不忘初“型”，方得始终

周方旦 高明

我们知道，函数f（x）=x+kx（k>0），对其求导得 f′（x）=1－kx2（x≠0），

令f′（x）>0得x>k或x<－k;f′（x）<0，得－k0）

在区间（－∞，－k），（k，+∞）上单调递增，在区间（－k，0），（0，k）上单调递减，且当x=－k时f（x）取得极大值，当x=k 时f（x）取得极小值，由于其图像类似“双勾”形状，故我们称其为双勾函数，这类函数在解题中经常会遇到，且许多看似不是双勾函数的问题，都可以转化为双勾函数来处理，所以双勾函数可以作为一种解题模型.本文通过几例予以探究.

例1设函数f（x）=x+ax－1（x>2）.

（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值;

（2）当0

解析：（1）把a=2代入f（x）=x+ax－1得f（x）=x+2x－1=（x－1）+2x－1+1，因为x>2，所以x－1>1 ， 令t=x－1，所以f（t+1）=t+2t+1，其中t>1，因为y=t+2t在（1，2）单调递减，在［2，+∞）单调递增，所以原函数f（x）min=22+1.

（2）当01），因为y=t+at在（0，a］单调递减，在［a，+∞）单调递增，由于t>1所以原函数无最小值，因此值域为（a+2，+∞）.

评注：本题通过对求解函数进行配凑，然后再将其换元，转化为f（t）=t+at（a>0）形式，结合双勾函数的单调性以及自变量t的取值范围，求出函数最值或值域，求解过程中要特别注意新元的范围.

例2当x>－2时，求f（x）=x2－4x+1x+2的最小值.

解析：由f（x）=（x+2）2－8（x+2）+13x+2－8，因為x>－2，所以x+2>0，令t=x+2（t>0），所以f（t－2）=t+12t－8（t>0）.该函数在（0，13］单调递减，在（13，+∞）单调递增，所以f（x）min=213－8.

例3求函数f（x）=xx2+2x+2（x>0）的最大值.

解析：由f（x）=xx2+2x+2=1x+2x+2，因为x>0，此处令g（x）=x+2x，由于

g（x）=x+2x在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，所以g（x）min=22，所以f（x）max=2－12.

评注：求解中有同学会把该题型与分离变量的问题搞混淆，本题中原函数的分子为一次函数而分母为二次函数，注意到这个特征再将其转化为双勾函数，从而问题得到解决.

变式求函数g（x）=x+2x2+6x+10（x＞-2）的值域.

解析：函数g（x）=x+2x2+6x+10（x>－2）可以整理为g（x）=x+2（x+2）2+2（x+2）+2，再转化得g（x）=1（x+2）+2x+2+2. 令x+2=t，由于x>－2，所以t>0，故g（t－2）=1t+2t+2，令h（t）=t+2t（t>0），根据其单调性得h（t）≥22，所以0

例4已知x>0，y>0，且4x+2y－xy=0，求2x+y的最小值.

解析：由题意4x+2y=xy，两边同时除以xy得2x+4y=1，所以2x+y=（2x+y）（2x+4y）=2yx+8xy+8.令yx=t，则t>0，所以2x+y=2t+8t+8=2（t+4t）+8，由于y=t+4t在［0，2］单调递减，在［2，+∞］单调递增，所以（2x+y）min=16.

变式已知 x>0，y>0，x+3y+xy=9，求x+3y的最小值.

解析：本题中由于等式中出现了常数9，可以采用代入消元法，由x+3y+xy=9，得x=9－3yy+1，所以x+3y=9－3y1+y+3y=－3（y+1）+12y+1+3（y+1）－3，令t=y+1，由于x>0，所以0

例5已知 f（x）=8x（x2+1）2x4+5x2+2（x>0），求f（x）的最大值.

解析：整理f（x）=8x（x2+1）2x4+4x2+2+x2=8x（x2+1）2（x2+1）2+x2=82（x2+1）x+x（x2+1）.

令x2+1x=t，则f（x）=82t+1t，由于t=x+1x（x>0），所以t≥2，令g（t）=2t+1t（t≥2），g（t）=2（t+12t），该函数是以双勾函数为主体结构的一个函数，可知函数g（t）在（0，22）单调递减，在（22，+∞）上单调递增，由于t≥2，所以g（t）min=g（2）=92，原函数g（x）max=169.

评注：本例题借助一个分式函数，通过适当的变形将其分母转化为一个双勾函数，在转化过程中g（t）=2t+1t如果用基本不等式去求可知2t+1t≥22，但要求2t=1t而等式才成立，而t=22显然不在t≥2范围内，所以用基本不变式无法求最小值，所以继续将g（t）=2t+1t转化为双勾函数求最小值，本题中出现了双勾函数中嵌套了双勾函数，特别要注意换元之后变量的取值范围.

本文主要针对高中阶段出现的分式型函数f（x）=ax+bmx2+nx+p，或者g（x）=mx2+nx+pax+b型函数最值和值域问题，在处理此类问题的时候，关键是将分子或分母的一次代数式换元，再对分式进行变形，将其转化为双勾函数模型求解，其求解过程中既能提升学生的观察能力，也能培养学生的转化和化归解题素养.