Gronwall Bellman不等式及其 在双时滞微分系统中的运用

陈范彬妍 宋芷璇

摘 要：本文运用推广的GronwallBellman不等式研究分数阶双时滞微分系统的有限时间稳定性.首先，通过适当的积分变换将GronwallBellman不等式在整数阶双时滞积分系统中进行推广.其次，利用所得结论，并结合Hlder不等式、Minkowski不等式、Jensen不等式以及换元法等方法将GronwallBellman不等式推广到分数阶双时滞的积分系统中.最后，运用上述所得结论，研究分数阶双时滞微分系统的有限时间稳定性.

关键词：GronwallBellman不等式；分数阶RiemannLiouville积分方程；时滞；有限时间稳定性

中图分类号：O175.13

自1919年Gronwall积分不等式诞生以来，Gronwall积分不等式在常微分方程、偏微分方程解的研究及估计上起着极其重要的作用［1］.

时滞系统在实际生活中的应用范围非常广泛.一方面，它在建筑结构、神经网络、工业水处理、冶金工业等系统中都十分常见.另一方面，在网络系统下，处理数据以及传送数据也能引发系统中时滞的产生［24］.此外，稳定性问题也是分数阶微分方程的研究中一个重要的问题［57］.

为了使Gronwall不等式更好地运用于实际问题，本文将GronwallBellman不等式与时间延迟联系起来，以便解决多时滞的积分不等式相关问题.

1 预备知识

为了方便，记区间J=［t0，T］，0t0

定义1［8］：（有限时间稳定性）对于带有时滞的Caputo分数阶微分系统cDαtx（t）=f（t，x（t），x（t-τ）），t∈J，x（t）=φ（t），t0-τtt0.若满足ε>0，δ∈（0，ε），当‖φ‖=supt0-τtt0‖φ（t）‖δ时，有‖x（t）‖ε，t∈［t0-τ，T］，则称上述系统对于{δ，ε，T}是有限时间稳定的.

引理1［8］：（推广的GronwallBellman不等式）假设f，g∈C（J，R），且u∈C1（J，R），满足u′（t）f（t）u（t）+g（t），t∈J，u（t0）u0.

则u（t）u0e∫tt0f（s）ds+∫tt0g（s）e∫tsf（r）drds，t∈J.

引理2［8］：（Minkowski不等式）令1

引理3［8］：（Jensen不等式）令k∈，且x1，x2……xk是非负的实数，那么∑kj=1xjqkq-1∑kj=1xjq，q>1.

2 GronwallBellman不等式在整數阶双时滞积分不等式中的推广

假设f（t）、g（t）、k1（t）、k2（t）、h（t）、u（t）是定义在J上的连续非负函数，φ（t）是定义在［t0-τ2，t0］上的连续非负函数，τ2>τ1>0.令m（t）=h（t）g（t）+k1（t）g（t-τ1），n（t）=h（t）g（t）+k1（t）g（t-τ1）+k2（t）g（t-τ2），p（t）=h（t）f（t）+k1（t）f（t-τ1）+k2（t）φ（t-τ2），q（t）=h（t）f（t）+k1（t）f（t-τ1）+k2（t）f（t-τ2），M（t）=h（t）g（t），N（t）=h（t）f（t）+k1（t）φ（t-τ1）+k2（t）φ（t-τ2）.

定理1：若对上述函数满足u（t）f（t）+g（t）∫tt0h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）ds，t∈J，u（t）φ（t），t∈［t0-τ2，t0］.

则当t∈［t0，t0+τ1］时，u（t）f（t）+g（t）∫tt0N（s）e∫tsM（r）drds；（1）

当t∈［t0+τ1，t0+τ2］时，u（t）f（t）+g（t）e∫tt0+τ1m（s）ds∫t0+τ1t0N（s）e∫t0+τ1sM（r）drds+∫tt0+τ1p（s）e∫tsm（r）drds；（2）

当t∈［t0+τ2，T］时，

u（t）f（t）+g（t）e∫tt0+τ2n（s）dse∫t0+τ2t0+τ1m（s）ds∫t0+τ1t0N（s）e∫t0+τ1sM（r）drds+∫t0+τ2t0+τ1p（s）e∫t0+τ2sm（r）drds+∫tt0+τ2q（s）e∫tsn（r）drds.（3）

注：具体证明可通过对t进行分类讨论，并结合引理1直接得出，在此不多赘述。

定理2：若满足定理1的条件，f（t）、g（t）、φ（t）都是递增函数， f（t0）φ（t0），则u（t）f（t）e∫tt0g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr，t∈J.

证明：当t∈［t0，t0+τ1］时，由f（t）、g（t）、φ（t）是递增函数且f（t0）φ（t0），可得g（t）∫tt0N（s）e∫tsM（r）drdsf（t）∫tt0g（t）［k1（s）+k2（s）+h（s）］eg（t）∫ts［h（r）+k1（r）+k2（r）］drds.因此，u（t）f（t）e∫tt0g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr.当t∈［t0+τ1，t0+τ2］时，由f（t）、g（t）、φ（t）是递增函数且f（t0）φ（t0），可得f（t）+g（t）∫tt0+τ1p（s）e∫tsM（r）drdsf（t）e∫tt0+τ1g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr.

则u（t）f（t）e∫tt0+τ1g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr+g（t）e∫tt0+τ1m（s）ds∫t0+τ1t0N（s）e∫t0+τ1sM（r）drds

f（t）e∫tt0+τ1g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr

1+∫t0+τ1t0g（t）［h（s）+k1（s）+k2（s）］e∫t0+τ1sg（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］drds

f（t）e∫tt0+τ1g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr

e∫t0+τ1t0g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr=f（t）e∫tt0g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr.

同理可得，当t∈［t0+τ2，T］时，u（t）f（t）e∫tt0g（t）［h（r）+k1（r）+k2（r）］dr.证毕.

3 GronwallBellman不等式在分数阶双时滞积分不等式中的推广

假设a（t）、b（t）、k1（t）、k2（t）、h（t）、u（t）是定义在J上的连续非负函数，φ（t）是定义在［t0-τ2，t0］上的连续非负函数，0<τ1<τ2，0<α<1，令q>1α，则存在p，使得1p+1q=1.在本节中，为了方便计算，记G（t）=4q-1bq（t）（t-t0）qα-1Γq（α）（pα-p+1）qp.

定理3：若对上述函数满足u（t）a（t）+b（t）Γ（α）∫tt0（t-s）α-1h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）ds，t∈J，u（t）φ（t），t∈［t0-τ2，t0］.

当a（t）、b（t）、φ（t）都是递增函数且a（t0）41q-1φ（t0）时，u（t）41-1qa（t）e1q∫tt0G（t）hq（r）+k1q（r）+k2q（r）dr，t∈J.（4）

证明：根据Hlder不等式可知，当t∈J时，∫tt0（t-s）α-1h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）ds

∫tt0（t-s）p（α-1）ds1p∫tt0h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）qds1q，结合引理2可得，

u（t）a（t）+b（t）Γ（α）∫tt0（t-s）p（α-1）ds1p∫tt0h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）qds1q

a（t）+b（t）（t-t0）pα-p+1pΓ（α）（pα-p+1）1p∫tt0［h（s）u（s）］qds1q+

∫tt0k1（s）u（s-τ1）qds1q

+∫tt0k2（s）u（s-τ2）qds1q

运用引理3，可得uq（t）4q-1aq（t）+b（t）Γ（α）（pα-p+1）1p（t-t0）pα-p+1pq∫tt0h（s）u（s）qds

+∫tt0k1（s）u（s-τ1）qds

+∫tt0k2（s）u（s-τ2）qds}，满足定理2的条件，则根据定理2可知，式（4）成立.证毕.

4 分数阶双时滞微分系统的有限时间稳定性

根据上述所得的结论，我们探索下述分数阶双时滞微分系统的有限时间稳定性.

cDαtx（t）=-Dx（t）+Af（x（t））+Bg（x（t-τ1））+Cg（x（t-τ2））+I（t），0tT，xi（t）=（t），-τ2t0.（5）

其中0<τ1<τ2，0<α<1，令q>1α，则存在p，使得1p+1q=1.存在M>0，‖I（t）‖M，‖‖=supt∈［-τ2，0］‖（t）‖.

在下文，總认为以下条件成立：（H1）存在F>0，使得‖f（w）-f（u）‖F‖w-u‖，其中w，u∈Rn；（H2）存在W>0，使得‖g（w）-g（u）‖W‖w-u‖，其中w，u∈Rn.

由上述条件可得系统（5）的解x是存在的，且满足

x（t）=x（0）+∫t0（t-r）α-1Γ（α）［-Dx（r）+Af（x（r））+Bg（x（r-τ1））+Cg（r（t-τ2））+I（r）］dr，0tT，x（t）=（t），-τ2t0.（6）

在下文，令G（t）=4q-1tqαΓq（α）（pα-p+1）qp，为了方便，不妨设f（0）=g（0）=0，当非0情形，也有相同的稳定性条件.

定理4：若满足条件（H1）（H2），41-1qδ+TαMΓ（α+1）eG（T）q［（‖D‖+‖A‖F）q+（‖B‖W）q+（‖C‖W）q］ε，则系统（5）有限时间稳定.

证明：ε>0，由方程组式（6）可得，‖x（t）‖‖‖+∫t0（t-r）α-1Γ（α）［（‖D‖+‖A‖F）‖x（r）‖+‖B‖W‖x（r-τ1）‖+‖C‖W‖x（r-τ2）‖+M］dr

‖‖+tαMΓ（α+1）+∫t0（t-r）α-1Γ（α）［（‖D‖+‖A‖F）‖x（r）‖+‖B‖W‖x（r-τ1）‖+‖C‖W‖x（r-τ2）‖］dr.

令u（t）=‖x（t）‖，a（t）=‖‖+tαMΓ（α+1），b（t）=1，h（t）=‖D‖+‖A‖F，k1（t）=‖B‖W，k2（t）=‖C‖W，φ（t）=‖‖，则u（t）a（t）+b（t）Γ（α）∫tt0（t-s）α-1h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）ds，t∈［0，T］，u（t）φ（t），t∈［-τ2，0］.

显然a（t）、b（t）、φ（t）都是递增函数且a（0）41q-1φ（0）.结合定理3可知，如果‖‖δ，则‖x（t）‖41-1q‖‖+tαMΓ（α+1）e1qG（t）（‖D‖+‖A‖F）q+（‖B‖W）q+（‖C‖W）q，即‖x（t）‖ε.根据定义3可知，该Caputo分数阶双时滞微分系统满足有限时间稳定性.证毕.

参考文献：

［1］王小焕，吕广迎，戴利杰.Gronwall不等式的推广及应用［J］.山东大学学报（理学版），2022，57（06）：94101.

［2］李郢辰.基于积分不等式的时滞系统稳定性分析和控制［D］.华北电力大学（北京），2017，12：1117.

［3］许洺铢.两类时滞系统的稳定性分析［D］.沈阳师范大学，2022，407：145.

［4］潘超，王汝凉，庞健婵.具有两种滞量的不确定随机时滞系统的稳定性及鲁棒控制［J］.南宁师范大学学报（自然科学版），2021，38（04）：2532.

［5］Zhang G D，Shen Y，Yin Q，et al.Global exponential periodicity and stability of a class of memristorbased recurrent neural networks with multiple delays［J］.Information Sciences，2013，232：386396.

［6］李晓艳，任玮，谢地，等.一类ψCaputo分数阶微分方程解的存在性和UlamHyers稳定性［J］.安徽大学学报（自然科学版），2023，47（01）：816.

［7］王姣，代群.带有积分边值条件的分数阶微分方程UlamHyers穩定性［J］.数学的实践与认识，2021，51（15）：250255.

［8］Du F F，Lu J G.New criteria on finitetime stability of fractionalorder hopfield neural networks with time delays［J］.IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2020，32（9）：38583866.

基金项目：江苏省大学生创新创业训练计划（批准号：202211117078Y）

作者简介：陈范彬妍（2002— ），女，汉族，江苏常熟人，本科在读，研究方向：应用数学。