理构建二维和三维路径误差VF。文献[13]提出一种能够调节冲击时间和飞行角度的三维路径误差VF。针对无人机路径跟踪精度和安全性问题，文献[14]利用亥姆霍兹定理构建二维路径误差VF，并结合反步法设计控制器，提高欠驱动飞艇跟踪精度。文献[15]利用滑模控制理论设计位置误差VF，将VF视为滑模面，保证任意初始状态的无人机都能跟踪上期望路径。这些研究利用路径误差设计VF，忽略了运动对象的动态特征。然而，动态特征直接影响系统的安全性和精度。因此，引入运动对象的动态特性来设计VF是非常重要的。路径跟踪精度还取决于VFG引导律设计，文献[15]在路径误差VF的基础上，利用饱和函数设计VFG引导律，有效地提高跟踪系统的鲁棒性。文献[16] 在一阶航向角方程中引入扰动量，根据航向角误差设计自适应VFG引导律，实时估计外界扰动进行补偿，使无人机在复杂的外界情况下，能够准确跟踪期望路径。基于VFG控制精度高特点，文献[17]将VF应用于USV路径跟踪，设计了一种基于VFG的二维路径跟踪控制系统，使用LS-SVM方法辨识参数，该控制系统具有较好的鲁棒性。文献[18]提出了一种基于路径误差的时变VFG引导律，利用估计器补偿外界扰动，设计自动驾驶仪，给出半叶指数稳定性证明，由此构建的级联系统鲁棒性较好，但这些研究成果未考虑对象的运动模型特性而设计VFG，难以保证路径跟踪的性能。

考虑航速和航道未知扰动等因素，本文提出基于一种基于速度矢量场的二阶滑模无人艇引导律，能够实现快速准确跟踪期望路径。

1 USV平面模型

在忽略垂荡、横摇和纵摇等自由度时，USV在水面运动可以简化为3个自由度：纵荡，横荡和艏摇。USV平面运动示意图，如图1所示。图1中：XY为地球坐标系，X为正北向，Y为正东向；ψ为艏向角；β为漂移角；χ为航向角；（x，y）为USV当前的位置坐标；u，v，r分别为船体坐标系x_gy_g下的纵荡速度，横荡速度和转艏角速度；V_g为航速；L为期望路径；期望路径P点坐标为（x_P，y_P），α_P为P点的路径切向角；y_e为路径位置误差。

1.1 运动学模型

USV运动学模型为

式（1）中：u=V_gcos β；v=V_gsin β；χ=ψ+β。

式（1）化简为位置运动学模型，即

1.2 航向角动力学模型

在实际跟踪过程中，环境扰动的形式非常复杂，并依赖于许多参数，航向角动力学方程^[18]为

式（3）中：χ^c_ε为矢量场引导律；a为时间常数；Δ为外界干扰。

2 速度的路径误差矢量场

2.1 位置误差设计

USV路径跟踪示意图，如图2所示。图2中：跟踪与P相切半径为R的圆o；XY地球坐标系转为X₁Y₁为极坐标系；圆心坐标为（x_o，y_o）；d为USV与圆心距离；γ为USV相对于圆心角度。

圆心坐标o（x_o，y_o）可以表示为

将式（4）代入式（2），有

由图2可知，路径误差（y_e）计算式为

y_e=d-R。（6）

对式（6）求导，并代入式（5），有

2.2 速度路径误差矢量场的设计

航速矢量场（χ_d）为

式（8）中：V_m为航速最大值；k₁为常数，k₁>0。

由式（8）可知：当y_e很大时，矢量场χ_d=γ-π；当y_e=0时，χ_d=γ-π/2。与经典矢量场^[15]对比，在y_e的基础上，考虑V_g因素。当V_g=0时，航速矢量场与经典矢量场一致，V_g越大，χ_d越小，表明航速越快，航向角越小，有效减小USV侧翻风险，提高航行安全，更全面合理。

设李雅普诺夫函数（W）为

对式（9）求导，并代入式（7），（8），有

因此，当χ=χ_d时，能够精准跟踪期望路径，即y_e→0；航速矢量场（χ_d）能够收敛到给定路径中。

3 速度矢量场二阶滑模无人艇引导律

3.1 速度矢量场二阶滑模无人艇引导律的设计

定义航向角误差（χ_e）为

χ_e=χ-χ_d。（11）

设计速度矢量场二阶滑模无人艇引导律（VVFSOSG）的χ^c_ε为

χ^c_ε=χ^c+Δχ。（12）

式（12）中：χ^c为等效航向角引导律；Δχ为鲁棒补偿律。

在不考虑不确定量（Δ）的情况下，χ^c为

对式（11）求导，代入式（8）和式（13）可得

因此，USV路径跟踪过程可视为匀速运动，V^·_g≈0，故式（14）可简化为

选择等效航向角引导律为

为抑制不确定量（Δ）对航向角带来的不利影响，需设计鲁棒补偿项（Δχ）。

对航向角误差进行微分，有

构造滑模面S^[19-21]，有

S=χ_e。（18）

对式（18）求导，并代入式（16），有

在式（19）的基础上构造二阶滑模面^[22-23]，有

式（20）中：m为常数，且m>0。

对式（20）求导，有

选取滑模面ξ控制律^[24]，有

式（22）中：λ，p和q为常数，且λ>0，p，q∈{2n+1，n=0，1，2，…}，1

由式（21），（22），有

對式（19）求导，有

将式（24）代入式（23），可最终求得控制量，即

为有效抑制Δ^·，有

其中，Δ^[25]为

Δ=A_wsin（ω_et+θ）。（27）

式（27）中：A_w为扰动幅值；ω_e为扰动频率；θ为扰动相位。

对式（27）求导，有

将式（26）代入式（29），有

由式（30）可知，当ηδ>|A_wω_e|时，能够有效抑制Δ·，则式（25）可简化为

综合式（12），（16），（31），可得到χ^c_ε，即

3.2 VVFSOSG稳定性分析

李雅普诺夫函数（V）为

对式（33）求导，有

将式（24）代入式（34），有

将式（31）代入式（35），有

将式（30）代入式（36），有

式（37）说明在有限时间内，滑模面ξ收敛至0，根据滑模面ξ结构，滑模面S也将收敛至0，因此，航向角（χ）在VVFSOSG作用下能够到达滑模面ξ并最终收敛至χ_d。

4 仿真验证

基于VVFSOSG的路径跟踪系统框图^[26]，如图3所示。图3中：τ_u为前向推力；τ_r为转艏力矩。

首先，根据船体位置和期望路径，由式（7）求取位置误差，由式（8）得到VVF的航速矢量场（χ_d）。VVF的χ_d和航向角（χ）通过式（32）得到VVFSOSG的χ^c_ε，最终利用航向和航速PID控制器实现USV路径跟踪控制。

Fossen模型参数^[26]如下：船体长度为1.180 m，宽度为0.355 m，质量为8.46 kg，I_zz=1.07，X_u′=-0.42，Y_v′=-1.07，N_r′=-0.13，X_u=4.39，Y_v=20，Y_r=-0.2，N_v=-0.2，N_r=5，X_uu=-10.65，Y_vv=-15.6，N_vr=-15。

基于VVFSOSG路径跟踪系统，式（8）中VVF参数如下：V_m=10 m·s^-1，k₁=1。式（32）VVFSOSG参数如下：a=1.5，λ=50，η=25，δ=1，m=1/70，航向和航速均采用PID控制。控制器参数如下：k_p=150，k_i=10，k_d=100。

为展示VVF和VVFSOSG的优越性，引入VF和VFG^[16]。VF参数如下：α=1.5，k=1.5；VFG参数如下：κ=3.5，施加扰动Δ^[25]，A_w=5，θ=0 rad，ω_e=0.1 rad·s^-1。期望路径（L）设置如下：x_P=t，y_P=5sin（0.01t）和 5t+4，0≤t≤50 s。

当航速（V_g）为7 m·s^-1时，USV直线跟踪轨迹和位置误差（y_e），分别如图4，5所示。由图5可知：VFG跟踪轨迹发生了抖动，位置误差（y_e）为±0.100 m，而VVFSOSG位置误差（y_e）仅有±0.001 m。

USV曲线跟踪轨迹和位置误差（y_e），分别如图6，7所示。由图7可知：VFG跟踪轨迹抖动加剧，VFG位置误差（y_e）为±0.200 m，而VVFSOSG位置误差（y_e）仅有±0.003 m；基于VVFSOSG的路径跟踪系统能够有效抵抗干扰，跟踪系统的鲁棒性更强，跟踪的精度更高。

当k₁=1时，不同V_g时的USV跟踪轨迹和航向角（χ）响应，分别如图8，9所示。当航速（V_g）为7 m·s^-1时，不同k₁时的USV跟踪轨迹和航向角（χ）响应，分别如图10，11所示。

由图9可知：不同航速V_g下，VVF 的USV跟踪轨迹和航向角（χ）响应，表明航速（V_g）越大，航向角（χ）变化率越小，收敛时间越长，跟踪轨迹越顺滑；当航速（V_g）为7 m·s^-1时，能够提高USV航行安全性，并且收敛时间合适。

由图10，11可知：k₁越大，收敛时间越小，航向角变化率越大；当k₁=5时，USV无法平稳跟踪期望路径，出现抖动，因此，选择k₁=1最为合适。

5 结论

在实际航行中，由于航速（V_g）和航道未知扰动的影响，致使转艏角速度出现偏差，进而影响航向角，最终导致了USV无法精准跟踪期望路径。速度矢量场二阶滑模无人艇引导律能实现快速准确跟踪期望路径。

首先，建立运动学和航向角動力学模型；其次，构造路径误差模型，引入航速变量（V_g）设计VVF，以达到速度越大航向角变化越小，速度矢量场越平缓；最后，结合二阶滑模面，设计一种VVFSOSG，并考虑未知扰动分析VVFSOSG的稳定性。

仿真结果表明：相比于VF，VVF有效实现航速（V_g）越快，航向角越小，能减小USV侧翻风险，有助于提高航行安全；基于VVFSOSG的路径跟踪控制系统鲁棒性及路径跟踪准确度更高。

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（責任编辑：陈志贤  英文审校：陈婧）