基于“问题链”的高中数学教学实践

蒋晓清

摘要：“问题”是数学的心脏.在问题的指导下，学生可以形成强烈的学习兴趣，可以在问题的指导下，深入课堂，认真学习，积极参加各种探究活动.通过问题的引导能培养学生的数学思维、探究意识.以问题链的方式设计圆的标准方程，能使学生更好地理解其本质，达到更好的学习效果.

关键词：问题链；高中数学；圆的标准方程

新课程改革强调学生的素质教育、核心素养的培养，强调学生才是教学的主体，注重学生“四基”“四能”以及创造性的培养.因此，问题驱动的教学方式已逐渐成为许多一线教师采取的方式.问题驱动教学起源于苏格拉底的“产婆术”，苏格拉底倾向于通过问答的形式培养学生的学习兴趣.但在实际教学过程中，通过“问题链”驱动教学的效果并不是很好，主要是由于教师对于问题的设计还不够精细，无论是问题的难度，还是问题的深度、密度，都需要教师精心设计，这样才能达到预期的效果.

1相关概念

1.1问题

什么是问题呢？在《辞海》中，有以下四种解释：“（1）要求回答或解释的题目；（2）指需要解决的矛盾或要弄清楚的疑难；（3）关键、重要之点；（4）指事故或毛病.”[1]陶行知曾经说过：“创造始于问题，有问题才能思考.”问题的产生，是因为现有状态与应有状态之间的差距.数学教学中的问题不仅仅是课本上的，还包括了师生在学习探究过程中产生的疑问、疑惑等.

1.2问题链

问题链是指由一组问题串联起来的问题系统，是教师为了更好地教学，在学生现有认知结构的基础上，设计的一连串问题.“在形式上，‘问题链是一个链条的形式，一个问题接着一个问题，一环套着一环；在内容上，‘问题链环环紧扣具有较强的逻辑性；在目标上，‘问题链层层深入，逐步引导”[2].由此可以看出，问题链中问题的设计是由浅入深、由易到难、层层递进的，而不是随意将几个问题组合在一起.

1.3“问题链”教学

问题贯穿于数学教学的始终.“问题链”教学是教师结合学生已有的知识基础、认知结构以及教学目标，在学生学习中可能会存在问题的地方，设置一系列的问题.通过“问题链”的方式，逐步化解学生的问题、障碍.但问题驱动的教学，需要教师精心设计.此外，“问题链”教学还存在一些问题：第一，“新课程改革强调学生核心素养以及‘四基‘四能的培养，如何通过问题链”的设计来培养学生的这些素养、能力，还需要继续思考、研究”[3]；第二，每个学生的认知结构和知识水平都不同，问题该如何设计才能满足不同学生的需求.

2“问题链”的设计原则

2.1目的性原则

课堂中提的问题应该有明确的目标.教师所提出的问题应该以教学目标为依据，根据教学重难点来设置.每一个问题的提出都应该有它的目的，是想要学生对旧知进行回顾，还是想要吸引学生的注意力，或者是想要引发学生的思考.教师在备课时，要充分考虑每个问题的作用，不能为了提问而提问.

2.2启发性原则

孔子说过；“不愤不启，不诽不发.”他强调了应该在什么时候启发学生，在什么时候开导学生.这就是孔子主张的启发式教学.教师所设计的问题应该具有引导学生思考、启发学生思维的作用.这样，在教学过程中，学生才能够真正有所收获，其核心素养也能得到提升.

2.3适度性原则

问题的设计要适度.一方面是问题的难度要适度.太简单，学生的思维得不到训练；太难，会让学生产生抗拒心理.根据“最近发展区”理论，问题的难度应该设置在学生跳一跳能够够到的位置.另一方面是问题的密度.提问过于频繁，学生缺少冷静思考的时间；提问太少，课堂气氛可能就会死气沉沉，学生就会游离在课堂之外.

2.4开放性原则

创造性的培养也是素质教育的一个重要要求，而创造就意味着要有不同的想法、不同的思维.因此，所设计的问题不应该只有“是或不是”“对或不对”这种绝对性的答案，而应具有开放性的、动态的的答案，能够启发学生的思维.教师也要激励学生

敢于想象、敢于发散思维，并能对学生的不同想法予以肯定.

3基于问题链的“圆的标准方程”教学设计

3.1复习回顾

问题1请同学们回忆一下，圆的定义是什么？

问题2根据前面的学习，我们已经知道，要研究某一类曲线，首先要明确确定曲线的要素，在平面直角坐标系中，确定直线的要素有两个，那么，确定圆的要素有哪些呢？

设计意图：通过这两个问题，引导学生回忆之前学过的与圆有关的知识，并回答出确定圆的两要素——圆心（定位）与半径（定形），为后续的学习打好基础.

问题3我们知道直线可以通过方程来表示，那么，圆是否也可以通过方程来表示呢？

设计意图：提醒学生类比“直线的方程”的学习过程来学习“圆的标准方程”，在潜移默化中培养学生的数学思维，掌握类比的数学思想方法，同时顺其自然地引出本节课的课题.

3.2新知探究

探究：已知点B（a，b）为圆的圆心，r为半径（其中a，b，r都是常数，r>0），该圆的方程该如何确定？

问题4首先，老师想问一下大家，求曲线的方程的一般步骤是什么？

设计意图：引导学生们说出求曲线的方程的步骤.一方面是帮助学生巩固已经学过的知识，加深印象.另一方面，为学生提供一个正确的方向，同时让学生明白，知识之间是相互联系的，而不是独立的.

问题5用点M（x，y）来表示圆上的任意一点，那么x，y满足什么样的条件呢？这个方程的最简形式是什么呢？

设计意图：教师作为一个引导者，引导学生经历圆的标准方程的推理过程，这样，能使学生对圆的标准方程有更清晰的认识.

学生通过计算、化简，得到圆的标准方程：

（x-a）2+（y-b）2=r2.

接下来，教师强调圆的标准方程的结构，加深学生的理解与印象.

例题求圆心为A（2，1），半径为2的圆的标准方程，并判断点（4，2）是否在这个圆上.

分析：要判断点是否在方程上，只需要判断这个点是否满足圆的方程.圆的标准方程为（x-2）2+（y-1）2=4.

根据上述例题，可以引出问题6.

问题6点M（x，y）在圆（x-a）2+（y-b）2=r2内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？请同学们思考，或者与同学相互交流.

设计意图：让学生自己思考或者互相交流，探讨、总结如何判断点在圆内還是圆外.

3.3课堂练习

练习1写出下列圆的标准方程：

（1）圆心为C（-3，4），半径是2；

（2）圆心为C（-8，3），且经过点M（-5，-1）.

练习2求过三点P1（2，7），P2（5，3），P3（6，4）的圆的标准方程，并判断点M（1，7），P（4，3），Q（7，4）在圆内、圆上还是圆外.

设计意图：这两个练习都是为了巩固本节课的内容.练习1是为了加深学生对圆的标准方程结构的印象，能够选择正确的方式求圆的标准方程；练习2主要是判断点与圆的位置关系.

3.4课堂小结

本节课的主要知识点：圆的标准方程、点与圆的位置关系的判断.主要方法：类比法（类比直线的方程的学习）、数形结合思想.

4总结

在数学教学的过程中，“问题链”有着非常重要的作用.它与以往传统的教学方式不同，传统的教学方式容易使课堂变得古板、沉闷，学生容易产生厌烦心理.在“问题”的引导下，学生的学习兴趣被激发出来，学生更愿意参与到课堂中来，在不知不觉中主动内化为课堂知识、提高自己的思维能力.这样，课堂的教学效率就会有所提升.

参考文献：

[1]刘娜.问题链教学法在高中历史教学中的应用研究.石家庄：河北师范大学，2022.

[2]周郁.小学数学问题链设计与实践研究.喀什：喀什大学，2020.

[3]朱万新.“问题链”在高中数学教学中的应用.呼和浩特：内蒙古师范大学，2016.