立足基础,重在运用,拓展思维,发展素养
——2023 年广东省中考数学试卷评析与启示

2024-05-18 04:17广东省江门市新会尚雅学校529100冯悦娇
中学数学研究(广东) 2024年6期
关键词:正方形本题考查

广东省江门市新会尚雅学校(529100) 冯悦娇

2023 年广东省中考数学试卷(简称广东卷)导向鲜明、梯度明显、反套路化、区分度高,注重挖掘数学思维本质,考察数学核心素养的达成,具有明显的选拔作用.试题保持了7: 2: 1 的难度结构,题目源于教材,高于教材,符合2022 版新课标立德树人的理念,使得人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展,同时更具有基础性、文化性、应用性、探究性与选拔性,起到了较好的教学导向作用.

1 基本情况分析

1.1 结构分析

2023 年广东卷有选择题、填空题、解答题三种类型,全卷共23 题120 分,限时90 分钟.其中选择题有10 题30 分,填空题有5 题15 分,解答题有8 题75 分.从试卷分值分布(见表1)来看,重点考查“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“实践与综合运用”领域的核心知识点.

表1 2023 年广东卷知识分值及权重

1.2 难度分析

广东卷总体难度适中,客观题与主观题的难度分别都是层层递进.简单送分题主要考查考生的基础知识和基本技能, 体现了义务教育数学课程的基础性、普及性, 符合双减的需求.如选择题第1∼9 题,填空题第11∼14 题,解答题第16∼21 题.中档综合探究题考查考生基本数学思想(数形结合思想、整体思想、方程思想等)与基本活动经验,如客观题小压轴第10、15 题,解答题压轴第22、23 题,让具备一定思维能力的考生能够展示学业水平,让高水平层次的学生能够充分发挥数学思维与能力,通过解题脱颖而出.

2 试卷亮点评析

2.1 立足基础,紧扣教材,关注全体

广东卷特别关注义务教育初中学段应知必会的数学基本知识与基本技能,在“双减”背景下,紧紧围绕教材,重视对教材中通式通法的直接考查.

例1 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一种0.618 法应用了( )

A.黄金分割数 B.平均数 C.众数 D.中位数

评析: 本题直接引用人教版九年级上册P18 阅读与思考的材料,材料介绍了黄金分割数的概念,了解著名数学家华罗庚去世前几个小时依然坚持作报告讲解优选法的感人事迹.既考查了学生对黄金分割数的了解,又能通过名人事迹引导学生增强民族自豪感与文化自信, 提高数学学习兴趣,有利于学生树立适合未来发展的正确价值观.

例2 某蓄电池的电压为48V, 使用此蓄电池时, 电流I(单位:A)与电阻R(单位: Ω)的函数表达式为,当R=12Ω 时,I的值为____A.

评析: 本题以物理的电流、电阻与电压的数量关系为背景, 主要考查数学中反比例函数的概念与求函数值的方法.跨学科融合问题能培养学生主动建立不同学科的联系,灵活运用数学概念、原理、方法解释或解决跨学科的现象、规律与问题,有意识地培养了学生的运算能力、创新意识、应用意识.

2.2 重在运用,关注基本思想与方法的渗透

广东卷命题突出对数形结合、函数与方程、转化化归、演绎推理等主要数学思想的考查,以具体的问题或实际情境为背景提出数学问题,让学生有意识地灵活运用数学思想与方法解决问题,是提升数学抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识与创新意识的重要途径.

例3 如题10 图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为( )

A.-1 B.-2 C.-3 D.-4

评析: 我国著名数学家华罗庚先生说,形缺数时难入微,数缺形时少直观.广东卷第10题考查二次函数与正方形的小综合, 重点考查了学生观察二次函数y=ax2+c图象的对称轴及对称性与正方形的性质的联系,渗透数形结合思想、培养抽象能力.

考题设问新颖,最大的亮点是题目没有给出具体的点坐标或数据,却要求系数ac的值,是本题的难点.突破的关键是连接AC,因为BO⊥AC,A、C关于y轴对称.水平较高的学生会用根据正方形的的性质,设参法表示点A(m,m)、B(0,2m)坐标或C(-m,m),B(0,2m)坐标(m ̸= 0), 然后运用待定系数法用m表示a、c.水平一般的学生也能巧用客观题解题技巧——特殊值法, 根据几何直观直接设点A(1,1),B(0,2),也能求到正解.因此本题设置巧妙,立意明确,不同人有不同的思考与解法,同时培养学生的数形结合观察分析能力、抽象能力、运算能力、推理能力.

思考: 问题变式, 其一: 删图, 变为无图题, 其他不变,根据抛物线y=ax2+c的图象特点, 由于开口方向不确定, 需要分类讨论, 但是ac结果不变; 其二: 改抛物线为“y=a(x-h)2”,抛物线经过正方形ABCD的三个顶点A,B,C,点A在y轴上,点B在x轴上,则ah的值为____.变式二解析: 根据抛物线解析式的特征,顶点在x轴上,因此点B为顶点,但对于开口方向与对称轴位置并无确定,此题需要分类讨论, 具体根据开方方向及对称轴位置分四种情况,同理根据抛物线对称性及正方形的性质,设点坐后运用待定系数法运算得ah=±1.

2.3 拓展思维,发展素养,突出探究,选拔创新

初中数学的全等变换包括图形的平移、旋转、轴对称.广东卷最后两道压轴题突破传统命题模式,大胆将特殊的平行四边形、圆与轴对称、旋转相结,类似于2021 年广东卷第24题把梯形与圆结合,立意鲜明,导向教学,具备很强的人才选拔功能.要求学生具备扎实的基础知识与基本技能,灵活运用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想等分析问题.

广东卷的综合探究、综合运用题把数学几何演变过程以多幅图进行直观演示,最大的亮点在于是命题者把几何演变的某个瞬间作为条件,引导学生进行猜想与证明,把几何直观与逻辑推理有机地整合,使推理论证成为学生观察、猜想、探究后的自然延续, 注重发展学生的合情推理和演绎推理,关注辅助线建构几何模型,感悟动态几何的研究价值——以不变应万变,感受图形与几何的魅力,逐步形成空间观念、抽象能力、几何直观、逻辑推理、创新意识等数学核心素养.

例4 综合探究如题22-1 图,在矩形ABCD中(AB>AD),对角线AC,BD相交于点O,点A关于BD的对称点为A′.连接AA′交BD于点B,连接CA.

(1)求证:AA′⊥CA′;(关键问题)

(2)以点O为圆心,OE为半径作圆.

①如题22-2图,⊙O与CD相切,求证:

②如题22-3 图,⊙O与CA′相切,AD= 1,求⊙O的面积.

点拨与评析: 本题是广东卷第22 题,以矩形ABCD与点A与A′对称关于BD对称(折叠)为主线,探究以OE为半径的圆O分别与矩形一边CD、直角三角形直角边A′C相切为条件的证明与求解问题,具体考查了矩形的性质,切线的性质,全等三角形的判定,等腰直角三角形的判定与性质,特殊角的锐角三角函数,勾股定理列方程,渗透了数形结合思想、方程思想,转化思想,整体思想.

本题设问由浅入深、环环相扣、由表及里,符合几何图形演变的自然生长过程:

第(1)问关键是运用轴对称的性质、中位线的判定与性质证明AA′⊥CA′;

尽管本题属于几何动态演变问题,试题中图形较多,但是设问意图明确,本题入口宽,方法多样,考查了不同层次学生的数学思维品质, 最大的亮点在于第(2)问第②小问, 与第①问紧密关联,解题思维递进,打破惯性思维,运用整体思想求圆的面积,深入浅出,基础扎实且能力较强的学生“跳一跳”能解决,考场中也给不同层次的学生以不同的选择,体现了中考试题的选拔性要求,对数学思维本质和学科素养的考查非常到位,是一道很好的考题.

例5 综合应用如题23-1 图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上.如题23-2 图,将正方形OABC绕点O逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<45°),AB交直线y=x于点E,BC交y轴于点F.

(1)当旋转角∠COF为多少度时,OE=OF; (直接写出结果,不要求写解答过程);

(2)若点A(4,3),求FC的长;

(3) 如题23-3 图, 对角线AC交y轴于点M, 交直线y=x于点N,连接FN.将∆OFN与∆OCF的面积分别记为S1与S2,设S=S1-S2,AN=n,求S关于n的函数表达式.

点拨与评析: 本题是广东卷最后第23 题,以直角坐标系中有一个顶点在原点O的正方形旋转问题为背景,主要探究求角度问题、求线段长问题,求函数表达式的方法,考查了正比例函数y=x的图象性质,全等三角形的判定性质,正方形的性质,四点共圆证明及运用,等腰直角三角形性质,三角形面积问题等积及作差转化, 相似三角形的判定与性质等,问题符合新课标要求,意图明确,层次丰富,综合性强,难度不断攀升,区分度很高.同时蕴含了PISA 理念,要求学生具备较高对现实问题的分析和解决能力、对题干信息的处理能力,体现了对几何直观、抽象能力、逻辑推理、运算能力、创新意识、应用意识等核心素养的考查.

本题价值在于学生在想象正方形旋转过程中, 能够感悟动态几何模型变与不变, 建构辅助线搭建常见几何模型——以线显形,以静制动,窥探数学现象的本质:

第(1)问关键是根据条件y=x得∠EOF= 45°,根据OE=OF、AO=CO证明Rt∆OAE= Rt∆OCF, 易得∠COF=22.5°,比较简单;

第(2) 问关键是过点A作垂线段, 构造Rt∆AHO,根据A(4,3) 得OA= 5, 根据同角的余角相等易证Rt∆AHORt∆FCO, 得, 代入AH= 3,OH=4,CO=5 求得,难度中等;

(4)本题关键在于证明FN⊥NO,如题23-3-1 图

第一,证FN⊥NO方法可运用

得到点C、O、N、F四点共圆, 然后易得∠FNO= 180°-∠FCO=90°;

图23-3-1

广东卷第23 题第(3)问思维难度大, 主要体现在该问题敢于打破常规, 设问新颖, 传统方法不轻易解决问题, 也不能再单纯地运用解析几何法求三角形面积的函数解析式, 而是要求学生能够通过深入思考发掘AN与三角形面积之差S的关系,在考场时间有限的情况下对学生的学科素养、思维能力及心理素质提出更高的要求.该题作为初中数学学业考试的压轴题,区分度高,符合2022 版新课标第六点课程实施的评价建议中关于学业水平考试命题原则,为高一级学校招生录取提供重要依据,也符合新课标的要求,关注数学本质,关注通性通法,避免套路化,反对题海战术,着重素养立意,育人导向.

3 教学启示

3.1 教学应重视通式通法的传授

教师的主要教学任务必须是帮助学生夯实基础知识,教学中渗透基本思想,教会学生形成基本技能和基本活动经验.同时要善于运用微专题进行能力提升,微专题需精准把握问题,把点连成线,线连成网,使学生形成较强的解决实际问题的能力.课堂中,教师要特别关注巧妙设问,加强与学生的互动,科学精准提问,逐步引导,多一些鼓励和放手,多一些思考和交流,创建生本智慧高效课堂.

3.2 中考复习去模式化,重视探究、应用与创新

中考复习最关键的是,要建立初中数学每个领域中以主干知识为支柱的知识网络,同时也要敢于打破不同知识领域知识的壁垒,敢于创新,互相融合.如在代数的复习中要融入图形与几何问题;在图形与几何的复习中加入函数、方程与不等式等代数推理方法,扩大知识与方法的联系点.中考备考时必须多角度、多方向地研究分析,而不是让学生去做大量模仿式、死记硬背的习题.

3.3 备考培优指向素养,在精在变,在归纳在反思

中考具备立德树人、服务选才、导向教学的功能,2023 年广东卷的命题充分显示了义务教育课程的教育目标,体现先进的教育理念与国家意志,培养社会主义建设者和接班人.

因此今后中考培优备考在精在变,课堂以典型问题为载体,设置培优微专题引导学生进行回顾与反思,充分发挥问题的价值.从多角度启发学生进行解题联想,要重视一题多解,更要重视一题多问、一题多变;设置开放性问题、条件或结论探索问题,激发学生学习数学的兴趣.

另外解题后要及时复盘,通过错题本收集错因与改正笔记,有针对性进行总结归纳,进行个性化的解题技巧、方法、模型的总结.教师更要培养学生阅读理解、获取信息、数学抽象、数学表达与推理等方面的能力,培养学生会用数学眼光观察现实世界,会用数学的思想思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界.

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