计算几何应用性课程改革探索与实践

王铮　孔令德

［摘 要］计算几何是一门代数、几何和计算机技术相融合的计算机类专业课，以研究曲线曲面建模为主要内容。传统计算几何课程内容偏数学理论，教学方法比较单一，而且缺乏丰富的教学资源，导致课程难教难学。针对这一状况，结合应用型本科高校办学定位中对学生能力培养的要求，文章提出通过重构教学内容、改革教学方法和建设课程资源等，加强对学生实践能力的培养，提高学生的综合能力。

［关键词］计算几何；应用性；课程改革；教学内容；教学方法；教学资源

［中图分类号］G642.0［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2024）04-0053-05

自20世纪40年代计算机出现后，很多复杂的几何问题都可以借助计算机来解决，这促进了计算几何学科的诞生。计算几何主要研究如何绘制物体的三维线框模型，是对物体的形状信息进行计算机表示、分析与综合，由函数逼近论、微分几何、代数几何、数值分析和计算机科学组成的一门交叉学科。

在国外许多知名大学中，计算几何课程面向高年级本科生和研究生开设，而国内在本科阶段开设该课程的高校寥寥无几，大多是在相关专业的研究生阶段开设。实际上，计算几何在计算机图形学、机器人学、地理信息系统、计算机视觉和计算生物学等领域都有着重要的作用。特别是近年来，美国对我国尖端技术恶意打压和限制，能否攻克“卡脖子”技术难关，对我国科技自主发展有重要的意义。计算几何对我国计算机建模技术的发展有着重要的作用，因此在本科阶段开设本课程有着比较现实的意义。本课程可以培养学生自由曲线曲面建模和3D实体造型等方面的能力，为学生毕业后从事虚拟现实、游戏开发、仿真技术、科学计算可视化和计算机辅助设计与制造等领域的建模工作打下良好的基础。

一、存在的问题

计算几何涉及多个学科知识的综合应用，教与学都有一定的难度[1]。笔者所在的学校是应用型本科院校，以培养学生的知识技能应用能力为主要目标，学生的学习起点较低、能力较弱。课程组在参考其他院校本课程的开设方法时，发现传统的教学内容、教学方法对学生的综合能力要求较高，而教学资源的缺乏容易让学生对课程知识的学习望而却步。

（一）课程内容难

计算几何主要的研究内容是几何形体的数学描述和计算机表述，涉及大量的数学理论。无论是本科阶段还是研究生阶段，在开设本课程的高校中，教学重点大多是计算几何知识中蕴含的数学理论知识，偏重算法的推导和证明，不强调算法的实现过程。纯理论的课程内容，使得学生学习时不容易理解，更难以加以运用，学习之后感觉云里雾里，不知所以。

（二）教学方式单一

在传统教学方法中，教学的主体是教师，教师根据教学大纲制定授课计划，按照授课计划按部就班讲授课程。而计算几何课程本身较难，在传统教学中，学生的参与程度不高、积极性不高、兴趣不浓，教学效果一般。

（三）考核方法单一

计算几何课程传统考核方式以笔试为主，通过客观题和程序填空题等考查学生对理论知识的掌握程度，对编程能力要求不高，难以衡量学生的编程能力和算法设计及实现能力，难以很好地体现教学效果。

（四）缺少教学资源

在课程本身难度较高、学生基础较差的情况下，为学生提供多种类型的教学资源以方便学生课上、课下学习，对提升学生的学习动力、增强学习效果有重要的作用。而目前国内计算几何课程公开的教学资源有限，科学合理地建设课程资源，对帮助学生学习非常重要。

二、问题解决方法

针对计算几何课程教学中存在的问题，课程组在多年的一线教学实践过程中不断探索，针对性地提出了问题解决方法，显著提升了教学效果。

（一）优化教学内容

计算几何覆盖的知识面很广，为了适应本科教学，教学内容的设计应该符合应用型教学的特点，以提高学生的实践能力为主要目的。

课程组经过探索，针对应用型本科院校的学情，提出了“把握主线，重在实现”的教学思路，摒弃了传统教学中重理论轻实践、重数学轻代码的特点，在教学内容方面既把握課程主线，覆盖课程内容的基本原理，又兼顾培养学生的编程实践能力，选择合适的、经典的案例，以便学生能更好地理解和实现算法。

在课程教学中，主要讲解曲线曲面建模的方法，包括Bezier曲线曲面、B样条曲线曲面、NURBS曲线曲面等内容，并且给出了具体的编程实现方法，有助于提高学生的编程实践能力。

此外，为了使教学内容与社会实际需求接轨，课程组将学科前沿知识、企业实际项目和教学内容进行了有机结合，将企业项目案例中3D建模和实体打印等内容穿插在教学过程中，为学生毕业后从事虚拟现实、游戏开发、仿真技术、科学计算可视化和计算机辅助设计与制造等领域的建模工作打下良好的基础。

（二）改革教学手段和方法

随着信息技术的发展，教师在上课时，可以使用丰富多样的辅助教学手段，以提升教学效率。此外，采取科学合理的教学方法对激发学生兴趣、提升教学效果也有着重要的作用。采用好的教学方法和手段，可以收到事半功倍的效果。

1.改革教学手段

课程组在授课时充分利用现代信息技术，以学习通为主要的在线教学工具，同时使用QQ和微信等软件辅助教学。

（1）课前预习

在学习通发布教学资源和课前预习任务，提出预习问题。

（2）课上学习

根据学生上传的答案检验预习效果，并且使用学习通组织课堂签到、抢答和讨论等活动，辅助课堂教学。

（3）课后拓展

课堂结束后，在学习通发布课后拓展案例，组织学生以个人或者小组等形式完成拓展案例，并且上传和展示结果，学生之间互评后教师进行总结。

2.改革教学方法

为了提升教学效果，课程组经过探索和实践，采用“运行案例，讲解原理，翻转讨论，以赛促学”的教学模式，通过案例化、翻转课堂等方法，激发学生的学习兴趣，指导学生积极参加相关比赛、申报软件著作权，培养学生的综合实践能力。

（1）案例化教学

无论是医学图像还是航空航天设备，都需要由计算机事先经过精密计算建立三维几何模型，之后再进行工业化生产[2]。案例化教学可以让学生了解课程知识的应用价值。以学科经典案例和企业实际项目为载体呈现课程知识点，先引入案例、提出问题，分析和提炼其中需要用到的具体知识，之后再讲解原理，把抽象理论的学习具体化到实际案例中，可以取得较好的教学效果。

将课堂时间按照1∶1的比例一分为二，在结合案例讲解算法原理、分析程序代码之后，要求学生课内讨论并且进行编程实践训练，教师进行辅导，将理论知识和实践操作有机结合。

（2）翻转课堂

学生是学习的主体，教师是学生学习的引导者。翻转课堂可以营造良好的课堂氛围，有利于培养学生分析解决问题的能力[3]。课程组秉持以学生为中心的理念，指导学生参与教学的全过程。在课程教学中，提前给学生布置任务，课堂上组织学生通过小组讨论总结各自的方法和观点，之后由学生登台阐述自己小组的讨论过程和结论。通过这样的方法，加深学生对学习内容的理解，培养学生的思辨能力、团队合作能力和表达能力。

此外，课程组还指导学生参与微课视频的录制。在录制视频时，学生以学习者的视角，提出、分析和解决问题，最终编程实现算法案例。相比从教师视角制作的微课，从学生视角制作的微课更有利于学生理解和掌握课程知识。

（3）以赛促学

在课程教学基础上，课程组坚持“以赛促学，以赛促教”，通过比赛检验教学效果，促进课程建设，激发学生的学习兴趣。课程组每年都会指导学生参加多种相关国家级和省级比赛，并且积极申请软件著作权，通过这些措施，促进学生对专业知识的应用和创新[4]，提升学生的综合素质和应用能力，让学生认识到课程的重要性和实际应用价值，体现实践教学与综合实践素质培养的效果[5]。

（4）人文培养

人文精神培育有利于理工科大学生的全面发展和综合素质提升[6]。在授课中，课程组引入我国悠久的茶文化历史，把我国的紫砂壶作为课程参照物进行数字化建模，既传授了专业知识，又让学生了解了我国的传统文化，培养了学生的人文情怀，激发了学生的学习兴趣。

（三）改革评价方法

本课程注重过程考核，通过线上、线下两方面来进行。学生的综合成绩 = 平时考核成绩×40% + 大作业考核成绩×60%。

平时考核即结合出勤率、课前预习、课堂参与和课后拓展等情况进行评价。其中，出勤率、课前预习和课后拓展考核由学习通软件辅助完成，课堂参与情况考核在课堂上完成。

大作业考核由三部分组成，具体包括：期中实践考核，考查学生综合运用前半学期所学知识进行实践操作的能力，包括相对复杂的案例的开发、现场运行和答辩等环节；期末实践考核，考查学生的综合实践能力，要求学生利用课程知识，编程开发完成一个比较复杂的案例，并且通过现场运行和答辩的方式来展现，最后提交开发报告；期末在线测试，在学习通上录入试题并且组织学生在线完成考试，主要考查学生对基本理论知识和主要算法原理的掌握情况。

（四）建设课程资源

教学资源是知识的载体，课程组建设了计算几何课程“四位一体”课程资源。

1.编写了计算几何教材

课程组编写了计算几何教材（见图1），教材以培养学生实现算法的能力为主，对于主要知识点，都给出了具体的编程实现方法，有助于提高学生的编程能力。

2.录制了课程教学视频

课程组录制了20个知识点的微课教学视频页，这些视频覆盖了课程的主要教学内容，学生可以利用这些微课自主学习，对提高教学效果起到了积极的作用[7]。

3.开发了课程案例资源库

案例是理论知识的总结和应用。通过学习案例，学生可以深入理解其理论原理，同时提升编程实践能力。案例要围绕课程内容，由浅入深，选择经典的例子，提供尽量多的调用接口，以便学生直接调用开发或者深入研究内部代码，并且最终要呈现出可视化的运行结果。

課程组开发了42个案例的完整源代码资源配合课程教学，这些资源包含课程主要算法的实现以及拓展方法。

4.3D打印，输出成果

计算几何课程内容的抽象性使其难以被学生理解和应用。课程组在编程开发可视化的案例资源库的同时，还使用3D打印机制作出多个3D实物教学模型（见图2），实现“所见即所得”，使学生切身经历了理论知识在经过编程建模可视化之后再输出为产品的过程，了解了课程知识的实际应用场景，掌握了理论转换为实际应用的方法。

三、取得的成果

自笔者所在学校2017年开设计算几何课程以来，课程组一直致力于对课程教学的研究与改革。笔者所在学校的计算几何课程于2021年被山西省教育厅认定为“山西省一流课程”，在教学改革研究与探索中，主要取得了以下成果。

（一）构建了计算几何课程能力体系

通过与以虚拟现实仿真技术为核心的合作单位——北京朗迪锋科技有限公司进行校企合作，根据企业对人才知识与能力的要求，设计了课程教学的总体目标、知识目标和能力素质目标，根据能力素质目标确定知识点，将知识点组合成任务模块，按照任务给出可视化实践模型，完成课程能力体系的构建。

（二）提出了“理论讲解—编程实践—实物输出”的三步教学方法

本课程的教学分三步走：线上线下相结合的理论学习—编程建立物体的几何模型—3D打印物体的实物模型。这个过程不仅有助于加深学生对理论知识的理解，而且明显提高了学生的编程实践能力，更重要的是，可以让学生亲眼看到、亲身体验自己的学习成果转化为实际应用的过程，体现了“学以致用”的教学目标。

（三）学生参加比赛、申请软件著作权成果丰硕

经过几年的努力，课程组指导的学生在中国“互联网+”大学生创新创业大赛、中国大学生计算机设计大赛等比赛中获奖多项，申报国家级、省级大学生创新创业项目多项，获得软件著作权多项。

四、评价及推广

（一）学生评价

学生学习本課程后，表示“案例化的教学方法使得我们在学习课程时，了解到课程知识的实际应用价值，有了更明确的学习目标；课堂上的编程实践极大地提高了大家的编程能力，避免了理论和实践脱离的情况”。

（二）同行评价

校外高校同行使用课程组编著的教材和探索的教学方法讲授课程之后，反馈：“孔令德教授编著的《计算几何算法与实现》教材在讲解基本算法原理的基础上，更加注重算法的实现方法，有助于学生理解理论知识和提高编程能力，受到了学生的欢迎。”

苏州大学的王平老师认为，计算几何是一门难教难学的课程，传统的教学方法偏重讲解数学理论知识，不易理解，而课程组编写的教材更加注重编程实践能力的培养，提升了教学效果。

（三）企业评价

北京朗迪锋科技有限公司反馈：“孔令德教授教学团队培养的学生综合素质很高，业务能力强，不仅具备扎实的算法理论基础，而且具有很强的综合实践能力，在企业中可以担当重任、独当一面。”

（四）资源推广

经电子工业出版社统计，全国有多所高校使用了课程组编写的计算几何教材，课程组通过新媒体平台把课程的所有资源分享给使用该教材的教师授课使用，得到了广泛好评。

五、结语

计算几何是一门涉及多学科融合的计算机类专业课程，课程知识在我国图形建模相关领域有着重要的应用，对学生就业有一定的帮助。课程教学有一定的难度，课程组从教学内容、教学方法等方面进行了改革探索与实践，建设了丰富的课程资源，取得了较好的教学效果，为在本科阶段开设本课程提供了一定的借鉴，为应用型本科院校计算机类专业课程教学改革提供了参考。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 孔令德.应用型本科计算几何课程建设的探索与实践[J].计算机教育，2018（5）：147-150.

[2] 李学，闫素旺.案例化教学在计算机机械制图教学中的应用[J].铸造，2022，71（3）：390.

[3] 赵丽，张慧.基于ITIAS的翻转课堂教学行为及效果分析[J].中国大学教学，2022（11）：87-95.

[4] 单瑞霞，贾森，张丽华.基于“以赛促教、以赛促学”的应用型人才培养模式探索[J].装备制造技术，2023（4）：288-290.

[5] 李志博，侯雪梅，张俭鸽，等.基于学科竞赛的实践知识体系构建与学生综合素质培养[J].计算机教育，2023（2）：49-53.

[6] 韩佩. 理工科大学生人文精神培育研究[D].哈尔滨：哈尔滨理工大学，2017.

[7] 康凤娥，孔令德.微课在“计算几何算法与实现”课程教学中的应用[J].实验技术与管理，2019，36（7）：151-154.

［责任编辑：周侯辰］