MPCK视角下的“基本不等式”单元教学

汪智源

摘要： 以人教A版（2019年版）教材中“基本不等式”为例，从MPCK视角，对大单元教学设计教师所需的专业素养进行探讨，探究学生数学核心素养和落实学科育人的途径.

关键词：MPCK；基本不等式；大单元教学

1 问题的提出

新课程标准要求以培养学生的数学核心素养为出发点和落脚点，强调以“学科大单元”为载体，多层次、多方式、多角度在教学活动中發展学生的“四基”“四能”.在教学实践中落实上述要求，教师是学生数学核心素养培养的关键.教师需要哪些专业素养？在课堂教学中教学策略该如何选择、实施？这些问题的解决，笔者认为可以从教师的MPCK入手.

2 MPCK的简介

教师需要哪些相关的专业素养呢？黄毅英教授提出的MPCK概念回答了这个问题.MPCK结构模型认为数学教师开展常规教学应具备3类知识：数学学科知识（简称MK）；一般教学法知识（简称PK）；有关数学学习的知识（简称CK）.在日常教学中，教师往往需要综合运用这3类知识，才能把科学形态的数学知识有效地转化为教育形态的数学知识[1].笔者在此就以黄教授的划分为标准，从MK，CK和PK三个角度，以“基本不等式”一节为例，基于MPCK视角来谈相关的单元教学的落实问题.

3 MPCK视角下的单元教学

3.1 从MK（数学学科知识）的视角探讨

在日常教学中，教师要将不同章节之间的内容联系起来，帮助学生构建一个完整且有机的知识框架.这需要教师投入大量时间和精力反复研读教材，提高自身的MK.这里的MK包括：（1）关于课程内容的知识；（2）关于教学目标和学生学习发展轨迹的知识[2]；（3）关于形成性和终结性评价的知识.下面按照上述分类依次阐述.

3.1.1 关于课程内容的知识

“基本不等式”作为一种特殊的不等式，是实数的“序”关系的特殊化，体现了代数特征中“序”的一种基础不等关系.“基本不等式”的“基本”主要体现在：自身结构的简洁；形式多样（代数和几何）；模型应用的广泛；是其他代数公式的基础（章建跃）.

3.1.2  关于教学目标和学生学习发展轨迹的知识

关于教学目标知识，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求是：“基本不等式”作为高中数学的预备性知识，要注重对基本不等式及其相关概念的理解；要求让学生经历真实的问题情境，培养“数学建模”等素养.学生学习相关知识的轨迹：学生已在初中学习了一元一次不等式及其简单应用、“不等式和不等关系”等内容，在本节之后还要学习“用函数的观点来认识不等关系”.

3.1.3  形成性和终结性评价的知识

王雯在其论文“基于数学核心素养的高中基本不等式教学设计研究”中，从“水平一，知识理解；水平二，知识迁移；水平三，知识创新”三个层面，对本节内容涉及到的上述数学核心素养的六个方面做了分析.通过分析可见，本节内容对学生数学核心素养的要求都有涉及，层级的要求是较高的.同时，教师也要意识到学生数学核心素养的培养是一个个整体、系统和有序的过程.

3.2 从CK（有关数学学习的知识）的视角探讨

在教学过程中，教师需要全面深入地了解学生的学习需求，即教师的CK，此CK包括学生已经学到的知识、遇到的困难以及所处的问题情境等.

对于本单元内容，虽然学生在初中具备了一定的符号意识、运算能力和推理能力，但对代数的一些基本思想方法的感悟还欠火候，代数变形的经验和体验还有待进一步丰富；模型思想、应用意识和创新意识等方面的核心素养略显不足.鉴于上述分析，笔者认为部分学生可能遇会到的困难是：（1）教学情境引入问题；（2）基本不等式的证明——从“数”和“形”的视角；（3）基本不等式的相关概念；（4）“基本不等式”模型的建立及其相关应用.笔者将在下面的PK内容中来谈解决上述困难的建议.

3.3 从PK（一般教学法知识）的视角探讨

在日常教学设计中，教师需要认真分析各个知识点之间的联系和区别，事先预测学生可能遇到困难的地方，并制定相应的解决方案.只有做好知识点之间的衔接，并确保学生真正理解、掌握所学的内容，才能真正解决如何有效传授知识的难题，这就需要教师的PK.此PK包括：（1）教师采取的有效和针对性的教学策略;（2）教师的教学机智——是否能让不同的学生的数学核心素养得到不同层次的培养.具体是指对学生数学概念的表达、学生反应的评估等互动活动，以及教师角色的定位[3].根据本部分内容的特点，“基本不等式”需要安排两个课时.下面就从CK中所提四个方面来谈PK方面的处理.

3.3.1 教学情境引入问题

林建辉等在文[4]中给出了五种课堂引入的方法：（1）弦图导入；（2）对比两不等腰直角三角形活动引入；（3）天平问题引入；（4）完全平方公式引入；（5）几何意义（射影定理中的直角三角形）引入.从教材编写的情况来看：人教版教材（2019年）（以下简称教材）将弦图前置到前一节，用完全平方公式引入；北师大版（2019年）教材类似，只是将弦图后置为阅读材料；苏教版（2019年）教材用天平问题引入，将弦图后置为一个练习.由此可见，课堂引入的方式是多种多样的，且各有特色.关键在于教师根据学情选择恰当的方式——最有利于学生的学习特点，否则就会有“立意很高，落地不易”或者“门槛过低，没有思维挑战性”的窘境.笔者在此建议，根据学情，首选所用教材的处理方式为宜.

3.3.2 基本不等式的证明——从“数”和“形”的视角

教材中基本不等式的代数证明是分析法，它是一种解决问题的思考方式，也是一种逻辑推理的方法.“执果索因”的思维方式学生并不陌生，教师可以让学生以小组活动的形式进行探究，初步得出结论，教师再从表达形式的规范上做要求，并给出其逻辑解释.基本不等式的几何证明是“双弦图”，其最早出自《几何原本》卷六的命题13，它体现了“基本不等式”“形”的特征.“双弦图”教学是个难点，直接让学生构造会难度过大.如何处理此内容呢？笔者认为，若学生基础相对较好，教师可以提出这样的问题：“给一个以a+b为直径的圆，你是否可以从圆中找到一条长为 ab 的线段，并能说出它们之间的关系呢？”让学生通过小组合作的形式自主探讨，若学生还有困难，教师适当引领，可以追问“在这个图中，是否可以引入一个直角三角形呢？”最终得出结论.若学生基础较弱，笔者建议教师直接作出“双弦图”，让学生通过对图形中“相似三角形”等关系的探究，操作验证，师生共同讨论，最终得出答案.总之，教师需要根据学情，选择学生能够接受的教学方式方法，采取有利于学生理解的模式，让不同学生获得不同层次数学核心素养的发展.

3.3.3 基本不等式的相关概念

“基本不等式”成立的条件“一正二定三相等”和“积定和最小，和定积最大”是教师课堂教学的着力点——学生要达到“理解”层次还有些吃力.

“习题是精心挑选的……寓意深刻”（教材主编寄语），笔者认为可以整合教材的例1、练习3、习题2.2中复习巩固1⑴，设计一个问题串.基本不等式的各种变形在教材中都有体现，如教材第46页练习2⑵：已知x，y都是正数，且x≠y求证： 2xy x+y < xy .此式一转换，可得 2  1 x + 1 y  < xy ，这是调和平均数和几何平均数的关系.教师要利用好教材练习，在此基础上引导学生完成例2.借助例1的问题链和例2的训练，让学生达到公式简单应用的“自动化”水平，以此培养学生思维的灵活性.当然，这其中的各种变式不宜太复杂，要把握好“度”，因为达到“掌握基本不等式”的要求是很难在第一课时做到的，学习构建“基本不等式的代数系统”需要一个循序渐进的过程.

3.3.4 “基本不等式”模型的建立及其相关应用

学生数学抽象和数学建模素养的培养只能在解决实际问题的情境中.数学实际应用问题的解决，首先在于如何准确把应用问题转化为“数学语言”，以及把最终结果用“自然语言”表示出来；其次是把握数学相关符号、公式等表示内容的准确性.

对于培养学生数学抽象和数学建模等核心素养，教材中的例3、例4是有作用的.如对于例3的教学，教师要根据学情设置真实有效的问题情境，层层设问.若学生基础较好，教师可以提出一些元认识的问题：这个问题你认为该如何解决？是否可以设计一个解决方案？用数学方法解决实际问题的一般步骤有哪些？若学生基础较弱，教师可以提出一般性的认知问题：上述实际问题转化成数学问题是什么？如何用数学形式表达上述问题——该如何设变量？变量的范围是什么？最短（最大）该如何用数学知识来表示？让学生在不同应用场景中积极参与，努力思考，积累基本活动经验，以期能得出更有创新性的解决问题的方法.在解决例3后，教师可以设计变式：“若菜园内有一条宽2 m的小径，问题又该如何解決？”这是学生熟悉的真实问题，教师要给学生充足的时间思考.这个问题的回答反映了学生思维严谨性的不同水平——小径在菜园的什么位置？与“长”平行还是与“宽”平行？“斜”着的吗？“斜”到什么程度？等等.然后教师可以根据学情，选择其中2～3种类型，让学生自主探究，力争能灵活应对基本不等式的各种应用场景，更加精准地制定解决方案，最终得到解决这类问题的一般套路和模式.

实际问题情境的解决过程中，教师要鼓励学生积极思考.对于例4，教师可结合例3给出例4：如果在这片菜园附近，也找一块长方形土地，根据要求建造一个长方形水池，具体要求如下——例4.考虑到本节内容处于高中预备知识的位置，学生的空间想象能力停留在初中层面，教师在例4的教学中，就不宜过多拓展，以免冲淡本节内容的主题——基本不等式.同时，教师可以结合本节课的例题给学生传授一些数学文化、数学史知识，如“欧拉羊圈问题”等.

总之，“基本不等式”单元的教学，教师离不开从MK，PK和CK的视角认真、审慎地分析教学内容，从中找到存在的不足，及时学习、弥补和充实，最终内化到自己的知识结构体系中去.同时，MPCK属于缄默知识，缄默知识不同于显性知识，不能直接告知，需要教师在日常教学实践中深度参与，完善自身MK的专业功底（扎实的数学专业基础和充足的数学史和数学文化知识），提高自身PK知识（及时更新最新教育学和心理学成果）和增长自身CK能力（对教学案例的分析总结和自身教学过程的不断反思），最终优化自己的MPCK结构体系.当然，教师的数学教学内容知识（MPCK）的提升应该是个动态的、持续的过程，需要教师“在教中学，在做中悟”.

参考文献：

[1]陈子蔷，胡典顺，何穗.中国目前MPCK研究综述[J].数学教育学报，2012，21（5）：15-18.

[2]Tatto，M.T.（2013）：The Teacher Education and Development Study in Mathematics（TEDS-M）.Policy，Practice，and Readiness to Teach Primary and Secondary Mathematics in 17 Countries：Technical Report.International Association for the Evaluation of Educational Achievement（IEA）.pp：34-35.

[3]罗增儒.同课异构“基本不等式”的互动点评——“2016高中数学特色课堂案例分析研修会”发言稿（节选整理之一）[J].中学数学教学參考，2016（16）：16-24.

[4]林建辉，宾红华，刘小辉.核心素养下高中数学课堂导入路径探索——以“基本不等式”教学为例[J].中学教学參考，2022（5）：11-13.

课题信息：安徽省宣城市2023年教育科学研究规划课题“基于高中数学建模教学的实践研究”，课题编号为XCJK23013.