立足课标教材 渗透思想方法 发展高阶思维 提升核心素养

作者简介：谭洁，1974年生，广西宾阳人，硕士研究生，高级教师，主要研究方向为中学数学教学。

摘 要：2024年全国九省区新高考适应性测试引发了社会的强烈关注。聚焦2021—2023年全国高考Ⅰ卷、Ⅱ卷、甲卷、乙卷和2021年、2023年、2024年新高考适应性测试数学卷，高中数学教师从试题特点、考查内容、思想方法、能力素养、试题特征等方面对数列进行分析，对教学提出以下建议：立足课标教材，夯实基础知识；抓住数学本质，渗透数学思想；发展高阶思维，强化关键能力；聚焦核心素养，落实立德树人根本任务。

关键词：数列；高考试题；适应性考试；试题分析；教学建议

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）08-0072-06

数列是高中数学函数模块下的重要内容，也是高考重点考查的内容之一。本研究通过分析近三年全国高考Ⅰ卷、Ⅱ卷、甲卷、乙卷及2021年、2023年、2024年新高考适应性测试数列试题，总结出高考卷试题的主要特征：注重基础，围绕基本问题；突出综合，促进融汇贯通；关注应用，倡导数学建模；追求创新，发展高阶思维。据此，我们提出数列复习的备考建议。

一、高考真题及适应性测试考查内容分析

（一）试题特点分析

从近三年全国高考数学试卷和新高考适应性考试数学卷来看，数列部分都遵循了《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）的教学内容、学业要求和质量标准。高考真题和适应性测试试题都以基础性试题为主，立足基本模型，围绕基本问题，考查通性通法。试题在注重基础知识考查的同时，也注重综合性的要求，情境丰富，内涵深刻，体现数学应用意识，引导学生学以致用；解题方法灵活多样，凸显理性思维，注重创新性，充分体现了对关键能力和数学学科核心素养的考查，对教学起着指导和启发作用。

（二）考查内容分析

高考真题考点与内容覆盖全面，等差数列、等比数列为考查的重点内容，主要包括等差数列、等比数列的概念与性质，等差数列、等比数列基本量的計算，求数列的通项公式与前n项和公式，数列与不等式、数列与概率、数列与函数在知识的交汇点处命题以及具体情境中数列模型的应用。适应性考试试题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项、求和以及数列与不等式的综合，注重基础性与综合性（近三年全国高考数学试卷和新高考适应性测试数学试卷数列试题情况如下页表1所示）。

（三）数学思想剖析

数学思想是数学的“根”，是对数学知识、数学方法、数学规律的本质认识，高考全国卷和适应性测试卷在数列板块的试题中都渗透了以下数学思想方法。

1.函数与方程思想：数列的本质是函数，解决数列问题时，要善于利用函数的观点、函数的思想方法，以概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁。利用函数的观点求解数列问题往往思路自然，方法简洁。方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设元，将已知量与未知量之间的关系转化为方程（组），通过求解方程（组）从而解决问题。等差、等比数列五个基本量中，“知三求二”是数列问题最基本的题型，方程思想在求解这类问题中起着非常重要的作用。

2.转化与化归思想：转化与化归是指将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题。在数列问题中，常常把一般数列转化为等差数列或等比数列求解；证明与求和有关的不等式时，把不能直接求和的数列放缩成可以求和的数列；在与混合的递推关系中，去掉或者实现变量的统一，这是解决多元问题的通法。常用的转化方法包括构造法、待定系数法、换元法等。

3.分类讨论思想：分类是一种基本逻辑方法，当问题包含多种情况时，要按可能出现的情况进行讨论。分类讨论能较好地考查学生思维的条理性与严谨性。在解决数列问题时，常常需要根据题目的具体情况进行分类讨论，如摆动数列的通项公式、奇偶项的求和问题、公比q未知情况下等比数列的求和公式等。通过分类讨论，可以更全面地考虑问题，避免遗漏或误解。

（四）能力素养剖析

数学学科核心素养是通过数学学习与应用，逐步形成和发展起来的具有数学特征的关键能力、必备品格以及价值观念。高考全国卷和适应性考试卷在数列板块的试题中渗透了以下数学学科核心素养。

1.数学抽象：数列问题中存在各种各样的量，在研究量的变化、量与量之间的关系时进行的推导、演算、表述、分析、判断等都是用数学符号进行，结论也是用数学符号予以表征。学生通过数学抽象理解数列的本质，用数学的眼光观察世界，是形成理性思维的重要基础。

2.逻辑推理：逻辑是数学研究的主要工具，若前提为真，且推理的过程合乎逻辑要求，则结论必为真。研究数列问题，从事实出发，依据逻辑规则，通过演绎推理或者归纳推理、类比推理，证明数列的性质或结论，才能确保结论的可靠性。逻辑推理是数学严谨性的基本保证。

3.数学运算：在数列问题中明晰运算对象，依据运算法则探索运算思路，灵活选择运算方法，合理设计运算程序，求出正确的运算结果。数学运算是数学活动的基本形式，是得到数学结果的重要手段。数学运算能力也是学生解决数学问题的基本能力。

4.数学建模：数列是刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型，学生根据实际情境从数学的视角发现问题，做出简化假设，用数学符号和数学语言表述，提出问题，分析内在规律，构建模型，对数学模型进行求解和检验，最终解决实际问题。数学建模是数学学科与其他学科融合的基础，是构建数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。

二、高考全国卷试题及新高考适应性测试试题特征分析

（一）注重基础，围绕基本问题

1.等差数列、等比数列的证明

例1 （2021年适应性测试第17题）已知各项都是正数的数列[an]满足an+2=2an+1+3an.

（1）证明：数列[an+an+1]为等比数列；

（2）若a1=[12]，a2=[32]，求[an]的通项公式。

［解析］本题以递推关系为背景，考查等比数列的证明以及求数列的通项公式，考查了分类讨论思想、数学运算和探究问题的能力。

例2 （2021年高考全国乙卷理科第19题）设数列[an]的前n项和为Sn，数列[Sn]的前n项积为bn，已知[2Sn+1bn=2].

（1）证明：数列[bn]是等差数列；

（2）求数列[an]的通项公式。

［解析］本题第（1）问是等差数列的证明问题，由数列[Sn]前n项积与通项的关系，消项得到积的递推关系。第（2）问在第（1）问的基础上解方程求出数列[an]的前n项和公式，再利用前项和与通项的关系求出[an]的通项公式。消和（积）留项或者消项留和（积），实现变量的统一，这是基本的、重要的思想方法。

2.等差、等比数列基本量的运算及性质

例3 （2024年适应性测试第3题）记等差数列[an]的前n项和为Sn，a3+a7=6，a12=17，則S16=（  ）

A.120  B.140  C.160  D.180

［解析］本题考查等差数列基本量的计算，体现了基础性。

例4 （2023年新课标Ⅰ卷第20题）设等差数列[an]的公差为d，且d＞1.令bn=[n2+nan]，记Sn，Tn分别为数列[an]，[bn]的前n项和．

（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求[an]的通项公式；

（2）若[bn]为等差数列，且S99-T99=99，求d。

［解析］本题以等差数列为背景，第（1）问紧扣等差数列的定义与前n项和的含义，很容易求出结果。第（2）问包含两个等差数列，需要解四个未知数的方程组。已知[bn]是等差数列，解法一：由等差数列的定义易得2bn=bn-1+bn+1，寻找a1和d的关系，此方法运算量较大；解法二：对任意的正整数n都有2bn=bn-1+bn+1成立，很容易想到当n=1时有2b2=b1+b3，此法运算量较少；解法三：若把等差数列的通项公式设成一次函数的形式，则所列方程组的结构会相对简单。此题虽然是考查数列的基础量，但是考出了新的高度，考查了函数与方程思想、分类讨论思想、一般与特殊思想，对学生的数学运算素养以及逻辑推理素养有较高的要求。

例5 （2023年高考全国乙卷理科第15题）已知[an]为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=   。

［解析］本题考查等比数列的通项与性质，体现了基础性。

3.数列的通项与求和

例6 （2023年高考全国甲卷理科第17题）设Sn为数列[an]的前n项和，已知a2=1，2Sn=nan。

（1）求[an]的通项公式；

（2）求数列[an+12n]的前n项和Tn。

［解析］本题已知Sn和an混合的递推关系式，第（1）问可以利用关系an=[S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2]消去Sn，得到数列[an]相邻两项的递推关系，对[anan-1]=f（n）这类递推公式，应用累乘法求出[an]的通项公式。第（2）问数列[an+12n]是差比数列，错位相减法求和的本质是把差比数列求和转化为等比数列求和。学生能理解其中的原理，但操作过程往往不够严谨细致，导致结果错误。错位相减法有一个难点和两个易错点：难点是很多学生不会合并同类项，且对整理后的结果不自信；一个易错点是忘记两式相减后最后一项是负的，另一个易错点是使用等比数列前n项和公式的时候，忽略求和的项数是n还是n-1。数列求和属于基本技能范畴，主要考查学生的逻辑推理和数学运算等数学学科核心素养。

例7 （2022年新高考Ⅰ卷第17题）记Sn为数列[an]的前n项和，已知a1=1，[Snan]是公差为[13]的等差数列。

（1）求[an]的通项公式；

（2）证明：[1a1+1a2+…+1an<2]。

［解析］本题第（1）问考查数列通项公式的求法，切入点很多，在[an]与[Sn]交织的递推关系中，可以去掉[Sn]转化为[an]与[an-1]的递推关系，由累乘法求[an]的通项；也可以去掉[an]转化为[Sn]与[Sn-1]的递推关系，以退为进，先求[Sn]的通项，再求[an]的通项；还可以列举出数列[an]的前几项，观察规律，猜想出[an]数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明。第（2）问由列项相消法求和、放缩、证明不等式，考查了逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养。

（二）突出综合，促进融会贯通

例8 （2023年新课标Ⅰ卷第7题）已知[Sn]为数列[an]的前n项和，设甲：[an]为等差数列；乙：[Snn]为等差数列，则（  ）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

［解析］本题以等差数列的定义、通项公式及前n项和公式等知识为情境，考查了充要条件的推理论证，彰显了对数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养的考查。

例9 （2023年适应性测试第19题）记数列[an]的前n项和为Tn，且a1=1，an=Tn-1（n≥2）。

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）设m为整数，且对任意n[∈]N*，m≥[1a1+2a2][+…+nan]，求m的最小值。

［解析］本题第（1）问考查数列通项公式的求法。第（2）问由错位相减法先求和，再放缩，本题运用了数列及不等式知识求解，考查了函数思想以及逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养。

例10 （2023年高考全国乙卷理科第10题）已知等差数列[an]的公差为[2π3]，集合S=[cosan|n∈N*]，若S=[a，b]，则ab=（  ）

A.-1   B.-[12]  C.0   D.[12]

［解析］本题将等差数列通项公式、集合元素的互异性、三角恒等变换等知识有机融合在一起，呈现方式简洁新颖，考查了学生对概念、性质的深入理解以及综合分析问题和解决新问题的能力。

例11 （2023年新课标Ⅱ卷第18题）已知[an]为等差数列，bn=[an-6，n为奇数2an，n为偶数]，记Sn，Tn分别为数列[an]，[bn]的前n项和，S4=32，T3=16。

（1）求[an]的通项公式；

（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn。

［解析］本题以分段函数的形式考查数列的通项与求和，融合了等差数列中的奇偶项、分组求和、不等式等问题，考查了学生的函数与方程思想、分类讨论思想和探究问题的能力。

（三）关注应用，倡导数学建模

例12 （2023年新课标Ⅰ卷第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若没有命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率都是0.6，乙每次投篮的命中率都是0.8。抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率都是0.5。

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，则E[ni=1Xi]=[ni=1qi]。记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）。

［解析］本题结合现实情境，蕴含着丰富的知识及思想方法，马尔科夫链、全概率公式、等比数列构造、数列求和、数学期望等众多知识点在这里交汇融合。本题设计了三个有梯度的小题，第（2）小题不易直接求出第i次投篮的人是甲的概率pi，转向寻找pi和pi+1之间的关系，由递推数列模型转化为求解数列通项公式及数列求和，使问题得以顺利解决。试题亮点是在概率中隐藏了数列的通项与求和等知识点，将概率与递推数列结合在一起考查，具有较强的综合性和创新性，需要学生充分调动已有的知识经验创造性地解决问题。

（四）追求创新，发展高阶思维

例13 （2022年新高考Ⅱ卷第22题）已知函数f（x）=xeax-ex。

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x＞0时，f（x）＜-1，求a的取值范围；

（3）设n[∈]N*，证明：[112+1]+[122+2]+…+[1n2+n>ln（n+1）]。

［解析］本题第（3）问为函数背景下的数列不等式证明问题，数列不等式证明通常有两个方向，即“先求和后放缩”和“先放缩后求和”。因为不等式左边的和不可求，因此本题只能采用“先放缩后求和”的方式进行。题中的数列不等式，也可以看成两个数列前n项和比大小问题，其中左边数列的通项是已知的，但不能直接求其前n项和，另一个数列的前n项和是[ln（n+1）]，但其通項未知，通过逆向分析，先由前n项和公式求出未知数列的通项，再通过比较这两数列通项的大小，实现两个数列前项和的大小比较。第（3）问的解答以第（2）问的函数不等式为阶梯，借助lnx2＜[x-1x]，构造新的不等式，再通过换元，得到数列不等式ln（n+1）-lnn＜[1n2+n]。该题对学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养都提出了较高要求［1］。

三、复习备考建议

通过对近三年高考试题及适应性考试试题数列板块的考查内容和试题命题特征进行分析，我们可以发现，数列这一板块的命题风格稳定，都体现了注重基础性和综合性，突出应用性和创新性的原则。基于以上分析，对数列的复习，笔者认为，一线教师可以从以下四点着手发力。

（一）立足课标教材，夯实基础知识

高考命题的依据是《课程标准》，在日常教学中，教师应准确把握《课程标准》中教学内容的具体要求，明确核心知识和能力要求，帮助学生建构知识体系和方法体系。教材是依据《课程标准》经过反复实验研究形成的教学范本，是学生获得数学知识、提炼思想方法、积累基本活动经验、提升学科核心素养的重要载体，很多高考试题可以在教材中找到原型。教师应充分挖掘教材的丰富资源，围绕数列的概念、性质、表示方法、基本量运算、通项公式、前项和公式，引导学生画思维导图，构建完整的知识网络，达到基本知识体系化、基本方法类型化、解题步骤规范化，并追求对知识的深度理解和灵活运用。教师应杜绝那种抛出结论后就匆忙应用的功利性教学方式，学生也要杜绝重记忆轻理解，不清楚逻辑内涵，以大量的题组训练代替知识理解的学习方式。

（二）抓住数学本质，渗透数学思想

纵观近三年的高考数列试题，鲜有技巧性很强或使用特殊技巧可以获得优势的试题，大多数试题考查的都是具有规律性和普遍意义的常规题型和常规方法。研究数列问题应该遵循从特殊到一般再到特殊的原则，通过归纳推理和演绎推理抓住数学本质，经历从直观感知到理性思维再到合理应用、实践创新的思维过程，理解数学学习的整体性，将各类知识融会贯通。数学思想是数学内容的精髓，是解决数学问题的指导思想和普适性方法。在教学中教师应通过渗透数学思想帮助学生形成正确的思维方式，提高分析问题、解决问题的能力。如何渗透数学思想方法呢？事实上，概念的形成过程、性质的推导过程、解题的探索过程等都是渗透数学思想方法的好机会。比如可以通过强化数列定义中的函数观点，等差数列的通项公式、前n项和公式与一次函数、二次函数的联系，等比数列的通项公式、前n项和与指数型函数的联系，利用函数单调性知识解决数列单调性问题等素材渗透函数思想。此外章末复习小结也是揭示知识间内在联系、归纳提炼数学思想方法的有效途径。在数列教学中，教师不仅要帮助学生领悟数学知识与解题过程中隐藏的数学思想方法，还要引导学生学会自己提炼数学思想方法。

（三）发展高阶思维，强化关键能力

《课程标准》明确要重视提升学生的数学思维能力［2］。数列的学习应着重体现逻辑思维能力、运算求解能力和创新能力。高阶思维很难通过机械重复记忆与大量刷题得到提升，教师在教学活动中可以放慢课堂节奏，让学生观察猜想、类比归纳、抽象概括、反思建构，培养思维的深刻性；精选例题、习题，通过一题多解、一题多变，培养思维的灵活性；将封闭性问题转化为开放性问题，加强交流探讨，在实践探究中培养思维的创造性。由上述讨论分析我们可以得知，加大关键能力的考查力度，是近几年高考命题改革的主要方向。关键能力不是知识简单的积累，而是知识、概念、逻辑、推理等要素的重组或演化。教师应紧扣知识、思想方法和核心素养三大主线，通过深挖数列知识内涵与外延，对数列复习内容进行优化重组，让教学目标有明确指向，让知识结构体系呼应有层次，让教学内容系统相关联，进一步培养学生在迁移整合中的關键能力，发展在拓展延伸中的关键能力，强化在应用创新中的关键能力。

（四）聚焦核心素养，落实立德树人

新高考改革强调要在教学中体现数学核心素养教育目标［3］。以数学建模为例，在常规教学中，教师要提供丰富的阅读材料，引导学生在复杂问题中提炼出数学信息，利用讨论式教学，发挥学生的主体作用，让学生在发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程中感受数学建模的思想方法，让数学建模核心素养真正落到实处。数学重思维，讲逻辑。对等差数列性质的教学，教师应注重引导学生观察、比较、分析、综合、抽象与概括，用演绎、归纳进行推理，条理清晰地表述客观规律，让学生在学习过程中体会研究数列性质的普适性方法，进而迁移到研究等比数列以及其他数列的性质中。此外，教师还要引导学生关注我国社会现实、文化传承、经济发展、科技进步、全球责任，进而增强国家认同感，增强民族自豪感与自信心，增强理想信念与爱国情怀，真正落实立德树人根本任务。

参考文献

［1］中国高考报告学术委员会.高考评价体系解读［M］.北京：现代教育出版社，2021.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2022年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］中国高考报告学术委员会.高考政策与命题解读［M］.北京：现代教育出版社，2021.