2023年高考数学天津卷压轴题的另证

万祺

2023年高考天津卷的导数题一如既往的独具风格，耐人寻味.针对此题最后一问，本文将另辟蹊径，探寻他解.

试题呈现已知f（x）=（1x+12）ln（x+1）.

（1）求曲线f（x）在x=2处切线的斜率；

（2）当x>0时，证明：f（x）>1；

（3）证明：56

解析：（1）略；（2）因为f（x）>1ln（x+1）>2xx+2，令g（x）=ln（1+x）－2xx+2，由g′（x）=x2（1+x）（x+2）2>0，故g（x）在（0，+∞）单调递增，g（x）>g（0）=0，故原不等式成立.

（3）先证右边：记an=ln（n！）－（n+12）lnn+n，注意到a1=1，下证an≤a1.

因为an+1－an=1－（n+12）ln（1+1n），结合第（2）小题结论，取x=1n可知（n+12）ln（1+1n）>1，故an+1－an<0，即{an}递减，从而对n∈N*，an≤a1=1成立.

再证左边：即证ln（n！）>（n+12）lnn－n+56成立.

考虑函数h（x）=lnx的图象，如图1.取A（k，0），

B（k－12，0），C（k+12，0），分别过A，B，C作x轴垂线交函数图象于E，D，F，过E作x轴平行线

交BD，CF于G，H，以E为切点，作曲线的切线交BD，CF于P，Q两点，则有SΔGPE=SΔHQE，从而S梯形BCQP=S矩形BCHG=lnk，曲边梯形BCFD的面积S曲边BCFD=∫k + 12k－12lnxdx，注意到h″（x）<0，故函数h（x）=lnx图象上凸递增，从而S梯形BCQP>S曲边BCFD，即lnk > ∫k + 12k－12lnxdx = xlnx-xk + 12k－12，

故lnk>（k+12）ln（k+12）－（k+12）－（k－12）ln（k－12）－（k－12）（该不等式亦可通过求导证明）.进一步对上式求和得∑nk=1lnk>∑nk=1（k+12）ln（k+12）－（k－12）ln（k－12）－n，即ln（n！）>（n+12）ln（n+12）－12ln12－n.欲证ln（n！）>（n+12）lnn－n+56，只需（n+12）ln（n+12）－12ln12－n>（n+12）lnn－n+56即可，即证（n+12）ln（1+12n）+12ln2－56>0.注意到lnx>1－1x（x≠1），故ln（1+12n）>1－11+12n=12n+1，故（n+12）ln（1+12n）>12.另一方面，在第（2）小题结论中取x=1知ln2>23，从而（n+12）ln（1+12n）+12ln2－56>12+13－56=0得证.

至此，我们发现通过积分放縮，以及对ln2的粗糙估计，恰好可以得到an的下界56，或许这也是命题者的意图之一.事实上，本题{an}递减，为了求an下界，需考虑n→+∞的情况，而由Stirling公式可知n→+∞时，有n！～2πnnen，取对数得limn→+∞ln（n！）－ln2πn－n（lnn－1）=0，即limn→+∞ln（n！）－（n+12）lnn+n=ln2π≈0.9189>56.

由此可见，此处的56只是一个粗略的下界，为了得到更精细的下界，可构造一些精度较高的不等式加以证明，此处不再赘述.

参考文献

［1］波利亚.怎样解题［M］.徐泓，冯承天译.上海：上海科技教育出版社，2007.

［2］单墫.解题研究［M］.上海：上海教育出版社，2016.